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第 5 章 数组和广义表

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第 5 章 数组和广义表. wangzs@vip.sina.com. 学习要点. 数组的类型定义 数组的存储表示方法 特殊矩阵的压缩存储表示方法 稀疏矩阵的压缩存储表示方法 广义表的定义 广义表的存储结构. 数组的回顾. 在程序设计语言中，数组被定义为 连续的 、 有限的 ， 有序的同种元素 的集合。. 一组 “ 连续的存储区域 ” ，指根据此区域的起点，通过名称及偏移的方式，可以很容易地取到该区域的数据. 数组的回顾. C 语言中一维数组的定义及使用： 类型说明符 数组名 [ 常量表达式 ] ； 例如： int a[10]. 操作举例：读入数据

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第 5 章 数组和广义表

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  1. 第5章 数组和广义表 wangzs@vip.sina.com

  2. 学习要点 • 数组的类型定义 • 数组的存储表示方法 • 特殊矩阵的压缩存储表示方法 • 稀疏矩阵的压缩存储表示方法 • 广义表的定义 • 广义表的存储结构

  3. 数组的回顾 在程序设计语言中，数组被定义为连续的、有限的，有序的同种元素的集合。 一组“连续的存储区域”，指根据此区域的起点，通过名称及偏移的方式，可以很容易地取到该区域的数据.

  4. 数组的回顾 C语言中一维数组的定义及使用： 类型说明符数组名[常量表达式]； 例如： int a[10] 操作举例：读入数据 for (i=0;i<=9;i++) scanf(“%d”,&a[i]);

  5. 数组的回顾 C语言中二维数组的定义及使用： 类型说明符数组名[常量表达式][常量表达式]； 例如： int a[3][4] 操作举例：读入数据 for (i=0;i<=2;i++) for (j=0;j<=3;j++) scanf(“%d”,&a[i][j]);

  6. 5.1 数组的定义 数组可以看成是一种特殊的线性表，即线性表中数据元素本身也是一个线性表。 α0a00 a01 …….. a0n-1 α1a10 a11 …….. a1n-1 …………………. αm-1am-10 am-11 …….. am-1n-1 A＝（α0α1…αi…αp）(p=m-1,p=n-1) 其中每个数据元素αi是个行向量形式的线性表 αi＝ （αi0αi1…αii…αin－１ ） 或是一个列向量形式的线性表 αi＝ （α0iα1i…αji…αm－１i）

  7. 数组的逻辑定义 • 数组特点 • 数组结构固定（维数、上下界、元素关系） • 数据元素同构 • 数组的基本操作 • 数组初始化 • 数组结构销毁 • 存数组元素 • 取数组元素

  8. 5.2 数组的顺序表示和实现 • 数组只需要顺序存储结构 • 数组不需要插入和删除（移动元素）操作 • 顺序存储结构可实现随机存取 • 数组是多维结构，存储器是一维结构，所以存在两种从多维到一维的映象方法。 • 以行序为主序（低下标优先） • 以列序为主序（高下标优先） • 以第一行第一列元素的地址作为基地址，其他元素根据基地址和下标计算出存储地址。

  9. 数组的顺序表示和实现 a00 a01 ……. a0n-1 a10 a11 …….. a1n-1 ………. am-10 am-11 …….. am-1n-1 0 按行序为主序存放 1 n-1 a00 a01 …….. a0n-1 n a10 a11 …….. a1n-1 …………………. am-10 am-11 …….. am-1n-1 Loc( aij)=Loc(a00)+[n*i+j]*l (m-1)*(n-1)

  10. 数组的顺序表示和实现 a00 a10 ……. am-10 a00 a01……..a0n-1 a01 a10a11 ……..a1n-1 a11 …….. …………………. am-11 am-10am-11…….. am-1n-1 ………. a0n-1 a0n-1 …….. am-1n-1 0 按列序为主序存放 1 m-1 m Loc(aij)=Loc(a00)+[m*j+i]*l (m-1)*(n-1)

  11. 5.3 矩阵的压缩存储 a11 0 0…….. 0 a11 a12 …. … ….. a1n a21 a22 0…….. 0 a21 a22 …….. ……. a2n …………………. 0 …………………. an1 an2 an3…….. ann an1 an2 …….. ann 这个矩阵中有一半的元素重复的，将浪费一半存储空间

