第八章 绕流运动

1. 第八章 绕流运动 在自然界和工程实际中，有大量流体绕流物体的流动问题。实际流体都有粘性，在大雷诺数的绕流中，由于流体惯性力远大于作用于流体的黏性力，黏性力相对于惯性力可忽略不计，将流体视为理想流体。由理想流体的流动理论求解流场中的速度分布。但在靠近物体的一薄层内，由于存在强烈的剪切流动，黏性力与惯性力处于相同的数量级，从而不能忽略。 。

2. §8.1 无旋流动 §8.2 平面无旋流动 §8.3 几种简单的平面无旋流动 §8.4 势流的叠加 §8.5绕流运动与附面层基本概念 §8.6边界层动量方程 §8.7 平板层流附面层的近似计算 §8.8 平板上紊流附面层的近似计算 §8.9 曲面附面层的分离现象与卡门涡街 §8.10 绕流阻力和升力

3. §8.1 无旋流动 无旋流动就是其流场中每个流体微团不发生旋转，角速度 ，即

4. 一 速度势函数 有势流动（无旋流动）流体微团角速度 ，或 得到 所以 上式成立，意味着在流动空间构成一个函数，满足全微 分的充分必要条件，用Φ(x,y,z,t)表示，该函数的全微分 为： (1) 全微分存在的充分必要条件： 若u=f(x,y,z,t)的各偏导数都存在且连续，则有

5. Φ函数的全微分 （2） 比较（1）和（2）式，得到 （3） 定义函数Φ(x,y,z,t)称为势函数，由Φ可计算得到速度， 根据伯努利方程得到流场中压强的分布。

6. 速度势函数的特性 1 势函数的方向导数等于速度在该方向上的投影 2  存在势函数的流动一定是无旋流动 3 等势面与流线正交 4  不可压缩流体中势函数是调和函数

7. 特性1 空间曲线s上任取一点M(x,y,z)，M点处流体质点速度分 量为vx、vy、vz，取速度势函数的方向导数 其中： ， ， 而 ， ， 则 速度的分量vx、vy、vz分别在曲线s的切线上的投影之和 等于速度矢量本身的投影vs。 速度势函数沿任意方向取偏导数的值等于该方向上的速 度分量。

8. 特性2 设对某一流动，存在势函数Φ(x,y,z,t)，流动的角 速度分量 类似的推出 可见，流场存在速度势函数则流动无旋，因此流动无旋 的充分必要条件势流场有速度势函数存在。

9. 特性3 等势面：在任意瞬时t0，速度势函数取同一值的点构 成流动空间一个连续曲面，Φ(x,y,z,t0)=常数。 在等势面上取一点A，并在该面上过A任取一微元矢 量 ，求 与点A处速度 的标量积。 因为Φ(x,y,z,t0)=C ，所以 dΦ=0 得到 这说明一点的速度矢量与过该点的等势面是垂直的， 又因为速度矢量与流线方向一致，推出流线与等势面垂 直。

10. 特性4 不可压缩流体的连续性方程为 对于有势流动 ， ， 即 ，满足Laplace方程。而满足Laplace方程的函数 就叫做调和函数

11. §8.2 平面无旋流动 平面流动是指对任一时刻，流场中各点的速度都平行于某一固定平面的流动，并且流场中物理量（如温度、速度、压力、密度等）在流动平面的垂直方向上没有变化。即所有决定运动的函数仅与两个坐标及时间有关。 在实际流动中，并不存在严格意义上的平面流动，而只是一种近似。如果流动的物理量在某一个方向的变化相对其他方向上的变化可以忽略，而且在此方向上的速度很小时，就可简化为平面流动问题处理。（图1）

13. 二 流函数 在平面流动中，不可压缩流动的连续性方程为 或写成 （4） （4）是 –vydx+vxdy 成为某一函数Ψ（x，y，t）全微分 的充分必要条件，即 （5） Ψ的全微分为 （6） 比较（5）和（6），得到   ， 符合上式条件的函数Ψ（x，y，t）叫做二维不可压缩流 场的流函数。

14. 流函数的特性 1. 沿同一流线流函数值为常数 2. 平面流动中通过两条流线间单位厚度的流量等于两条流线上的流函数的差值 3. 在有势流动中流函数也是一调和函数

15. 特性1 s为坐标系XOY的任意一条流线， 在s上任取一点作速度矢量，与 流线相切，该点的微元流线段在 x、y轴上的投影为dx、dy，在x、 y轴上的投影为vx、vy 或 由 ， 得到 在流线s上，Ψ的增量dΨ为0，说明沿流线Ψ（x，y，t）为常数， 而流函数的等值线，即Ψ（x，y，t）=C就是流线。因此，找到流函 数后，可以知道流场中各点速度，还可以画出流线。

16. 特性2 设Ψ1、Ψ2是两条相邻流线，作其间一曲线AB，求通 过AB两点间单位厚度的流量。(见下图） 在AB上作微元线段 , 过微元线段处的速度为， ,单位厚度的流量dq应为通过dx的流量vydx和通 过dy的流量vxdy之和， （ vy<0 ） 沿AB线段积分， 由于沿流线流函数为常数，因此

18. 特性3 对平面势流 有 将 ， 代入上式得到 即 ，满足Laplace方程。所以在平面势流中流函 数也是调和函数。

19. 三 流函数和势函数的关系 在平面势流中有 ， ， 交叉相乘得 说明等势线族Φ(x,y,z,t)=C1与流函数族Ψ(x,y,z,t)=C2 相互正交。 在平面势流中，流线族和等势线族组成正交网格，称 为流网。

