ציון תקן

1. המשך מדדים למיקום יחסי ציון תקן מיקום יחסי לממוצע. אבל זה תלוי בפיזור! ציון תקן מבטא את המרחק מהממוצע, במונחים של סטיות תקן. פרט שציון התקן שלו שווה ל-1, מרוחק מהממוצע בסטיית תקן אחת.

2. אם נמיר את כל הערכים של התפלגות מסוימת לציוני תקן, נקבל התפלגות של ציוני תקן. להתפלגות זו יהיה ממוצע=0 וסטיית תקן=1. אם ההתפלגות המקורית נורמלית, נקבל התפלגות נורמלית סטנדרטית. הוכחה: לכל ערך אנו מוסיפים קבוע (/-) ומכפילים בקבוע (/1).

3. דוגמא ליאור קיבל ציון 75 בחשבון ו-90 בספרות. אמו טענה שעליו להשקיע יותר בחשבון.האם היא צודקת? נתוני הכיתה: חשבון: ממוצע = 70, סטיית תקן = 2.5 ספרות: ממוצע = 85, סטיית תקן = 5 חשבון: ספרות: לכן בחשבון הוא יותר טוב מאשר בספרות (יחסית לכיתתו). עליו להשקיע יותר בספרות.

4. ניתן להמיר ציוני תקן לכל סקלה רצויה, זאת ע"י הכפלה בסטיית התקן הרצויה והוספת הממוצע הרצוי. לדוגמה: IQ – =100=16 פסיכומטרי  =500=100

5. ציון התקן משמש כמדד למיקום יחסי. בנוסף, בהתפלגות נורמליתניתן להמיר את ציוני התקן לאחוזונים. לעובדה זו השלכות חשובות ביותר, ועליה מבוססים מבחנים סטטיסטים רבים.

7. הראשון שחקר את ההתפלגות הנורמלית היה DeMoivre (1667-1754), מטרתו הייתה ניבוי הסתברויות בהימורים. הראשון שהשתמש בהתפלגות זו במדעי החברה היה , Quetelet (1796-1874), הוא מדד את היקף החזה וגובה של חיילים, ומצא ששניהם מתפלגים נורמלית. הוא הסיק שהממוצע הוא אידיאל הטבע ושסטיות ממנו הן סטיות מאידיאל זה. Gauss (1777-1855)עסק (בין היתר) בטעויות מדידה וביסס מודלים על ההתפלגותהנורמלית.

8. בהתפלגות נורמלית, מאחר ונוסחת הקו ידועה, אם ידועים לנו הממוצע וסטיית התקן, אזי אפשר לחשב את השטח תחת העקומה עד לציון מסוים (אינטגרל). שטח זה) יחסית לכלל שטח העקומה( הוא בעצם האחוזון של הציון (במונחים שבין 0 ל-1). e=2.718

9. ע"מ שלא נצטרך לחשב אינטגרלים, סטטיסטיקאים חישבו את האחוזונים של מספר רב של הערכים, בציוני תקן. כך שאם נמיר את הערך הרצוי לציון תקן, נוכל לבדוק בטבלה את האחוזון של הציון המבוקש (בהנחה שהערכים מתפלגים נורמלית). זאת מאחר וטרספורמציה לינארית לא משפיעה על היחסים שבין מרווחי המספרים. ניתן, כמובן, במקום להשתמש בטבלה, להיעזר ב-EXCEL.

11. Area beyond z (C) Area between mean and z (B)

13. applet

14. דוגמא (מציאת אחוזון של ציון): ידוע שציוני IQמתפלגים נורמלית באוכלוסייה עם =100 ו-=16. מהו האחוזון ה-IQ של יניב, אם ידוע שה-IQשלו 512? תיקון לרציפות Area beyond z 0.059 האחוזון שווה 1-.059=.941  94.1% EXCEL אחוזון =NORMSDIST(1.56) =NORMSDIST(z) p =1-NORMSDIST(1.56) =1-NORMSDIST(z) ההסברות להיות קיצוני יותר עבור ערכי Z חיוביים

15. דוגמא(מציאת ציון המתאים לאחוזון): המחלקה לפסיכולוגיה באוניברסיטה מסוימת מעוניינת לקבל סטודנטים מבין ה-20% הטובים ביותר במבחן הפסיכומטרי. מהו ציון הפסיכומטרי המינימלי לקבלה, אם ידוע ש- =500 ו-=100? אחוזון 80 Area beyond z =0.2 =NORMSINV(percentile) EXCEL =NORMSINV(0.8) בפרופורציה z = 0.84 584 הוא ציון הקבלה המינימלי (האחוזון ה-80)

16. z = -0.52 z = 0.52 מה היה ציון הפסיכומטרי המינימלי לקבלה, אם האחוזון המינימלי המבוקש היה 30? יש לשים לב שכאשר אנו מסתכלים על האזור התחתון של ההתפלגות, ערכי ה-z הם שליליים, ולא מופיעים בטבלה אבל מאחר וההתפלגות היא סימטרית, ניתן להסתכל על ערך ה-z המקביל באזור החיובי. השטח שמתחת ל -zזהה לשטח שמעלz.

17. עדי קיבל 410 בפסיכומטרי. איזה אחוז מהנבחנים קיבל ציון גבוה ממנו? 0.184 0.184 1-.184=.816  81.6% z = -0.9 =NORMSDIST(0.9)=.816 =NORMSDIST(-0.9)=.184

18. מהו אחוז האנשים אשר יקבלו ציון פסיכומטרי בין 450 לבין 600? .309 .159 1-.309-.159=.532

19. לא כל התפלגות פעמונית היא נורמלית! גבנוניות (kurtosis) k>1 k<-1 רצוי שמדד זה יהיה קטן מ-1בערכו המוחלט (mesokurtic) coefficient of variation רצוי שמדד זה יהיה קטן מ 33%

20. הטייה (skewness) כזכור, רצוי שמדד זה יהיה קטן מ 0.5 בערכו המוחלט

21. תכונה של ציוני תקן תזכורת: לכן הוכחה: