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華華說：「妹妹的年齡乘以 3 再加 5 ，恰好是 14 歲，猜猜妹妹是幾歲？」

華華說：「妹妹的年齡乘以 3 再加 5 ，恰好是 14 歲，猜猜妹妹是幾歲？」 君君說：「假設妹妹的年齡是 x 歲，乘以 3 再加 5 是 3 x ＋ 5 歲，所以可寫成 3 x ＋ 5 ＝ 14 囉！」 在上面的式子 3 x ＋ 5 ＝ 14 中， x 所代表的數是多少還不知道，這時我們稱 x 為 未知數 ，而這種含有未知數的等式 ( 有等號的算式 ) ，稱為 方程式 ；只含有一種未知數 ( 一元 ) ，且未知數的指數是 1( 一次 ) 的方程式稱為一元一次方程式，例如 4 x ＋ 5 ＝ 11 、 2 y － 7 ＝ 0 都是一元一次方程式。.

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華華說：「妹妹的年齡乘以 3 再加 5 ，恰好是 14 歲，猜猜妹妹是幾歲？」

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Presentation Transcript

  1. 華華說：「妹妹的年齡乘以3 再加5，恰好是14 歲，猜猜妹妹是幾歲？」 君君說：「假設妹妹的年齡是x 歲，乘以3 再加5 是3x＋5 歲，所以可寫成3x＋5＝14 囉！」 在上面的式子3x＋5＝14 中，x 所代表的數是多少還不知道，這時我們稱x 為未知數，而這種含有未知數的等式(有等號的算式)，稱為方程式；只含有一種未知數(一元)，且未知數的指數是1(一次)的方程式稱為一元一次方程式，例如4x＋5＝11、2y－7＝0 都是一元一次方程式。

  2. 接下來我們將練習如何以文字符號代表數，列出適當的一元一次方程式。例如：依下列文字敘述列出適當的一元一次方程式。接下來我們將練習如何以文字符號代表數，列出適當的一元一次方程式。例如：依下列文字敘述列出適當的一元一次方程式。 x＋5＝－9 x－3＝17 2x＋10＝6 14＝3x＋5 (或14－3x＝5)

  3. 上頁表格中，若依「14 比x 的3 倍多5」這段文字敘述，將方程式寫成「3x＋5＝14」是否正確呢？說說你的看法。 是。 「14 比x 的3 倍多5」也就是「x 的3 倍多5 會與14 相等」，所以「3x＋5＝14」。

  4. 例1 用文字符號列等式 阿土為了買一套定價3540 元的遊戲光碟，決定打工存錢，若每天工資y元，打工15 天後還差240 元，則依題意可列出一元一次方程式為何？ 解 每天工資y 元，打工15 天可得工資15y 元， 但還差240 元， 所以依題意「表示15y 比3540 少240」， 可列出y 的一元一次方程式為15y＋240＝3540。

  5. 1. 已知兒子的年齡為y 歲，爸爸的年齡比兒子年齡的2 倍多5 歲，所以爸爸是 歲。又已知爸爸是35 歲，所以列出一元一次方程式為 。 2. 星光邦演唱會的門票分前、後段兩種，前段票每張1500 元，後段票每張500 元。小民兩種票共買了6 張，假設前段票買x 張，則後段票共花了 元。若小民共花了5000 元，則依題意可列出x 的一元一次方程式為 。 2y＋5 2y＋5＝35 500(6－x) 1500x＋500(6－x)＝5000

  6. 列出方程式後，要如何知道方程式中的未知數究竟代表哪個數呢？我們可以用代入法找出未知數所代表的值，例如要求一元一次方程式3x＋5＝14 中x的值是多少時，我們可將x 分別以1、2、3、⋯⋯代入方程式檢驗看看： 當x＝1 時，3×1＋5＝3＋5＝8≠14 當x＝2 時，3×2＋5＝6＋5＝11≠14 當x＝3 時，3×3＋5＝9＋5＝14 在x＝3 時，發現方程式等號兩邊相等。我們就說x＝3 是一元一次方程式3x＋5＝14 的解或根，而x＝1 和x＝2 時，不能使等號兩邊相等，所以x＝1 和x＝2 都不是3x＋5＝14 的解。求出一元一次方程式中x 所代表的數的過程叫做解一元一次方程式。

