§ 4 Простые числа и делимость

1. §4 Простые числа и делимость (математика- 5 – 6 класс) 2008 год

2. ЦЕЛЬ: • Сделать изложение материала более наглядным. • Улучшить усвоение материала. • Дать возможность каждому ученику работать в своем темпе.

3. Передвигаться по презентации вы сможете с помощью управля-ющих кнопок -при нажатии на эту кнопку вы вернетесь в содержание. -при нажатии на эту кнопку вы вернетесь на предыдущий слайд, слайд с которого вы ушли. -при нажатии на эту кнопку вы перейдете на следующийслайд. -при нажатии на эту кнопку вы перейдете в конец презентации.

4. СОДЕРЖАНИЕ • п.1 Разложение чисел на простые множители • Тренировочные упражнения по теме п.1. • п.2 Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа. • Тренировочные упражнения по теме п.2. • п.3 Наименьшее общее кратное. • Тренировочные упражнения по теме п.3. • Тест( тренировочный)

5. п.1 Разложение чисел на простые множители Число 210 можно представить в виде произведения, например 210=21 · 10. Числа 21 и 10 – составные, их тоже можно представить в виде произведения: 21=3 · 7, 10=2 · 5. Получаем: 210=3 · 7 · 2 · 5. Таким образом число 210 разложено на простые множители.

6. Число 210 можно разложить на простые множители иным способом: 210=30·7=10 ·3 ·7=5 ·2 ·3 ·7. Получились те же самые простые множители, только записанные в другом порядке. Обычно записывают множители в порядке их возрастания: 210=2 ·3 ·5 ·7. • Всякое составное число можно разложить на простые множители единственным образом

7. При разложении на простые множители пользуются признаками делимости. Если числа небольшие, то запись можно вести в строчку, как было показано. Для больших чисел используется запись в столбик. Разложим на простые множители число 756. Оно делится на 2, т.к. оканчивается четной цифрой 6 (756 : 2=378), число 378 тоже делится на 2 (378 : 2=189), число 189 делится на 3, т.к. сумма его цифр (1+8+9=18) делится на 3, имеем 189 : 3=63 , число 63 тоже делится на 3, получаем 21, 21 делим на 3, получаем 7, семь – простое число, при делении числа 7 на 7 получаем 1

8. Тренировочные упражнения по теме «Разложение на простые множители» №1 Разложи на простые множители числа а)8, 24, 35, 60, 72; Проверь себя б)180, 260, 440, 600, 1000 используя запись в строчку; Проверь себя

9. №2 Разложи на простые множители числа используя запись столбиком а)162; Проверь себя б) 216; Проверь себя в)594; Проверь себя г)4620; Проверь себя д)2034; Проверь себя е)1024. Проверь себя

10. №3 Запишите множество двузначных чисел, разложение которых на простые множители состоит: а) из двух одинаковых множителей; Проверь себя б) из трех одинаковых множителей; Проверь себя в) из четырех одинаковых множителей. Проверь себя

11. п.2 Наибольший общий делитель (НОД). Взаимно простые числа. Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа а и в, называют наибольшим общим делителем этих чисел (НОД(а,в)). НОД можно найти перебирая делители меньшего из данных чисел или делители разности, но эти способы применимы лишь в случае, когда числа невелики. Существует универсальный способ поиска НОД.

12. Алгоритм нахождения НОД нескольких натуральных чисел • Разложить данные числа на простые множители. • Из множителей, входящих в разложение одного из них, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел. • Вычислить произведение оставшихся множителей, если это необходимо.

13. Пример 1 Найти НОД(60,72,96). 60=2·2·3·5; 72=2·2·2 ·3·3; 96=2·2· 2 ·2 ·2 ·3. НОД(60,72,96)=2 ·2 ·3=12.

14. Пример 2 Найти НОД(56,81). 56=2·2 ·2 ·7; 81=3 ·3 ·3 ·3. В разложении чисел 56 и 81 нет одинаковых множителей. Их наибольший общий дели-тель равен 1. Такие числа называют вза-имно простыми.

