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第 3 章 比與比例式

第 3 章 比與比例式. 3-3 連比. 一、章節內容. 1. 連比：若干個不為 0 的數連續相比，例如： a ： b ： c ，這樣的 比叫做連比。其中 a 、 b 、 c 叫做這個連比的項。. 2. 連比例式：若兩個連比 x ： y ： z 與 a ： b ： c 相等，則可記作 x ： y ： z=a ： b ： c ，這樣的式子叫做連比例式。. 3. 連比例式的求值：若 x ： y ： z=a ： b ： c ，則表示 x ： y=a ： b ， y ： z=b ： c ， x ： z=a ： c ，可得 (1)

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第 3 章 比與比例式

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  1. 第3章 比與比例式 3-3 連比 一、章節內容

  2. 1.連比：若干個不為0的數連續相比，例如： a：b：c，這樣的 比叫做連比。其中a、b、c叫做這個連比的項。

  3. 2.連比例式：若兩個連比x：y：z與a：b：c相等，則可記作2.連比例式：若兩個連比x：y：z與a：b：c相等，則可記作 x：y：z=a：b：c，這樣的式子叫做連比例式。

  4. 3.連比例式的求值：若x：y：z=a：b：c，則表示x：y=a：b，3.連比例式的求值：若x：y：z=a：b：c，則表示x：y=a：b， y：z=b：c，x：z=a：c，可得 (1) (2)x=ar，y=br，z=cr (r≠0)

  5. 例：三角形三邊長的連比是3：4：5，則 (1)如果最小邊長為2公分，那麼最大邊長是幾公分？ (2)如果這個三角形的周長是240公分，求三邊長。 解：(1)設最大邊是x公分，則 3：5=2：x 3x=10 (2)設三邊由小到大分別為x、y、z公分，則 x：y：z=3：4：5。可設x=3r，y=4r，z=5r， 因為x+y+z=240 3r+4r+5r=240 12r=240 r=20 所以三邊的長分別為60、80、100公分

  6. 解： x：y：z 2：3 6：5 x：y：z 4：6 6：5 4：6：5 4.求連比：若x：y=a：b、y：z=b：c，則可得x：y：z=a：b：c。 例：設x：y=2：3，y：z=6：5，求x：y：z。

  7. 二、範例講解

  8. 解： a：b：c 1：2 3：4 a：b：c：d 3：6：8 5：6 a：b：c 3：6 6：8 3：6：8 a： b： c：d 15：30：40 40：48 15：30：40：48 1.設a：b=1：2，b：c=3：4，c：d=5：6。 求(1)a：d (2)若a+b+c+d=266，求b=？

  9. 令 a=15r，b=30r，c=40r，d=48r r=2 則 15r+30r+40r+48r=266 a：d = 15：48 = 5：16 b = 30r = 60 答：(1)5：16 (2)60

  10. a：b：c 3：2 3：5 a：b：c 9：6 6：10 9：6：10 2.設a：b=3：2，3c=5b。求(1)a：b：c (2)若a+b+c=75，求a=？ 解：3c = 5b b：c = 3：5 令 a=9r，b=6r，c=10r 9r+6r+10r=75 r=3 a=9r=27 答：(1)9：6 ：10 (2)27

  11. 3.若y：(2x-y)：(x-1)=1：3：3，求x+y=？ 解：令y=r，2x-y=3r，x-1=3r y=r，x=3r+1 2(3r+1)-(r)=3r 5r+2=3r r= -1 x= -2，y= -1 x+y= -3 答：-3

  12. 4.設(x+1)：(y-2)：(z+3)=4：5：6，且x+2y+3z=90， 求x-y+z的值。 解：令 x+1=4r，y-2=5r，z+3=6r x=4r-1，y=5r+2，z=6r-3 (4r-1)+2(5r+2)+3(6r-3)=90 32r-6=90 r=3 x=11，y=17，z=15 x-y+z = 9 答：9

  13. 5.設2x+y-z=0、x-2y+z=0，且xyz≠0，求x：y：z=？ 解： y=3x (1)+(2)得 3x-y=0 z=5x (1) ×2 +(2)得 5x-z=0 x：y：z = x：3x：5x = 1：3：5 答： 1：3：5

  14. 6.設a、b、c為三正數，若3a=6b=2c，求(1) a：b：c=？ (2) 的值。 解：令 3a=6b=2c=r a：b：c = 2：1：3 答：

  15. 7.設xyz≠0，若2xy=3yz=5zx，求x：y：z=？ 解：2xy=3yz=5zx x：y：z =3：5：2 答： 3：5：2

  16. 8.設10(y+z)=12(z+x)=15(x+y)，求(1)x：y：z。 (2)依yz：zx：xy的比分355為三部分 解：令10(y+z)=12(z+x)=15(x+y)=60r z=7r/2 (1)+(2)-(3)得 2z=7r y=5r/2 x=3r/2 x：y：z = 3 ：5：7