  7. 檢驗看看，－2、8、11 中，哪一個是方程式－2x＋3＝－19 的解？ 當x＝－2 時，－2x＋3＝(－2)×(－2)＋3＝4＋3＝7≠－19 當x＝8 時，－2x＋3＝(－2)×8＋3＝(－16)＋3＝－13≠－19 當x＝11 時，－2x＋3＝(－2)×11＋3＝(－22)＋3＝－19 所以11 是－2x＋3＝－19 的解 從上面的求法可以發覺，若用代入法來求一元一次方程式75x＋84(30－x)＝1980 的解，過程實在太繁瑣而且可能找不到解。接下來我們將介紹等量公理，並用這個方法來解一元一次方程式。

  8. 1. 等量加法公理 右圖的天平保持平衡狀態， 左邊的重量為3x 克，右邊的重量為10克，此時可列出方程式3x＝10。 同加上4 若左、右兩邊同時加入4 克，則天平仍然保持平衡狀態，此時方程式可列成3x＋4＝10＋4。

  9. 2. 等量減法公理 右圖的天平保持平衡狀態，左邊的重量為(2x＋2)克，右邊的重量為12克，此時可列出方程式2x＋2＝12。 同減去2 若左、右兩邊同時拿走2克，則天平仍然保持平衡狀態，此時方程式可列成2x＋2－2＝12－2。

  10. 若等號兩邊分別同時加上或減去一個負數，則等式仍然會成立嗎？說說你的看法。若等號兩邊分別同時加上或減去一個負數，則等式仍然會成立嗎？說說你的看法。 會。天平的例子雖然只能表示同時加或減一個正數的情況，但是由於減去一個數等於加上它的相反數，所以減去負數就等於加上正數，而加上負數就等於減去正數，故等式依然成立。

  11. 3. 等量乘法公理 右圖的天平保持平衡狀態，左邊的重量為2x 克，右邊的重量為4 克，此時可列出方程式2x＝4。 變成3 倍 若左、右兩邊的重量同時變成原來的3 倍，則天平仍然保持平衡狀態，此時方程式可列成2x×3＝4×3。

  12. 4. 等量除法公理 右圖的天平保持平衡狀態，左邊的重量為2x 克，右邊的重量為4 克，此時可列出方程式2x＝4。 分成2 等分且各只留下1 份 若左、右兩邊的重量同時變成原來的一半，則天平仍然保持平衡狀態，此時方程式可列成2x÷2＝4÷2。

  13. 其實在等號兩邊同除以一個負數等號仍然成立。例如在方程式－2x＝6的等號兩邊同除以(－2)，方程式(－2x)÷(－2)＝6÷(－2)仍然成立。因此，等號兩邊分別乘以或除以同一個數(除數不能為0)後，等式仍然成立。其實在等號兩邊同除以一個負數等號仍然成立。例如在方程式－2x＝6的等號兩邊同除以(－2)，方程式(－2x)÷(－2)＝6÷(－2)仍然成立。因此，等號兩邊分別乘以或除以同一個數(除數不能為0)後，等式仍然成立。 等量公理 在等號兩邊同加、減、乘、除以一個數(除數不可為0)，則等號的兩邊仍會維持相等。 在利用等量公理解一元一次方程式時，通常希望最後能化簡成形如x＝3 或y＝2 的式子，這樣就可以得到x 或y 等未知數究竟是多少，讓我們來看下面的例題。

  14. 例2 運用等量公理解題(加法) 解一元一次方程式x－7＝15。 解 這個方程式的等號左邊是x－7＝⋯⋯，如果要得到x＝⋯⋯ 要將x－7 加7，因此利用等量公理我們可以這樣做： x－7＝15 ↓(等號兩邊同加7) x－7＋7＝15＋7 ↓(化簡) x＝22 即此題中x 所代表的數是22。