15. Тренировочные упражнения по теме «Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа.» №1 Даны разложения чисел на простые множители. Найди их наибольший общий делитель. а) α=2·2·3·3·3·5·7, b=2·3·3·5·5·11; Проверь себя б) α=2·3·5·5·5·13, b=2·2·2·5·5·7; Проверь себя в) α=2·3·7, b=2·2·5·7; c=2·5·5·7·19; Проверь себя г) α=3·3·5·7, b=2·2·2·2·5, c=2·2·2·3·17. Проверь себя

16. №2Найди наибольший общий делитель чисел методом разложения на простые множители 1)75 и 135; (Проверь себя) 2)180 и 210; (Проверь себя) 3)125 и 462; (Проверь себя) 4)504 и 720; (Проверь себя) 5)117, 195 и 315. (Проверь себя)

17. №3 Среди чисел 4, 15, 22 и 77 укажите все пары взаимно простых чисел. Проверь себя

18. п.3 Наименьшее общее кратное (НОК). Любые два числа имеют общие кратные. Например К(12, 30)={60, 120, 180,…}. Число 60 является их наименьшимобщим кратным. Найти наименьшее общее кратное двух чисел можно перебирая кратные одного из чисел (лучше взять большее из чисел). Но этот способ применим лишь в случае, когда числа невелики. Существует универсальный способ поиска НОК.

19. Алгоритм нахождения НОК нескольких натуральных чисел • Разложить данные числа на простые множители. • Выписать разложение одного из них. • Добавить недостающие множители из разложений оставшихся чисел. • Найти полученное произведение, если это необходимо.

20. Пример 1 Найти НОК(80, 140) 80= 2·2·2·2·5, 140=2·2·5·7 НОК(80, 140)= 2·2·2·2·5 ·7 = 560

21. Пример 2 Найти НОК(32, 25) 32=2·2·2·2·2, 25=5·5 НОК(32, 25)=2·2·2·2·2·5·5=800 Числа 32 и 25 взаимно простые – в их разложении нет общих множителей, поэтому наименьшее общее кратное оказалось равным их произведению. • Наименьшее общее кратное взаимно простых чисел равно их произведению.

22. Пример 3 Найти НОК(28, 35, 140) 28=2·2·7, 35=5·7, 140=2·2·5·7 В разложении числа 140 содержатся все простые множители чисел 28 и 35, то есть 140 является кратным этих чисел. Значит, 140 является наименьшим общим кратным: НОК(28, 35, 140)=2·2·5·7 =140

23. Тренировочные упражнения по теме «Наименьшее общее кратное» №1 Даны разложения чисел на простые множители. Найди их наименьшее общее кратное: а) а=2·2·3·3·3·5·7, в=2·3·3·5·5·11; Проверь себя б) а=2·3·5·5·5·13, в=2·2·2·5·5·7; Проверь себя в) а=2·3·7, в=2·2·5·7, с=2·5·5·7·19; Проверь себя г) а=3·3·5·7, в=2·2·2·2·5, с=2·2·2·3·17 Проверь себя

24. №2 Найди наименьшее общее кратное чисел методом разложения на простые множители а) 28 и 35; Проверь себя б) 21 и 100; Проверь себя в) 264 и 300; Проверь себя г) 72, 90 и96. Проверь себя

25. №3 Докажи, что данные числа взаимно простые и найди их НОК а) 4 и 125, Проверь себя б) 33 и 1000, Проверь себя в) 111 и 200. Проверь себя

26. Тренировочный тест по теме «Простые числа и делимость» 1. Какие из данных сумм кратны 5: 1) 7316+97564; 2) 4523+7415; 3) 678+991+31; 4) 230+179? А. 1,3 Б. 1,4 В. 1 А Б Б. 1,4 В

27. 2. Какие из данных чисел не кратны 3: 1) 1706; 2) 12364; 3) 40215; 4) 131421; 5) 18279? А. 1, 5 Б. 1, 2 В. 1, 4 А Б В

28. 3. Разложите на простые множители число 420. А. 420=2·2·3·5·7; Б. 420=1·2·2·3·5·7; В. 420=3·4·5·7. А Б В

29. 4. У каких из предложенных пар чисел НОД равен 6: 1) 24 и 20; 2) 24 и 30; 3) 24 и 32; 4) 18 и 30; 5) 6 и 200? А. 2 и 4 Б. 1 и 3 В. 1, 2, 4, 5. А Б В

30. 5. У каких из предложенных пар чисел НОК равно 60: 1) 30 и 2; 2) 18 и 15; 3) 4 и 15; 4) 12 и 60 ; 5) 6 и 10? А. 2, 3, 4; Б. 3, 4; В. 2, 4. А Б В

31. Спасибо за внимание и работу.