20. 极坐标(r , θ)中，径向的微元线段是dr，圆周的微元线 段是rdθ，速度势函数Φ(r , θ , t)与vr、vθ的关系是 ， 速度流函数Ψ(r , θ , t)与vr、vθ的关系是 ， 速度势函数和流函数的关系是 ，

21. 例1

23. 例2

24. 例3

26. 流线是一族以x轴和y轴为渐近线的双曲线，等势线是以直角平分线为渐近线的双曲线族。流线是一族以x轴和y轴为渐近线的双曲线，等势线是以直角平分线为渐近线的双曲线族。 将x轴看成是固壁，并且只观察上半平面，则流动沿y轴垂直的自上而下流向固壁，然后在原点处分开，流向两侧。

27. §8.3 几种简单的平面无旋流动 一 均匀流 二 点源和点汇 三 点涡

28. 一 均匀流

29. 图2 均匀流示意图

30. 二 点源和点汇

32. 图3a 点源 图3b 点汇

34. 三 点涡 定义：流体质点沿着同心圆的轨迹运动，且其速度 大小与向径r成反比的流动。又被称为自由涡。 将坐标原点置于点涡处，设点涡的强度为，则任一 半径r处流体的速度可由stokes定理得到 , 那么 而 求点涡的速度势函数和流函数 对上面两式积分，并令积分常数等于零，得到： 等势线是 的线，流线是以坐标原点为圆心的同心 圆。点涡的复势是 或

35. 图4 点涡示意图

36. §8.4 势流的叠加 势流叠加原理 有两个流动，它们的速度分布函数、速度势函数、流函 数、复势函数分别为 、Φ1 、Ψ1、W1和 、Φ2、 Ψ2、W2 ，由于和都满足线性Laplace方程，可以将和分 别进行叠加。将两流动合起来的复合流动，其相应量分 别为 、 Φ、 Ψ、W，存在以下关系： 因此

37. 流动变成n个，同样将n个流动叠加，复合流动的相应量流动变成n个，同样将n个流动叠加，复合流动的相应量 定义：叠加多个流动时，所得合成流动的复势即为分流 动的复势的代数和，此即势流的叠加原理。

38. 一 螺旋流 — 点汇（源）+点涡 流动形式为流体自外沿圆周切向进入，又从中间不断 流出。 点汇的复势为 点涡的复势为 将两者叠加后得到的新流动的复势为 得到新流动的速度势函数和流函数的表达式为 令上式等于常数，可以得到 等势线方程 流线方程

39. 等势线和流线为相互正 交的对数螺旋线簇，称 为螺旋流。 点汇+点涡 → 阴螺旋流 点源+点涡 → 阳螺旋流 图5 螺旋流示意图

40. 二 偶极子流 — 点源+点汇 将源点设于A点（-a,0），汇点于B点（a,0），强度 都为q， 点源的复势为 点汇的复势为 将点源和点汇叠加后的新流动的复势为 若源点和汇点无限接近，即 ,如果强度不变时，汇点 将源中流出的流体全部吸掉而不发生任何流动。

41. 若在2a逐渐缩小时，强度q逐渐增强，当2a减小 到零时，q应增加到无穷大，以使 保持一个有限 值，即 ，在这一极限状态下的流动称为偶 极子流，M是偶极矩，方向从点源到点汇。 偶极子流的复势为 或 新流动的速度势函数和流函数分别为

42. 求等势线方程和流线方程 1．等势线方程 由于 ，有 得到 整理后 等势线方程为 表示一族圆心在x轴上，并与y轴在原点相切的圆 2．流线方程 由于 ， 有 得到 整理后得流线方程为 表示一族圆心在y轴上，并与y轴在原点处相切的圆。

43. 图6 偶极子流示意图

44. 圆柱体绕流 设有一速度为 的均匀流，从与圆柱体垂直的方向 绕过一半径为r0的无限长圆柱体， 这样的流动看成是平 面流动。 均匀流绕过圆柱体时，由于受到圆柱的阻挡，绕过 柱体附近的流体质点受到扰动，偏离原来的直线路径， 而离柱体越远，扰动越小，在无穷远的地方，完全不受 扰动，作均匀流动。 圆柱体绕流可以分为两种情况。 一 圆柱体无环量绕流 二 圆柱体有环量绕流

45. 图7 绕无穷长圆柱的流动

46. 一 圆柱体无环量绕流 由均匀流和偶极子流叠加而成的平面流动。 1. 势函数和流函数 均匀流和偶极子流的复势分别为 根据势流叠加原理，均匀流和偶极子流叠加形成的新流 动的复势为 那么速度势函数和流函数分别为 (1)

47. 代入 得到直角坐标下的速度势函数和流函数 （2） 令 ，即 得到零流线方程为 零流线是一个以坐标原点为圆心，半径 的圆周 和x轴，零流线到A处分成两股，沿上下两个半圆周流到 B点，又重新汇合。 将 代入方程（1）中，那么均匀流绕过圆柱体无 环量绕流的势函数和流函数可以写成 （ ） （3）

48. 图8 均匀流绕过圆柱体无环量的流动

49. 12．速度分布 流场中任意一点P（x，y）的速度分量为 （4） 在 或 处， ， ，这说明在无穷远处流动变成 均匀流。 在极坐标系中，速度分量为 沿包围圆柱体的圆形周线的速度环量为 均匀流绕过圆柱体的平面流动的速度环量等于零，故称为圆柱体无 环量绕流。 当时，在圆柱面上，速度分布为 （5）

50. 说明，流体沿圆柱表面只有切向速度，没有径向速度，符合流体既不穿入又不脱离圆柱面的实际情况。在圆柱面上速度是按照正弦曲线分布的，在 （B点）和 （A点）处， ，A、B二点是分流点，也称为驻点。在 处， 达到最大值， ，即等于无穷远处来流速度的2倍。