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Exploring Paths, Shapes, and the Pascal Triangle in Geometry

This document delves into the fascinating world of geometry, focusing on the relationships between paths, shapes, and the Pascal Triangle. We discuss various geometric forms, including triangles, squares, and circles, while emphasizing the notion of the shortest paths connecting points. By examining the properties of these shapes in contexts like New York City, we reveal unique insights into their characteristics. Additionally, we touch upon the principles of the Pascal Triangle, factorials, and their relevance in combinatorial mathematics, enriching our understanding of these geometric constructs.

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Exploring Paths, Shapes, and the Pascal Triangle in Geometry

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Presentation Transcript

  1. Si l = 3 L B 4 + 3 + 2 + 1 Nombre de chemins = + 3 + 2 + 1 l A II) Chemins

  2. Si l = 3 L B 4 + 3 + 2 + 1 Nombre de chemins = + 3 + 2 + 1 + 2 + 1 l A II) Chemins

  3. Si l = 3 L B L + 1 4 + 3 + 2 + 1 Nombre de chemins = + 3 + 2 + 1 + 2 + 1 l + 1 A II) Chemins

  4. Si l = 4 Si l = 2 Si l = 3 Si l = 4 4 + 3 + 2 + 1 4 + 3 + 2 + 1 ? + 3 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1 II) Chemins

  5. Si l = 4 Si l = 2 Si l = 3 Si l = 4 4 + 3 + 2 + 1 4 + 3 + 2 + 1 ? + 3 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1 L + 1 L + 1 + 1 4 + 3 + 2 + 1 + 2 + 1 + 2 4 + 3 + 1 + 1 + 3 + 2 + 1 + 2 + 3 + 2 4 + 3 + 3 + 1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 II) Chemins

  6. Si l = 4 Si l = 2 Si l = 3 Si l = 4 4 + 3 + 2 + 1 4 + 3 + 2 + 1 + 1 + 2 + 3 4 + 1 + 3 + 2 + 1 + 1 + 2 + 3 + 2 + 1 + 3 + 1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 L + 1 L + 1 + 1 4 + 3 + 2 + 1 + 2 + 1 + 2 4 + 3 + 1 + 1 + 3 + 2 + 1 + 2 + 3 + 2 4 + 3 + 3 + 1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 II) Chemins

  7. 1 1 1 1 2 1 3 1 3 1 4 4 1 6 1 10 5 1 5 10 1 1 6 15 15 6 1 20 II) Chemins >> Le triangle de Pascal

  8. 1 6 3 1 3 2 1 1 1 II) Chemins >> Le triangle de Pascal

  9. 1 1 1 1 2 1 3 1 3 1 4 4 1 6 1 10 5 1 5 10 1 1 6 15 15 6 1 20 p n ! C = n p ! ( n- p ) ! II) Chemins >> Le triangle de Pascal

  10. ! Les factorielles ! ! = 1 x 2 x 3 3 ! = 1 x 2 x 3 x 4 4 ! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 5

  11. 1 1 1 n 1 2 1 3 1 3 1 p 4 4 1 6 1 10 5 1 5 10 1 1 6 15 15 6 1 20 p 2 4 ! n ! C = 6 4 p ! ( 4+ p ) ! 2 ! ( 4+ 2 ) ! n p ! ( n+ p ) ! II) Chemins >> Le triangle de Pascal

  12. L B l A p = L p n ! C = n p ! ( n- p ) ! n = L + l II) Chemins >> Le triangle de Pascal

  13. p n ! C = n p ! ( n- p ) ! p ( L + l )! C = L! ( ( L + l) -L ) ! L! x l ! n p = L n = L + l II) Chemins >> Le triangle de Pascal

  14. ( L + l )! Nombre de chemin = L! x l ! II) Chemins >> Le triangle de Pascal

  15. 3) Les triangles, les carrés et les cercles Dans le plan que nous utilisons traditionnellement, le plus court chemin pour relier deux points est la ligne droite. Ainsi les triangles, les carrés et les cercles ressemblent à ceci : Mais qu’en est-il à New York ? A B

  16. Les triangles  A New York, un triangle est un polygone qui peut avoir différentes formes : 3 triangles différents obtenus avec les mêmes points

  17. Les carrés A New York, nous allons définir deux droites parallèles comme deux droites où les points appartenant à ces droites sont toujours à la même distance l'un de l'autre. A New York, un carré peut être un carré traditionnel ou pas :

  18. Les cercles Un cercle est un ensemble de points à égale distance d'un point. A New York un cercle va être ainsi : •  En bleu, cercle de centre O et de rayon 1 •  En rouge, cercle de centre O et de rayon 2 •  En vert, cercle de centre O et de rayon 3

  19. Les cercles  Propriété: Soit O le centre du cercle C et n le rayon de C. Le cercle à New-York sera constitué de 4n points  Exemple : si n=3, il y aura 4 x 3 = 12 points sur le cercle

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