经济数学基础重难点解析

1. 经济数学基础重难点解析

2. 第一章 函数 一、函数的概念 1、函数的定义域 函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的全体。它的基本要求是： (1)分式的分母不能为零。 (2)偶次方根下的表达式非负。 (3)对数函数中的真数表达式大于零。 如果函数是由多个表达式的代数和构成，则定义域为使各表达式有意义的自变量取值之交集。 对于分段函数，其定义域为所有分段自变量取值之并集。

3. 例：求函数 [分析]这个函数的表达式是两项之和，先求使每项有意义的x的集合，再取交集。 解 由第一项得x-1>0，ln(x-1) ≠0即x>1，得出(x-1) ≠1,亦即x>1且x≠2。 由第二项得4-x2≥0，即x2≤4,亦即-2≤x≤2。 取两者之交集即得所求函数的定义域为1<x<2，或用区间表示为（1，2）。 例2 已知函数y=f(u)的定义域是[0，2]，求函数y=f(lnx)的定义域。 [分析]由复合函数的定义可知u=lnx的值域应包含在函数在函数y=f(u)的定义域之内，根据这一条件再确定x的取值范围。 解 由复合函数的定义可知0≤lnx≤2，利用指数函数ex单调增加的性质，得e0≤elnx≤e2从而或用区间表示为[1，e2].

4. 2、函数的对应关系 计算函数值时，首先要明确函数的表达式，然后将自变量的取值代入表达式中。 例3 已知f(x+1)=x2+2x-3,求f(3)。 解<方法一> 由f(x+1)=x2+2x-3确定出f(x)，由于x2+2x-3=(x+1)2-4 故而有 f(x)=x2-4,于是f(3)=5 <方法二> 在已知等式的两端将x=2代入得 f(2+1)=32+2×2-3=5 注意： 对于分段函数，确定函数值之前要先确定自变量的取值属于那一个分段区间。

5. 二、函数的奇偶性 记住函数奇偶性的定义和奇偶函数的运算性质。 例4 判断下列函数的奇偶性 解 (1)对于任意的x ∈（-1，1）有 由函数奇偶性的定义，可知 是奇函数。 (2)显然f(x)=x3和g(x)=sinx都是奇函数，由奇偶函数的运算性质可知它们的乘积是偶函数，即y=x3sinx是偶函数。

6. 第二章 一元函数微分学 一、导数的概念 函数的导数是个特殊的极限，即 如果把x0换成x，则导数定义为 极限存在则可导，否则不可导。 导数是从许多实际问题中抽象出来的数学概念，它的几何意义是曲线切线的斜率，物理意义是变速运动的速率，经济意义是经济函数的边际经济量。 记住结论：可导 可微 连续 例1 若函数f(x)在x=0邻近有定义，且f(0)=0，f’(0)=1,则 [分析]由于f(x)没有具体给出，不能用求极限的运算法则计算此极限，考虑所给的条件，利用导数定义求极限。

7. 解： 故应填：2 二、极根的计算 理解并掌握下列极限的计算方法： (1)极限的四则运算法则。 (2)两个重要极限。 (3)函数的连续性。 具体计算时要注意上述法则或方法成立的条件，否则会在运算中出现错误。

8. 例2 求下列极限 （1） （2） （3） （4） 解 (1)当x→∞时，分式的分子、分母的极限都不存在，不能用极限的除法法则，由教材中公式(2.2.4)可直接得到结果，即 (2)当x→0时,分式的分子、分母的极限都为0,且分子中含有无理根式。遇到此情形需先将根式有理化，即有

9. (3)当x→4时，分式的分子、分母的极限都为0，且分式的分子、分母均为x的二次多项式，遇到此情形需先分解因式，消去极限为零的因式再用除法法则，即(3)当x→4时，分式的分子、分母的极限都为0，且分式的分子、分母均为x的二次多项式，遇到此情形需先分解因式，消去极限为零的因式再用除法法则，即

