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R solution d un programme lin aire

PROGRAMME LIN

clancy
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R solution d un programme lin aire

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Presentation Transcript

    1. Rsolution dun programme linaire Plan Mthode graphique Mthode du Simplexe Exercices dapplication

    2. PROGRAMME LINAIRE FONCTION OBJECTIF Maximiser ou minimiser z = c1x1 + + cnxn Contraintes a11x1 + + a1nxn (?, =, ?) b1 a21x1 + + a2nxn (?, =, ?) b2 am1x1 + + amnxn (?, =, ?) bm Contraintes de non-ngativit xj ? 0 ; j = 1, 2, 3, n avec xj variables de dcision (inconnues) aij, bi, cj paramtres du programme linaire

    3. Mthode Graphique Valable si 2 variables de dcision seulement. Le nombre de contraintes est quelconque. Repose sur une reprsentation des contraintes dans un plan.

    4. Contrainte =ingalit 2 variables a1x1 + a2x2 <= b ; b > 0, a1 >0, a2 > 0

    5. Maximisation sous contraintes

    7. Exemple 1 Maximisation du profit Contrainte de raret dune ressource Contraintes de demande

    8. Solution graphique de lexemple 1

    9. Exemple 2 MAXIMISER z = 3 x1 + 5 x2 Contraintes : x1 ? 4 2 x2 ? 12 3 x1 + 2 x2 ? 18 x1 ? 0 ; x2 ? 0

    10. ZONE DE SOLUTION RALISABLE Zone limite par les contraintes du problme et par les limites des variables de dcision SR

    11. FONCTION OBJECTIVE Dplacement de la fonction objective lintrieur de la zone de solution ralisable pour atteindre un extremum

    12. Exemple 3 Maximiser Z = x1 + 2x2 2x1 + x2 ? 4 x1 + x2 ? 8 -x1 + x2 ? 4 x1 ? 5 x1 ? 0, x2 ? 0

    13. Exemple 3 (suite)

    14. Exemple de MINIMISATION Minimiser Z = x1 x2 Sachant que : x1 + x2 ? 8 -x1 + 8x2 ? 40 x1 ? 8 x2 ? 8 x1 ? 0, x2 ? 0

    15. PROBLME DE MINIMISATION

    16. Cas possibles La zone SR peut tre : Vide: Contraintes contradictoires (pas de solution optimale) born : le problme possde toujours au moins une solution optimale non born : selon la fonction objectif Si MIN : il y a une solution finie Si MAX : Solution non borne

    17. Le nombre de solutions optimales ? Une seule. Une infinit : si deux sommts ralisent loptimum (tout le segment reliant les deux sommts optimaux)

    18. Mthode du simplexe Mthode algbrique Mthode itrative

    19. Etapes Forme standard du PL Tableau de dpart du simplexe Application de lalgorithme du simplexe

    20. Forme standard dun PL Maximiser Z = 7x1 + 5x2 Sachant que: x1 ? 300 x2 ? 400 x1 + x2 ? 500 2x1 + x2 ? 700 x1 ? 0 x2 ? 0

    21. Ingalits ? galits x1 ? 300 ? x1 + e1 = 300 x2 ? 400 ? x2 + e2 = 400 x1 + x2 ? 500 ? x1 + x2 + e3 = 500 2x1 + x2 ? 700 ? 2x1 + x2 + e4 = 700 ei = Variable dcart.

    22. Maximiser Z = 7x1 + 5x2 Sachant que: x1 + e1 =300 x2 + e2 = 400 x1 + x2 + e3 = 500 2x1 + x2 + e4 = 700 x1 ? 0; x2 ? 0 ei ? 0

    24. Tableau de dpart du simplexe

    25. Changement de variable

    26. Deuxime tableau

    27. Changement de variable

    28. Troisime tableau

    29. Changement de variable

    30. Quatrime tableau

    31. Solution optimale En base : x1 = 200 e2 = 100 e1 = 100 x2 = 300 e3 = e4 = 0 (hors base) Max Z = 2900

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