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第十五讲：配方法与正定二次型. 班级： 时间： 年 月 日；星期. 第十五讲：配方法与正定二次型. 本次课讲完大纲规定全部内容， 下次课进行全书总结并讲授一套模拟训练题 本次上课 交作业 P49—P50,T20 可暂不做，课堂上讲. 例 1. 化二次型. 成标准型，并求所用的变换矩阵. 解 :. 第十五讲：配方法与正定二次型. 一、配方法化标准型. 令. 即. 第十五讲：配方法与正定二次型. 标准型为 :. 第十五讲：配方法与正定二次型. 例 2 化二次型.

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  1. 第十五讲：配方法与正定二次型 班级： 时间： 年 月 日；星期

  2. 第十五讲：配方法与正定二次型 本次课讲完大纲规定全部内容， 下次课进行全书总结并讲授一套模拟训练题 本次上课交作业P49—P50,T20可暂不做，课堂上讲

  3. 例1 化二次型 成标准型，并求所用的变换矩阵. 解: 第十五讲：配方法与正定二次型 一、配方法化标准型

  4. 令 即 第十五讲：配方法与正定二次型 标准型为:

  5. 第十五讲：配方法与正定二次型 例2 化二次型 成标准型，并求所用的变换矩阵. 解 令 即

  6. 第十五讲：配方法与正定二次型 就把 f化成标准形 所用变换矩阵为 （|P|=1≠0）

  7. 1.惯性定理： 定理11 它的秩为r ，有两个实可逆 变换 及 使 设有实二次型 , 及 这个定理称为惯性定理. 则 中正数的个数与 中正数的个数相等. 第十五讲：配方法与正定二次型 二、正定二次型的概念

  8. （1）二次型的标准形不是唯一的，但标准形中所（1）二次型的标准形不是唯一的，但标准形中所 含的项数是确定的（即是二次型的秩）。 第十五讲：配方法与正定二次型 该定理说明了： （2）在限定变换为实变换时，标准形中正系数的个数（即正惯性指数）是不变的，同理，负惯性指数也不变 （3）在二次型标准化的各类变换中，通过练习已知，一种典型的变换是正交变换，变换后标准型的系数恰好是特征值。根据惯性定理，所有特征值中，正特征值的个数等于正惯性指数，负（含零）特征值个数等于负惯性指数

  9. 如果对任何 ， f >0 如果对任何 ， 实二次型f 正定的充分必要条件是：它的标 定义9 设有实二次型, （显然 f (0) = 0）， 则称 f为正定二次型， 都有 并称对称矩阵 A 是正定的； 都有 则称为负定二次型, 并称对称矩阵 A 是负定的. 定理12 准形的 n个系数全为正. 第十五讲：配方法与正定二次型 2.正定二次型的定义： 三、正定二次型的判定方法： 1.标准型系数法：

  10. 对称矩阵 A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正 推论 第十五讲：配方法与正定二次型 2.特征值判定方法 分析：由于二次型可合同为标准型，标准型的系数即组成了对角矩阵，主对角线的元素是由特征值构成的，所以特征值即标准型系数，由以上定理即可得出结论。 3.主子式判定方法： （1）什么是主子式

  11. 定理13 对称矩阵 A为正定的充分必要条件是：A的各阶主 子式都为正，即 例4: 判断二次型 是否正定 第十五讲：配方法与正定二次型 （2）主子式判定定理 解: 所以正定

  12. 第十五讲：配方法与正定二次型

  13. 第十五讲：配方法与正定二次型

  14. 对称矩阵 A为负定的充分必要条件是：A的奇数阶主子式 为负，而偶数阶主子式为正，即 这个定理称为霍尔维茨定理. 例5 判别二次型 的正定性. 解 所以f为负定的. 第十五讲：配方法与正定二次型 4.负定判定方法：

  15. 第十五讲：配方法与正定二次型 设二次型 例6 ( ). 是正定的,则 解:

  16. 第十五讲：配方法与正定二次型

  17. 第十五讲：配方法与正定二次型

  18. 设 则对应于 的特征向量 满足方程: 解 由于实对称矩阵对于不同特征值对应的特征向量互相正交, 即 得基础解系 第十五讲：配方法与正定二次型

  19. 第十五讲：配方法与正定二次型

  20. 第十五讲：配方法与正定二次型

  21. 第十五讲：配方法与正定二次型

  22. 第十五讲：配方法与正定二次型

  23. 第十五讲：配方法与正定二次型

  24. 第十五讲：配方法与正定二次型

  25. 基础 目标1 平台 目标2 第十五讲：配方法与正定二次型 课程与教材的基本结构 矩阵 及其 基本 运算 线性 方程组 秩的 解法 特殊 矩阵： 向量及 其运算 方程组 解的 向量 结构 综合应用 矩阵 对角化 应用

  26. 第十五讲：配方法与正定二次型 模块1：基础部分——矩阵及其预算 常 规 运 算 加法：同型 数乘：全 矩 阵 运 算 不交换不消去不化零 幂：方阵 特 有 运 算 行列式：方阵 初等变换 等同于乘 初等矩阵 补充2 初等变换 等同于乘 可逆矩阵

  27. 第十五讲：配方法与正定二次型

  28. 第十五讲：配方法与正定二次型 模块2：目标1——线性方程组秩的解法 线性 方程 组秩 的解法

  29. 整体部分判定 维数大于个数 关系定理 向量 组与 矩阵 最(极)大无关 组与向量组 的秩 定义与等价定义 关键：线性表示 所有向量 矩阵的秩等于 向量组的秩 不唯一性， 等价的组秩相等 向量空间 的基与坐标 线性运算封闭 齐次方程解为例 基：最大无关组 坐标：线性表示 系数 n维空间中 任意n个无关 向量构成基 向量的正交 与 规范正交基 内积与长度 施瓦茨不等式 正交向量组 的线性无关性 无关组化 正交基的 施密特方法 第十五讲：配方法与正定二次型 模块3：平台

  30. 线性 方程组 解的结构 性质：线性 运算封闭 注意：齐次通解用齐次方程组Ax=0的同解方程组； 非齐次特解要用非齐次方程组Ax=b的同解方程组 第十五讲：配方法与正定二次型 模块四：目标2——方程组解的结构

  31. 基础： 特征值与 特征向量 对角化 步骤方法 二次型 正交变换 为标准形 求n个特征值 相似性质： 相似矩阵 特征值相同 对称矩阵A 满足正交 变换P的存在 每个特征 向量求 基础解系 且不同的特 征值对应的 特征向量正交 办法：每一 个特征值对应 一个特征向量 所有特征向 量单位化组 成正交矩阵P 不同的特 征值对应 的特征向量 线性无关 由标准形 引出正定定义 及其判定方法 按特征向量 顺序组成 对角矩阵 第十五讲：配方法与正定二次型 模块5：应用——二次型标准化（对称矩阵对角化）

  32. （3） （4）不同的特征值对应的特征向量线性无关 (1) (2) 第十五讲：配方法与正定二次型 补充1：特征值的性质：

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