10. (4)先进行恒等变形，再利用第二个重要极限，即(4)先进行恒等变形，再利用第二个重要极限，即 二、导数（微分）的计算 熟练掌握导数基本公式和下列求导法则： (1)导数的四则运算法则。 (2)复合函数求导法则。 (3)隐函数求导方法 由微分的定义知微分的计算可归为导数计算。 例3 求下列函数的导数或微分 导数运算的重点是复合函数求导数，难点是复合函数求导数和隐函数求导数。

11. 复合函数求导数要注意下面两步： (1)分清函数的复合步骤，明确所有的中间变量。 (2)依照法测依次对中间变量直至自变量求导，再把相应的导数乘起来。 解

12. (3)方程两边对自变量x求导数，把y看作中间变量。(3)方程两边对自变量x求导数，把y看作中间变量。

13. 第三章 导数应用 一、函数的单调性 掌握用一阶导数判别函数单调性的方法。 若函数f(x)在区间[a,b]内有f‘(x)>0，则f(x)在[a,b]内单调上升；有f‘(x)<0，则f(x)在[a,b]内单调下降。 由此，求函数单调上升的区间即为函数导数大于零的区间。 例1： (1)函数 在区间内单调减少。 (2)下列函数在(-∞，+∞)内单调增加的是( )。 • Sinx B.ex • X2 D.3-X 解：(1)因为函数 的定义域为(-∞,0)U(0,+∞)且 ,当 时, 所以函数 在[(-,0)U(0,1)]区间内单调减少. 故应填:[(-1,0)U(0,1)] (2)答案:B ∵ ∴ex在(-∞,+∞)内单调上升.

14. 二、函数的极值与最值 函数f(x)在指定区间[a,b]上的最大值和最小值统称为最值。 学习这部分内容时，要处理好以下几个关系。 1、极值与最值的关系 函数的极值是函数的一个局部性质，它只与x0点附近的函数值有关，也就是说，如果f(x0)是函数f(x)的极大（小）值，那么只能说明在x0附近的函数值相比较中为最大者或最小者，而在整个的定义区间内f(x0) 不一定最大的或最小的。 函数的最值是函数在指定区间上的性质，若f(x0)是f(x)在指定区间上的最大(小)值，则对任一x∈D,都有f(x0) ≥f(x)或f(x0) ≤f(x)。 所以，函数的极值不一定是最值，函数的最值如果发生在区间的内部，则一定发生在极值点上。 在指定区间内，涵数的极值可能会出现多个，而最值只能出现一个。 2、极值点与驻点、不可导点的关系 由极值存在的必要条件知，可导函数的极值点一定是驻点，但是驻点不一定就是极值点，如 ,x=0是驻点但不是极值点。 函数的极值可能发生在不可导点，如y=|x|,x=0是极小值点，也为

15. 不可导点。但不可导点不一定都是极值点，如 ,x=0是驻点但不是极值点. 由此说明,极值点可能会发生在驻点和不可导点处,但驻点、不可导是否一定是极值点，需讨论这些点左、右近旁导数的符号。 例2 下列结论正确的是（ ） A.x0是f(x)的极值点，且f’(x0)存在，则f’(x0)=0 A.x0是f(x)的极值点，则x0f’(x)的驻点 A.若f’(x0)=0，则x0必是f(x)的极值点 A.使f’(x0)不存在的点x0一定是f(x)的极值点。 解：答案：A

16. 三、需求弹性 由需求弹性公式 可知，需求弹性是需求q(p)的相对改变量 与价格p的相对改变量 之比的极限(△p→0)。因此，需求弹性可以理解为需求量变化的百分比与价格变动的百分比之比。 在一般情况下，需求与价格成反比关系。因此，这个比值常常为负数，也就是说，需求对价格的弹性通常是负值，也就是说，需求对价格的弹性通常是负值，它表示价格下降（上升）1%时，需求将增加（或减少）的百分数。