  15. 例2 運用等量公理解題(加法) 解一元一次方程式x－7＝15。 驗算 要確認22 是不是方程式x－7＝15 的根，可以將22 代入原來的方程式x－7＝15 裡檢驗： 當x＝22 時，等式左邊＝22－7＝15 等式右邊＝15 等號兩邊的值相等，等式成立，因此22 是正確答案。

  16. 在例2 的解題過程裡，我們發現：x－7＋7＝15＋7 中，因為－7＋7＝0，所以可以省略不寫，而直接將等式寫成x＝15＋7，亦即： x－7＝15 (－7 從等號左邊移到右邊成為＋7) x＝15＋7 ↓(化簡) x＝22

  17. 解下列各一元一次方程式。 ⑴ －4＋x＝5　 ⑵ x－5＝－5 ⑶ x－4＝－7 x＝－7＋4 x＝－3 x＝－5＋5 x＝0 x＝5＋4 x＝9

  18. 例3 的解題過程也可簡化為： 23＝x＋17 (＋17 從等號右邊移到左邊成為－17) 23－17＝x ↓(化簡) 6＝x 例3 運用等量公理解題(減法) 解一元一次方程式23＝x＋17。 解 23＝x＋17 ↓(等號兩邊同減17，使右邊只有x) 23－17＝x＋17－17 ↓(化簡) 6＝x 習慣上，我們將6＝x 寫成x＝6。

  19. 解下列各一元一次方程式。 ⑴ x＋13＝22 ⑵ －18＝x＋2 ⑶ x＋5＝－10 －18－2＝x －20＝x x＝－10－5 x＝－15 x＝22－13 x＝9

  20. 例4 運用等量公理解題(乘法) 解一元一次方程式x÷7＝－3。 解 x÷7＝－3 ↓(等號兩邊同乘以7) (x÷7)×7＝(－3)×7 ↓(化簡) x＝－21

  21. (把÷7 移到等號的另一邊，且改成×7) 在例4 中，我們發現：(x÷7)×7＝(－3)×7，因為(x÷7)×7＝x，所以可以直接將等式寫成x＝(－3)×7，即 x÷7＝－3 x＝(－3)×7 ↓(化簡) x＝－21

  22. 解下列各一元一次方程式。 ⑴ x÷9＝6　 ⑵ x÷(－8)＝－6 ⑶ x＝(－6)×(－8) x＝48 x＝6×9 x＝54 x＝2×4 x＝8

  23. 例5 運用等量公理解題(除法) 解一元一次方程式x×3＝12。 解 x×3＝12 ↓(等號兩邊同除以3) (x×3)÷3＝12÷3 ↓(化簡) x＝4

  24. (把×3 移到等號的另一邊，且改成÷3) 在例5 中，我們發現：(x×3)÷3＝12÷3，因為(x×3)÷3＝x，所以可以直接將等式寫成x＝12÷3，即 x×3＝12 x＝12÷3 ↓(化簡) x＝4

  25. 解下列各一元一次方程式。 ⑴ 8x＝－48 ⑵ －3x＝21 ⑶ x＝21÷(－3) x＝－7 x＝21÷(－3) x＝－7 x＝(－48)÷8 x＝－6

  26. 從例2 到例5 的解題過程中，我們可以得到： 移項法則 把某數移到等號的另一邊，且加變減、減變加、乘變除、除變乘的一種解一元一次方程式的方法，我們稱之為移項法則。

  27. 例6 解一元一次方程式並驗算 解一元一次方程式4x＋5＝x＋11。 想法 等號左、右兩邊都有未知數和數字，用等量公理(或移項法則)使得含有x 的數都在等號左邊，不含x 的數都在等號右邊。

  28. 移項法則 等量公理 解 4x＋5＝x＋11 4x＋5＝x＋11 ↓等號兩邊同減5 ＋5 移到等號另一邊，且改成－5 4x＋5－5＝x＋11－5 4x＝x＋11－5 ↓化簡 ↓化簡 4x＝x＋6 4x＝x＋6 x 移到等號另一邊， 且改成－x ↓等號兩邊同減x 4x－x＝6 4x－x＝x＋6－x ↓化簡 ↓化簡 3x＝6 3x＝6 3 移到等號另一邊， 且改成÷3 ↓等號兩邊同除以3 ↓化簡 ↓化簡 x＝2 x＝2