  12. 矩阵的压缩存储 • 矩阵的压缩存储：对于多个值相同的元素只分配一个存储空间，对零元不分配存储空间。 • 特殊矩阵：值相同的元素或者零元素在矩阵中的分布有一定的规律。 • 稀疏矩阵：矩阵中存在大量的零元素。

  13. 矩阵的压缩存储 12 …. … ….. 7 2 4…….. ……. 9 …………………. 7 9…….. 10 按行序为主序： …... …... a11 a21 a22 a31 a32 an1 ann k=0 1 2 3 4 n(n-1)/2 n(n+1)/2-1 i(i-1) j(j-1) Loc(aij)=Loc(a11)+[ +(j-1)]*L Loc(aij)=Loc(a11)+[ +(i-1)]*L 2 2 若　n阶矩阵Ａ中的元满足aｉｊ＝ aｊｉ 对称矩阵

  14. a11 0 0…….. 0 a21 a22 0…….. 0 …………………. 0 an1 an2 an3…….. ann 按行序为主序： …... …... a11 a21 a22 a31 a32 an1 ann k=0 1 2 3 4 n(n-1)/2 n(n+1)/2-1 i(i-1) Loc(aij)=Loc(a11)+[ +(j-1)]*Ｌ 2 矩阵的上（下）三角（不包括对角线）中的元素均 为常数ｃ或为０的ｎ阶矩阵 三角矩阵

  15. 对角矩阵 a11a120 …………… . 0 a21a22a230…………… 0 0a32a33a34 0……… 0 …………………………… 00… an-1,n-2an-1,n-1an-1,n 00… … an,n-1ann. 按行序为主序： …... a11 a12 a21 a22 a23 ann-1 ann …... k=0 1 2 3 4 n(n-1)/2 n(n+1)/2-1 Loc(aij)=Loc(a11)+[2(i-1)+(j-1)]*L

  16. 稀疏矩阵 • 假设在m*n的矩阵中，有ｔ个元素不为０，则有 δ ＝ｔ/（ｍ＊ｎ），认为δ ≤ 0.05时为稀疏矩阵 • 压缩存储原则：只存矩阵的行列维数和每个非零元的行列下标及其值（三元组） 用三元组表示： ((1,2,12),(1,3,9),(3,1,-3),(3,6,14),(4,3,24),(5,2,18),(6,1,15), (6,4,-7))再加上行列值(6,7)就可以唯一确定一个稀疏矩阵

  17. 非零元值 行列下标 i j e 0 1 2 3 4 5 6 7 8 M 稀疏矩阵的压缩存储方法--顺序存储结构 1 2 12 1 3 9 3 1 -3 3 6 14 需存储: 行数=6;列数=7;非零元个数=8 每个非零元信息 4 3 24 5 2 18 6 1 15 6 4 -7

  18. 稀疏矩阵的压缩存储方法--顺序存储结构 三元组顺序表 ＃define MAXSIZE 12500 typedef struct{ int i,j; ElemType e; }Triple; typedef struct{ Triple data[MAXSIZE+1]; int mu,nu,tu; }TSMatrix

  19. 非零元值 行列下标 i j e 0 1 2 3 4 5 6 7 8 M TSMatrix M; M.mu=6;M.nu=7;M.tu=8 1 2 12 1 3 9 M.data[p].i,M.data[p].j,M.data[p].e分别存放非零元行列数和非零元值 3 1 -3 3 6 14 4 3 24 三元组表所需存储单元个数为3(tu+1) 其中tu为非零元个数 5 2 18 6 1 15 6 4 -7

  20. 三元组存放的稀疏矩阵转置操作 问题描述：已知一个稀疏矩阵的三元组表，求该矩阵转置矩阵的三元组表 一般矩阵转置算法： for(col=0;col<n;col++) for(row=0;row<m;row++) n[col][row]=m[row][col]; 时间复杂度：T(n)=O(mn)

  21. i j e i j e 1 3 -3 1 2 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 6 15 1 3 9 T 2 1 12 3 1 -3 M 2 5 18 3 6 14 ? 3 1 9 4 3 24 3 4 24 5 2 18 6 1 15 4 6 -7 6 3 14 6 4 -7