17. 当|Ep|>1时，商品需求量相对变化的百分比大于价格相对变化的百分比。此时，适当的降低商品的价格，商品的需求量将有较大幅度的增加，因此，收人就会增加。当|Ep|>1时，商品需求量相对变化的百分比大于价格相对变化的百分比。此时，适当的降低商品的价格，商品的需求量将有较大幅度的增加，因此，收人就会增加。 当|Ep|=1时，商品需求量相对变化的百分比等于相对价格的百分比，此时无论是降价还是涨价，对收入基本没有影响。 当|Ep|<1时，商品的需求量相对变化的百分比，此时，降价将使收入减少，反之适当涨价，需求量虽然降低，但降低的幅度小于涨价的幅度，因此，收入将会增加。

18. 例3 (1)若某种商品的需求量q是价格p的函数，q=100·2-p，则它的需求弹性Ep= (2)某商品的需求弹性为Ep=-bp(b>0)。那么，当价格p提高1%时，需求量将会（ ） A.增加bp B.减少bp C.减少bp% D.增加bp% 解 (1) 故应填：-pln2 (2)答案：C 因为需求弹性的含意是当某种商品的价格p上升1%时其需求量减少|Ep|%，所以A，B，D都是错误的。

19. 四、导数在经济问题中的应用 1、经济分析中的平均和边际概念 在经济分析中，描述一个函数关于自变量x的变化情况，经常用到“平均”和“边际”这两个概念。“平均”表示在自变量x取值的一定范围内，函数y的变化情况，是区间内y的平均变化率。“边际”表示在自变量x的某个数值的“边缘”处的y的变化情况，即在给定值x0处的变量x发生微小的变化时，函数增量与自变量的增量之比的变化率，也就是说“边际”是y的瞬时变化率，是导数在经济问题中的代名词。 2、经济分析中的成本、收入、利润的最值问题 求经济问题中的平均成本最小、总收入、利润最大是本课程的生点也是难点，要掌握求经济问题最值的方法。

20. 例4 某厂每生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为q=1000-10p(q为需求量，p为价格)，试求： (1)成本函数，收入函数。 (2)产量为多少吨时利润最大。 (3)利润最大时的价格的需求弹性。 例 (1)成本函数C(q)=2000+60q 收入函数R(q) ∵ ∴

21. (2) 因为q=200利润函数L(q)的唯一驻点，且该问题确实有使利润最大的点。所以当q=200时，可使利润达到最大。 (3)当q=200时，p(200)=100-0.1×200=80(元/吨) 需求弹性

22. 例5某厂每天生产某种产品q件的成本函数为C=0.5q2+36q+9800元，为使平均成本达到最低，每天的产量应为多少？此时每件产品的平均成本是多少？例5某厂每天生产某种产品q件的成本函数为C=0.5q2+36q+9800元，为使平均成本达到最低，每天的产量应为多少？此时每件产品的平均成本是多少？ 解：∵ 令 得q=140(其中q=-140舍去) q=140是 的唯一驻点，且该问题确实有使平均成本函数的最低点。 ∴q=140时可使平均成本达到最低，此时的平均成本为

23. 第四章 一元函数积分学 一、原函数与不定积分的概念 若F(x)的导数为f(x)，即 ,则F(x)是f(x)的一个原函数，且原函数具有下列性质： 若F(x)是f(x)是一个原函数，则F(x)+C仍是f(x)的原函数，其中C为任意常数。 若f(x)有原函数存在，则有无穷多个，且任意两原函数之间仅相差一个常数。 求已知函数的不定积分即为求已知函数的全体原函数。

24. 二、不定积分的性质 1、与求导(求微分)为互逆运算 2、运算性质 其中k1,k2是任意实数。

25. 三、积分基本公式 正如导数公式是求导运算的基础一样，积分基本公式是积分运算的基础，在积分中无论采取怎样的方法进行计算，归根结底还是要设法利用积分基本公式求得最后的结果，可见，积分基本公式在积分计算中的重要，必须熟记并熟练使用。 四、积分计算 因为对于定积分 ，只需先求得相应的不定积分 则 ，即定积分的计算可归结为求原函数问题，所以，在此我们主要叙述不定积分的计算方法。 1、直接积分法 利用积分基本公式和运算性质求积分的方法为直接积分法。在用此法求积分时，常常要对被积函数进行适当地变形，变成可直接应用基本公式或可直接应用基本公式的线性组合形式。

26. 例1 求下列不定积分 (1) (2) (3) 解(1)先利用幂函数运算性质，再利用积分性质和积分基本公式计算，即

27. (2)同上理解，将 看成 ，则有 你好！ 呵呵……

28. (3)将 看成 ，则 2、第一换元积分法（凑微分法） 凑微分法的基本思想是“凑微分，使新的变量容易求出原函数”，即 ，其中 ,而且容易求出 最终还原到关于x的原函数。

29. 记住下列凑微分形式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)

30. 对于定积分，我们可以按照“换元变限”的原则，免去回代还原的步骤。对于定积分，我们可以按照“换元变限”的原则，免去回代还原的步骤。 例2 求下列积分 解 (1)

31. (2) 可见，在凑微分技巧熟练之后，可以省略令“2x-1=u”，及还原“u=2x-1”的步骤，但是我们必须在脑子里十分清楚，是对谁在求积分。也即

32. (3)<方法一>(换元换限) 令u=lnx，当x=e2时，u=2，当x=e3时u=3 <方法二>(不换元，心中明确是对lnx求积分) 当积分变量是u时，要将变量x对应的积分限变为u所对应的积分限，否则会在计算中出现错误。

33. (4)<方法一>(换元换限) 令u=ex,当x=0时，u=1，当x=1时，u=e，代入原式得 <方法二>(心中明确对ex求积分，但不去换元) 3、分部积分法 当被积函数是Pn(x)sinx,Pn(x)cosx,Pn(x)ex和Pn(x)lnx(其中Pn(x)是x的n次多项式)时，可用分部积分法求解，在求解中要注意：

34. (1)分部积分法是通过将 转化 来计算，而后者应是易求出积分的。 (2)运用分部积分法时，要能正确地确定被积函数中的u的v`，一般来说，选择u,v`的原则是： ①选作v`的函数应容易计算积分，或是好求原函数。 ②所选取的u和v`，要使积分 较之积分 容易计算。 ③连续两次（或两次以上）应用分部积分公式时，再一次选择的u,v`必须是前一次选择的同类函数，否则，就会使积分还原。 一般地，对于是 形式的积分，选u(x)为Pn(x),v`(x)为sinx,cosx,ex，对于 ，选u(x)，v`(x)为Pn(x)。

35. 例3 用分部积分法求下列积分 (1) (2) (3) 解 (1)令u=x,v`=sin(x+1)，则v=-cos(x+1)于是 (2)令u=ln(1+x),v`=x,则 于是

36. (3)对于定积分，在应用分部积分法计算时要注意每一次都要带着积分上、下限。(3)对于定积分，在应用分部积分法计算时要注意每一次都要带着积分上、下限。 令 ，则 ,于是 注意：及时计算出 的值可以减少运算中的错误。

37. 第五章 积分应用 本章的主要内容是利用第四章所学内容解决有关积分应用问题。这里的应用主要是：几何应用（求已知切线斜率的曲线议程和平面图形的面积等）；经济应用（已知边际经济函数求原经济函数或求原经济函数在某个区间上的改变量等）；微分方程。进一步理解积分的有关概念，尤其是有关公式的内在联系，熟练掌握积分的计算方法是学好本章的前提。 一、几何应用 1、求已知切线斜率的曲线方程 若已知曲线y=f(x)在任意一点x处切线的斜率为f`(x)，且曲线过(x0,y0)点，则该曲线的方程可知获得 (1)由 求得一簇曲线（含任意常数C） (2)将(x0,y0)点代入上式，确定出积分常数C。