  29. 驗算 將x＝2 代入原方程式，左右兩式都等於13，因此x＝2 是原方程式的解。

  30. (－6x)＋3x＝10－15 －3x＝－5 x＝ 解下列各一元一次方程式。 ⑴ 8x－5＝6x－7　 ⑵ 15－6x＝－3x＋10 8x－6x＝(－7)＋5 2x＝－2 x＝－1

  31. ⑴ －2(2x－1)＝－x＋6 －4x＋2＝－x＋6 －4x＋x＝6－2 －3x＝4 x＝ －x 移到等號左邊變為＋x ＋2 移到等號右邊變為－2 ×(－3)移到等號右邊變為÷(－3) 例7 利用移項法則解題 解下列各一元一次方程式。 ⑴ －2(2x－1)＝－x＋6 解

  32. ⑵ 4(x－1)＝8－3(x－2) 4x－4＝8－3x＋6 4x＋3x＝8＋6＋4 7x＝18 x＝ －3x 移到等號左邊變為＋3x －4 移到等號右邊變為＋4 ×7 移到等號右邊變為÷7 例7 利用移項法則解題 解下列各一元一次方程式。 ⑵ 4(x－1)＝8－3(x－2) 解

  33. 解下列各一元一次方程式。 ⑴ 3(－2x－1)＝2x＋5　 ⑵ 4x－5＝－x－5 4x＋x＝(－5)＋5 5x＝0 x＝0 －6x－3＝2x＋5 －6x－2x＝5＋3 －8x＝8 x＝－1

  34. 例8 解一元一次方程式 解下列各一元一次方程式。 ⑴ ⑴ 解 x＝2

  35. 例8 解一元一次方程式 解下列各一元一次方程式。 ⑵ ⑵ 解 左右兩邊各×15 3(7x＋2)－5(4x－5)＝15 21x＋6－20x＋25＝15 x＋31＝15 ＋31 移到右邊變為－31 x＝15－31 x＝－16

  36. 解下列各一元一次方程式。 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 3(x－3)＝2(x＋5)－2×6 3x－9＝2x＋10－12 x＝7 4(2x＋3)＝3(3x－1) 8x＋12＝9x－3 15＝x

  37. 從以上幾個例題的解題過程中，我們可以發現解一元一次方程式的步驟大從以上幾個例題的解題過程中，我們可以發現解一元一次方程式的步驟大 致如下： ⑴ 利用分配律、等量公理或移項法則等方法整理方程式， 使得等號的一邊不含未知數，而另一邊的每一項都含未 知數。 ⑵ 化簡等號兩邊。 ⑶ 利用同乘或同除以一數(除數不為0)，求出未知數的值。 若擔心計算錯誤，可將未知數的值代入原方程式驗算。

  38. 接下來我們將練習用一元一次方程式來解決一些應用問題。接下來我們將練習用一元一次方程式來解決一些應用問題。 應用問題的解題步驟如下： ⑴ 依題意假設適當的未知數。 ⑵ 根據題目找出相等的關係，列出一元一次方程式。 ⑶ 解方程式。 ⑷ 檢驗所求得的解是否合乎題意，若不合理則應捨去此組解。 ⑸ 依題意寫答。

  39. 例9 數字問題 某數的3 倍加1 等於該數加9，某數是多少？ 解 假設某數為x，則某數的3 倍加1 為3x＋1， 某數加9 為x＋9， 依題意列式：3x＋1＝x＋9 3x－x＝9－1 2x＝8 x＝4 所以某數為4。

  40. 某數的4 倍加1 等於該數加16，某數是多少？ 設某數為x，則某數的4 倍加1 為4x＋1，某數加16 為x＋16 依題意列式：4x＋1＝x＋16 4x－x＝16－1 3x＝15 x＝5 所以某數為5。