  22. 三元组存放的稀疏矩阵转置操作 • 解题思路：只要做到 将矩阵行、列值互换 将每个三元组中的i和j相互调换 重排三元组次序，使T中元素以T的行(M的列)为主序 方法一：按M的列序转置 即按T中三元组次序依次在M中找到相应的三元组进行 转置。为找到M中每一列所有非零元素，需对其三元组表 M从第一行起扫描一遍。由于M中以行序为主序,所以 由此得到的恰是T中应有的顺序

  23. 三元组存放的稀疏矩阵转置操作 i j v i j v 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 p p p p p p p p q q q p q q q p p q p q p p p p 1 2 12 1 3 9 3 1 -3 3 6 14 M T 4 3 24 5 2 18 6 1 15 6 4 -7 1 3 -3 1 6 15 2 1 12 2 5 18 3 1 9 3 4 24 4 6 -7 6 3 14 col=1 col=2

  24. 算法描述： int TransposeSmatrix(TSMatrix M,TSMatrix &T) { T.mu=M.nu; T.nu=M.mu; T.tu=M.tu; if (T.tu){ int q=1; for(int col=1;col<=M.nu;++col) for(int p=1;p<=M.tu; ++p) if(M.data[p].j==col) { T.data[q].i=M.data[p].j; T.data[q].j=M.data[p].i; T.data[q].e=M.data[p].e; ++q; } } return 1; } 时间复杂度：O(nu  tu)若tu和mu  nu 同数量级则：时间复杂度为O(mu  nu2)

  25. 方法二：快速转置 即按M中三元组次序转置，转置结果放入T中恰当位置

  26. i j v i j v 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 p p p p p p p p 1 2 12 1 3 9 3 1 -3 3 6 14 M T 4 3 24 5 2 18 6 1 15 6 4 -7 1 3 -3 1 6 15 2 1 12 2 5 18 3 1 9 3 4 24 4 6 -7 6 3 14 此方法关键是要预先确定M中每一列(T的每一行)第一个非零元在T中位置，为确定这些位置，转置前应先求得M的每一列中非零元个数。

  27. 实现：设两个数组 num[col]：表示矩阵M中第col列中非零元个数 cpot[col]：指示M中第col列第一个非零元在T中位置 显然有： cpot[1]=1; cpot[col]=cpot[col-1]+num[col-1]; (2col Ma.nu)

  28. 三元组存放的稀疏矩阵转置操作 col 3 6 7 1 2 4 5 2 num[col] 1 0 2 2 1 0 cpot[col] 1 3 7 8 5 8 9

  29. i j v i j v 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 p p p p p p p p 1 2 12 1 3 9 3 1 -3 col 7 6 1 3 2 5 4 3 6 14 num[col] M M 0 2 2 0 1 2 1 4 3 24 9 cpot[col] 8 3 1 7 8 5 5 2 18 6 1 15 6 4 -7 6 4 9 2 本列下一位置 5 7 3 1 3 -3 1 6 15 2 1 12 2 5 18 3 1 9 3 4 24 4 6 -7 6 3 14

  30. int fastTransposeSMatrix(TSMatrix M,TSMatrix &T){ int col,p,q,t; int num[10],cpot[10]; T.mu=M.nu; T.nu=M.mu; T.tu=M.tu; if (T.tu){ for(col=1;col<=M.nu; ++col) num[col]=0; for(t=1;t<=M.tu;t++) ++num[M.data[t].j]; cpot[1]=1; for(col=2;col<=M.nu;++col) // cpot[col]=cpot[col-1]+num[col-1]; for(p=1;p<=M.tu;++p) { col=M.data[p].j ; q=cpot[col]; T.data[q].i=M.data[p].j; T.data[q].j=M.data[p].i; T.data[q].e=M.data[p].e; ++cpot[col]; } } return 1; } 时间复杂度：T(n)=O(nu+tu) 若 t 与mn同数量级，则T(n)=O(mn)

  31. 稀疏矩阵的压缩存储方法--链式存储结构 3 2 1 4 5 8 2 2 4 col val row ^ down right 1 3 1 ^ ^ ^ ^ ^ ^