  17. yz：zx：xy = 35 ：21：15 x：y：z = 3 ：5：7 答： (1)3：5：7 (2)175、105、75

  18. 9.甲、乙、丙三人合資經商，得紅利137500元，現按投資金9.甲、乙、丙三人合資經商，得紅利137500元，現按投資金 額與投資月數的積分分配紅利，若他們投資金額的比為 5：4：3，投資月數的比為1：2：3。 求(1)三人的分配比。(2)各人應分紅利多少？ 解：三人的分配比= (5 ×1)：(4 ×2)：(3 ×3) = 5：8：9 答： (1)5：8：9 (2)31250、50000、56250

  19. 10.若甲、乙、丙三人各以一定的速率由出發點到終點，乙比10.若甲、乙、丙三人各以一定的速率由出發點到終點，乙比 甲慢5分鐘出發，乙出發20分鐘追上甲；丙又比乙慢5分鐘 出發，丙出發20分鐘追上乙，求 (1)甲、乙、丙三人的速率比。 (2)若丙比甲慢18分鐘出發，則丙跑幾分鐘追上甲？ 解：設甲、乙、丙三人的速率分別為V甲、V乙、V丙 25V甲=20V乙、25V乙=20V丙 V甲：V乙=4：5、V乙：V丙=4：5 V甲：V乙=16：20、V乙：V丙=20：25 V甲：V乙：V丙=16：20：25

  20. 甲：時間=x+18 丙：時間=x 解：設丙需x 分鐘才能追上甲，V甲=16r、V丙=25r 16r (x+18)=25r(x) 16x+288=25x 288=9x x=32 答： (1)16：20：25 (2)32分鐘

  21. 三、自我測驗

  22. 1.設x：y：z=2：3：4，則(x+2y+z)：y=？ (A)3：1 (B)4：1 (C)5：1 (D)6：1 解：令 x=2r，y=3r，z=4r (x+2y+z)：y= (2r+6r+4r) ：3r = 12r：3r = 4：1 答： B

  23. 2.已知x：y=2：3，x：z=3：4，則x2：yz的比值等於多少？2.已知x：y=2：3，x：z=3：4，則x2：yz的比值等於多少？ (A) (B) (C) (D) 。 解： x：y：z 2：3 3 ：4 x：y：z 6：9 6：8 6：9：8 x2：yz=(6r)2：(9r)(8r) = 36r2：72r2 = 1：2 答： B

  24. 3.若a：b= ，b：c= ，則連比a：b：c=？ (A)9：4：5 (B)16：36：45 (C)20：45：36 (D)45：20：16。 解： a ： b ： c 9 ： 4 5 ： 4 45 ：20：16 答： D

  25. 4.設3：x：y=5：7：8，則x+y=？ (A)7 (B)8 (C)9 (D)10。 解： 3：x：y = 5：7：8 5x=21，5y=24 x+y= 9 答： C

  26. 5.設x：3y：2z=1：2：1，若x+z=27，則 (A)x=15 (B)y=12 (C)z=6 (D)y+z=18。 y=2r/3，z=r/2 解：令x=r，3y=2r，2z=r 2r+r=54 r=18 x=18，y=12，z=9 答： B

  27. 6.下列敘述何者正確？ (A)若4：x=x：9，則x=6 (B)若3a=4b=5c，則a：b：c=3：4：5 (C)若(x+y)：(x-y)=3：1，則x：y=(-1)：1 (D)以上皆非。 解：4：x = x：9 x2=36 x= ±6 3a=4b=5c，則a：b：c = (4)(5)：(3)(5)：(3)(4) = 20：15：12 x+y=3r，x-y=r (x+y)：(x-y)=3：1 2x=4r x=2r y=r 答： D

  28. 7.已知 ，且2a+3b+4c=114，若bx=12c-16a，則x= (A)4 (B)3 (C)2 (D)1。 解： 令 a=3r，b=4r，c=5r 2(3r)+3(4r)+4(5r)=114 38r=114 r=3 a=9，b=12，c=15 bx=12c-16a 12x=180-144 x=3 答： B

  29. 8.設a：b=2：3，3b=5c，則a：c= (A)7：6 (B)10：9 (C)8：5 (D)9：10。 b：c = 5：3 解：3b=5c a ： b ： c 2 ： 3 5 ： 3 10 ：15： 9 答： B

  30. 9.設a：b= ，b：c= ，則a：2b：c= (A)10：9：12 (B)10：18：24 (C)5：18：12 (D)5：9：12。 解： a ： b ： c 5 ： 9 3 ： 4 5 ：9 ：12 a：2b：c = 5：18：12 答： C