38. 例1 已知曲线y=f(x)在任一点x处的切线斜率为2x2，且曲线过(0,1)点，求曲线的方程。 解 将(0,1)代入 中，得C=1 于是所求曲线方程为 2、求平面图形的面积 对于定积分的几何意义，我们有最基本的“定积分 表示由曲线y=f(x)和x轴（即y=0）及直线x=a,x=b所围曲边梯形的面积 ”。但实际上，我们要记住一般的平面图形（如右）的面积公式 也可以通俗形象地记为 这里y上指的是图形上方的边界曲线(如f(x))，y下指的是图形下方的边界曲线(如g(x))。

39. 求平面图形面积的一般步骤为： (1)画出所围图形的草图。 (2)求出各有关曲线的交点及边界点，以确定积分上、下限。 (3)利用定积分几何意义（或面积公式）计算所求面积的数值。 例2 求由下列曲线所围的平面图形的面积： (1)曲线 及直线x=1。 (2)第一象限中 及y=1。 解(1)画出所围平面区域的草图(如右图)，可见，三个交点分别是(0,1),(1,e)和(1,e-1)，y上为y=ex，y下为y=e-x，积分上下限分别为0和1，于是

40. (2)所围平面图形如右图中阴影部分。 联立方程求出交点坐标 观察图形的特点，当x在 中变化时，y上=2x2,y下=x2；当x在 中变化时，y上=1，y下=x2，也就是说，在[0，1]范围内，所围面积中的边界上曲线不是同一个函数，这种情况下必须采取分段积分的方法，于是

41. 二、经济应用 已知边际函数求原经济函数或原经济函数在某个区间上的改变量是积分在经济问题中的应用。 如果已知边际经济函数，原经济函数可由其不定积分或变上限定积分表示，即已知F’(X)则 ，其中积分常数C由F(0)=F0的具体条件确定。 也可由N-L公式 ，移项得 在区间[a,b]上的改变量为 一般地，对于成本函数，C（0）=C0(固定成本)；对于收函数R(0)=0。

42. 例3 已知边际成本核算 ，固定成本为55，试求总成本C（q）、平均成本和变动成本。 解 平均成本为 变动成本为

43. 例 4设某产量的总收入函数的变化率为R’(q)=12-q(万元/百台)，求产量从100台增加到300台时总收入的改变量。 解 三、微分方程 1、微分方程的概念 了解微分方程中方程、方程的阶、方程的解(通解、特解)、线性微分方程、非线性微分方程等概念。 2、求解微分方程 主要求解可分离变量和一阶线性两类微分方程。 对于可分离变量的微分方程，求解时采取分离变量后直接积分求解，对于一阶线性微分方程须在方程两端乘以适当的的积分因子后积分求解，或用公式(5.3.3)直接求解。

44. 例5 求微分方程 的通解。 解 这是一个可分离变量的微分方程，分离变量可得 两边分别对变量求积分，得 经计算得

45. 例6 求微分方程： 当x=1,y=0时的特解。 解：将方程写为 的形式，则 由通解公式得 当x=1,y=0时，解出C=-e，于是通解为

46. 第六章 数据处理 本章的重点是均值、方差和加权平均数的概念及其计算方法。学习中记住其定义及相应的计算公式。 例1 有6个数据18,20,27,20,17,18，求平均值、方差和中位数。 解

47. 例2 某商品的一张调查问卷表有3个指标，各自的权重及得分如下表： 问调查表中该种商品的最后得分是。

48. 解：一组数据为9，8，10相应的权重为 则加权平均数为 即最后得分为8.9分。

49. 第七章 随机事件与概率 一、概率的概念 客观世界中存在着许多随机现象，可能产生各种结果，可能产生各种结果，可能结果(随机事件)发生的可能性大小的数量就是概率。概率是随机事件发生可能性大小的度量。 二、随机事件概率的计算 1、用频率近似概率 设某人投篮命中率为0.47，是多次统计他投篮命中的频率是47%，使我们相信更多地统计，这个频率会稳定在0.47附近。 由频率来认识概率，是初级的，也是重要的。

50. 2、古典概型的计算方法 一个随机试验，具有 (1)所有可能结果只有有限个，如n个 (2)每个可能结果出现的可能性相等(等概)。 (3)每次试验，仅有一个可能结果出现。 如果事件A包含k个可能结果，则