  32. 稀疏矩阵的压缩存储方法--链式存储结构 十字链表 typedef struct OLNode{ int i,j; ElemType e; struct OLNode*right,*down; }OLNode; *Olink; typedef struct{ Olink*rhead,*chead; int mu,nu,tu; }CrossList;

  33. 从键盘接收信息建立十字链表算法 1、初始化rhead与chead指针 2、接收信息生成结点 3、将新生成的结点插入到十字链表中 修改同一行的前一个元素的right指针，修改同一列元素的down指针

  34. 1 2 3 1 8 5 4 7 4 2 2 2 ^ ^ 1 3 1 ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ m=4,n=3,t=5 1,1,3 2,2,5 2,3,4 4,1,8 2,1,7

  35. 矩阵相加 矩阵A+矩阵B可能出现的情况： 1、aij+bij : aij与bij均为非零元若值非零，修改相应的 aij的值；若为零元，则删除aij结点 2、 aij + bij = aij :表示bij为零，则不作任何操作 3、 aij + bij =bij：表示aij为零，则插入bij元素

  36. 设pa,pb分别指向矩阵A和矩阵B中行值相等的两个结点设pa,pb分别指向矩阵A和矩阵B中行值相等的两个结点 若pa= =Null表示A中无非零元 则： (1)pa= = Null或者pa->j > pb->j则在A中插入结点bij (2)pa->j < pb->j则pa=pa->right (3)pa->j= =pb->j且pa->e+pb->e !=0 则pa->e= pa->e+pb->e 若pa->e+pb->e =0则删除pb结点并修改pa同行、同列 　的前一个结点的right与down域 此外：需要设定辅助指针：pre 指示pa同一行的前驱结 点；A的每一列的链表上设一个指针hl[j]，初值和列链 表的头指针相同，即hl[j]=chead[j]

  37. 5.4 广义表的定义 广义表也一种线性表,又称为列表。一般记作： LS=(α1,…,αi…,αn) LS：表名； n： 表长；空表：n = 0 αi：元素，若是单个元素，称为广义表LS的原子， 若是广义表则称为广义表LS的子表。 表头：第一个元素；其余元素组成的表为表尾。 广义是线性表的推广。广泛地用于人工智能等领域的表处理语言LISP。

  38. 广义表的定义 例：以下为广义表 A=()F=(b,(c,d,e))E=(b,(c),(d,e)) D=(E,A,F)C=(A,D,F)B=(a,B)=(a,(a,(a,v...))) 基本操作举例： 求长度GListLength(L);由最外层括弧中的"逗号"来定 求深度GListDepth(L);括弧嵌套的最深层次 求表头GetHead(L);表中第一个数据元素(单原子或表) 求表尾GetTail(L); “必定”是个广义表(可能为空）

  39. 广义表的定义 结论：广义表是一种多层次结构，兼有线性结构的特性： 1. 广义表中的数据元素有固定的相对次序； 2. 广义表的长度定义为最外层括弧中包含的数据元素个数； 3. 广义表的深度定义为广义表中括弧的最大重数。 4. 广义表可被其它广义表所共享。 D=(E,A,F) 5. 广义表可以是一个“自递归”的表。B=(a,B) 自递归的广义表的长度是个有限值，而深 度为无限值。

  40. 5.4 广义表的存储结构 tag=0 atom tag=1 hp tp 表结点 原子结点 采用链式存储结构： typedefenum{ATOM,LIST}ElemTag;//ATOM=0;LIST=1 typedef struct GLNode{ ElemTag tag; union{ AtomType atom; struct{ struct GLNode *hp,*tp; }ptr; }; }*GList

  41. 小结 本章学习了线性表的扩展：即数据元素本身也是一个数据结构（线性表）。 要求掌握数组的类型定义、数组的存储表示方法、 特殊矩阵的压缩存储表示方法及其与线性存储结构的对应、稀疏矩阵的压缩存储表示方法及其运算。 另外，要求掌握广义表的定义和广义表的存储结构。

  42. 作业及思考题 • 实现二维数组到一维数组的映射的算法。 • 上机实现三元组存放的稀疏矩阵转置算法。

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