  31. 10.設abc≠0，且2a=4b=3c，則 (1) a：b：c=。 (2)若5a+4b+3c=162，求a-b+c=。 解：2a=4b=3c a：b：c=(4)(3)：(2)(3) ：(2)(4) = 6：3 ：4 5(6r)+4(3r)+3(4r)=162 5a+4b+3c=162 54r=162 r=3 a=18，b=9，c=12 a-b+c=21 答： (1) 6：3 ：4 (2)21

  32. 11.若3a=2b、2c=3b，則a：b：c=：：18。 解：3a=2b a：b = 2：3 b：c = 2：3 2c=3b a ： b ： c 2 ： 3 2 ： 3 4 ：6 ： 9 8 ：12：18 答： 8 、12

  33. 12.有三正整數x、y、z，x：y=4：3，y：z=2：5，且12.有三正整數x、y、z，x：y=4：3，y：z=2：5，且 [x，y，z]=240，則(1)x：y：z=。 (2)x+2y+3z=。 解： x ： y ： z 4 ： 3 2 ： 5 8 ：6 ：15 [8r，6r，15r]=240 令x=8r、y=6r、z=15r 120r=240 r=2 x=16、y=12、z=30 x+2y+3z=130 答： (1) 8：6：15 (2)130

  34. 13.甲、乙、丙三人一天的工資和是3040元，已知甲一天工13.甲、乙、丙三人一天的工資和是3040元，已知甲一天工 資的3倍等於乙一天工資的2倍，又乙一天工資的3倍等 於丙一天工資的2倍，則丙一天的工資為元。 解：設甲、乙、丙一天工資分別為x、y、z 元 3x=2y ， 3y=2z x ： y ： z 2 ： 3 2 ： 3 4 ：6 ： 9 4r+6r+9r=3040 令x=4r、y=6r、z=9r r=160 9r=1440 答：1440

  35. 14.牛3頭可換馬4匹，馬5匹可換羊12隻，則羊96隻可換14.牛3頭可換馬4匹，馬5匹可換羊12隻，則羊96隻可換 牛頭。 解：設牛、馬、羊一隻分別值x、y、z 元 3x=4y ， 5y=12z 96z=8(12z)=8(5y)=40y=30x 答：30

  36. 15.設△ABC的三內角中，∠A=xo、∠B=yo、∠C=zo，且15.設△ABC的三內角中，∠A=xo、∠B=yo、∠C=zo，且 2x：3y=8：9，2y：z=6：5，則此三角形的三內角為。 x：y = 4：3 2x：3y=8：9 解： y：z = 3：5 2y：z = 6：5 x：y ：z = 4：3 ：5 令x=4r、y=3r、z=5r 4r+3r+5r=180o r=15o ∠A=60o、∠B=45o、 ∠C=75o 答：∠A=60o、∠B=45o、∠C=75o

  37. 16.設a：b：c=2：3：5，若a+b+c=100且ax=4b-2c，則x=。16.設a：b：c=2：3：5，若a+b+c=100且ax=4b-2c，則x=。 解： 令a=2r、b=3r、c=5r 2r+3r+5r=100 r=10 a=20、b=30、c=50 20x=120-100 x=1 答：1

  38. 17.設10x-y=3x+4y，(x+z)：z=3：1，則x：y：z=。 解：10x-y=3x+4y 7x=5y x：y = 5：7 x=2z 3z=x+z (x+z)：z=3：1 x：z = 2：1 x ： y ： z 5 ： 7 2 ： 1 10：14 ：5 答： 10：14：5

  39. 18.設兩數的差、和與積的比是1：7：24，則此兩數為。18.設兩數的差、和與積的比是1：7：24，則此兩數為。 解：設兩數為a、b，則 (a-b)：(a+b)：ab = 1：7：24 令 a-b=r、a+b=7r、ab=24r (a-b)+(a+b)=r+7r a=4r b=3r (4r)(3r)=24r r=2 a=8，b=6 答：8、6

  40. 19.若(x-2y)：(2x-3z)：(2y+z)=1：2：3，則x：y：z=。 解：令 x-2y=r、2x-3z=2r、2y+z=3r (3) ×3 + (2)得 2x+6y=11r……(4) (1) ×3 + (4)得 5x=14r x=14r/5 y=9r/10 z=6r/5 x：y：z = 28：9：12 答：28：9：12

  41. 20.設xyz≠0，且2x+y-7z=x+y-5z=0，則x：y：z=。 解： x=2z (1)-(2)得 x-2z=0 y=3z (2) ×2 +(1)得 y-3z=0 x：y：z = 2z ：3z：z = 2：3：1 答： 2：3：1

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