  41. 例10 體重問題 已知明利比弘揚重9 公斤，且兩人體重和為135 公斤，則兩人的體重分別為多少公斤？ 解 設弘揚的體重為x 公斤， 明利比弘揚重9 公斤， 所以明利的體重為(x＋9)公斤， 又兩人的體重和為135 公斤， 依題意列式：x＋(x＋9)＝135 2x＋9＝135 2x＝126 x＝63 所以弘揚的體重為63 公斤， 而明利的體重為63＋9＝72 公斤。

  42. 已知大小兩數的差為17，且大數比小數的2 倍多3，則大小兩數分別是多少？ 設小數為x，大數比小數的2 倍多3，所以大數為2x＋3 又大小兩數的差為17 依題意列式：(2x＋3)－x＝17 x＋3＝17 x＝14 所以小數為14，而大數為2×14＋3＝31。

  43. 題目給了哪些條件？ 小福的錢買9 個紅豆麵包，還剩下18 元⋯⋯⋯ ⑴ 小福的錢買12 個紅豆麵包，則不夠27 元⋯⋯ ⑵ 題目要求什麼？ 一個紅豆麵包的價錢。 例11 單價問題 小福到麵包店買麵包，如果買9 個紅豆麵包，還剩下18 元，如果買12 個紅豆麵包，則不夠27 元。那麼1 個紅豆麵包多少元？ 想法 解

  44. 1. 設未知數： 解 要算出1 個紅豆麵包的價錢，可以先假設1 個紅豆麵包x 元。 2. 列式： 由⑴可知，小福的錢＝9 個紅豆麵包的價錢＋18＝9x＋18， 由⑵可知，小福的錢＝12 個紅豆麵包的價錢－27＝12x－27， 所以9x＋18＝12x－27。 3. 解方程式： 9x＋18＝12x－27 18＋27＝12x－9x 45＝3x 15＝x (或x＝15) 因此1 個紅豆麵包15 元。

  45. 老師將若干個番茄平均分給班上的小朋友。如果每人分5 個，還剩下45個；如果每人分7 個，則不夠3 個。那麼班上的小朋友有幾人？番茄有幾個？ 假設小朋友有x 人，5x＋45＝7x－3 45＋3＝7x－5x 48＝2x 24＝x 5x＋45＝5×24＋45＝165 所以小朋友有24 人，番茄有165 個

  46. 題目給了哪些條件？ 若每班25 人，則多出10 人⋯⋯ ⑴ 若每班27 人，則不足20 人⋯⋯ ⑵ 題目要求什麼？ 班級的總數。 例12 人數問題 明德國中新生編班，班級總數固定，不隨每班人數而改變。若每班25人，則多出10 人；若每班27 人，則不足20 人。那麼班級總數為多少？ 想法

  47. 解 1. 設未知數： 要求班級的總數，可以先假設共有x 班。 2. 列式： 由⑴可知，新生人數可以表示為(25x＋10)人， 由⑵可知，新生人數可以表示為(27x－20)人， 所以25x＋10＝27x－20。 3. 解方程式： 25x＋10＝27x－20 10＋20＝27x－25x 30＝2x 15＝x (或x＝15) 因此班級的總數為15 班。

  48. 承例12，設新生共有y 人，根據題意在下列各小題的空格中填入適當的答案。 ⑴ 每班25 人則多出10 人，新生的班級可以表示為 班。 ⑵ 每班27 人則不足20 人，新生的班級可以表示為 班。 ⑶ 符合題意的一元一次方程式為 。 ⑷ 解一元一次方程式可得y＝ 。 385

  49. 題目給了哪些條件？ 共有32 人捐血⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⑴ 捐血者分成捐500c.c. 與捐250c.c. ⋯ ⑵ 共捐了11000c.c. 的血⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⑶ 題目要求什麼？ 捐500c.c. 的人數。 捐250c.c. 的人數。 例13 數量問題 「捐血一袋，救人一命」，心心公司響應捐血活動，全公司32 人共捐了11000c.c. 的血，有的人捐500c.c.，有的人捐250c.c.。求該公司捐500c.c.的有幾人？捐250c.c. 的有幾人？ 想法

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