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單元：常用對數的應用

單元：常用對數的應用. y=log x. 發明對數的動機：天文科學. 西元1594年， 納皮爾 根據等比數列與等差數列的運算關係，發展出 對數 ，目的是用來處理天文學上的問題。. 引例說明 等比數列與等差數列的關係. 例如 有一組等比數列如下： 10 10 3 10 5 10 7 10 9 10 11 10 13 10 15 …… 將這一組等比數列分別取以10為底的 對數，可以得到下列的等差數列： 1 3 5 7 9 11 13 15 …… 你是否發現極大的數字是可以用簡單的數字表示呢？

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單元：常用對數的應用

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Presentation Transcript

  1. 單元：常用對數的應用 y=log x

  2. 發明對數的動機：天文科學 西元1594年，納皮爾根據等比數列與等差數列的運算關係，發展出對數，目的是用來處理天文學上的問題。

  3. 引例說明 等比數列與等差數列的關係 例如 有一組等比數列如下： 10 103 105 107 109 1011 1013 1015 …… 將這一組等比數列分別取以10為底的 對數，可以得到下列的等差數列： 1 3 5 7 9 11 13 15…… 你是否發現極大的數字是可以用簡單的數字表示呢？ 就是因為如此簡便，天文科學家才喜愛引用對數來表達極大的天文數字哦！！！

  4. 科學家伽利略曾說過： 『給我空間、時間和對數， 我就可以創造一個宇宙』

  5. 常用對數與生活： ‧噪音分貝 • 化學酸鹼度 • 芮氏地震規模 • 益智類題：求ax之整數位數或在小數點後第幾位出現非0數字……(本單元重點) • 其它：天文、科學、財經、生物等領域，對數一直被廣泛應用。

  6. 聲音響亮程度以分貝計算 你知道嗎？n隻蚊子在距離耳朵一米以內範圍，其所發出來的聲音響亮程度是多少分貝？答案是： 10 log n分貝

  7. 嬌生PH 5.5沐浴乳 • PH值= -log H+ • 純水之氫離子濃度為110-7mol/cm3 • 純水之PH值= -log110-7 = 7 • 愈高的PH值會有愈強的鹼度，愈低的PH值會有愈強的酸度。 • ‧市面上賣的洗潔精、洗髮精、 沐浴乳、化妝品等等產品上都 有標明其PH值。

  8. ◎芮氏地震規模 台灣921芮氏地震規模7.3 r = log10 I r 代表芮氏地震規模 I代表地震時釋放出來的 相對能量程度 、

  9. ◎ 嘿！嘿！嘿！挑戰：2連乘100次嗎?25=32210=1024 215=32768 220=1048576 ‧‧‧‧‧‧‧‧ 好大的數字啊！ 有沒有更簡單的算法？ 益智題

  10. 乘開之後，在小數點後面 第幾位出現非0數字？ 哈~ 哈~ 哈~ 把 0.5 連乘100次 就知道了！ 有沒有更簡 便的方法？ 益智題

  11. (一)常用對數 1.定義：以10為底的對數，稱常用對數。 底數10可被省略不寫。 即log10 x =log x 2.求常用對數的方法： 查表計算法 使用計算機

  12. (二)另一種表達型態 任一正數x，皆能表示如下： log x = n +  = 整數 + 0或正純小數 n稱為首數(nZ)， 稱為尾數(0  1)。

  13. 1.科學記號：物理、化學、生物常使用 任一正數x都可以表示成x = a  10n ，其中1 a  10,且n為整數。 例如：23000=2.3  104 2564=2.564  103 0.012=1.2  10-2 0.00005=5  10-5 ◎ a 的整數位是 1位數字！

  14. 2.整數位數與 10的次方關係 n與整數位數m有何關係？

  15. 3. 小數點後第幾位出現非0數字 與 10的次方關係 n與小數點後第m位出現非0數字之關係？

  16. 4. 規則 小結 x = a 10n ，n為整數，且1 a  10 x科學記號中10的次方n代表的意義： (1)當x  1時，可以知道x的整數位數共 有 n + 1 位。 (2)當0 x  1時，可以知道 x 在小數點 後面第 n  位出現非 0 的數字。

  17. (三)常用對數特性的歸納 (1)任一正數x之常用對數可以表示為一個整數 加上0或正純小數，即 log x = n + 其中n, 0<1.

  18. 說明一： 任一正數x ，其科學記號為x = 10n  a 其中 n 為整數，且 1 a  10 log x = log (10n  a ) = log 10n + log a = n + log a = n +  ( 設 =log a ) 所以，n為科學記號中10的整數次方。

  19. 說明二： 因為 =log a 1 a 10log1  loga  log100  loga  1即 0  1 所以 log x = n +  ,其中n為整數,為0或正純小數.

  20. (2)小結 任意正數x，log x可以表示如下：log x = n + , 其中n, 0<1.n稱為真數x的首數，為尾數。 ◎尾數為0或正純小數 、首數x為一整數。

  21. (3)實例說明 　 ………… log2000=log103 2=log103+log2=3+0.3010log200=log102 2=log102+log2=2+0.3010log20=log101 2=log101+log2=1+0.3010log2= 0.3010=0+0.310 log0.2=log10-1 2=log10-1+log2=-1+0.3010log0.02=log10-2 2=log10-2+log2=-2+0.3010log0.002=log10-3 2=log10-3+log2=-3+0.3010 …………

  22. ◎附註：首數為負數之另一種記法 如log x = -3 + 0.3055 = .3055 (四)首數與尾數 之練習題log x = n +  其中n, 0<1. 練習、求下列的首數與尾數 (1) log x =4.8751 (2) log x =-2.6945 = 4 + 0.8751 故 首數 = 4 ， 尾數 = 0.8751 = -3 + 0.3055 故 首數 = -3 ， 尾數 = 0.3055

  23. (五)真數x的位數與首數n的關係1.若真數 x1 時 真數x有m(=n+1)位整數log x的首數n=m-1 ◎log x的首數n就是真數x科學記號中10的次方n。 例如： 23000=2.3104 返回

  24. 例題一：求下面對數值之首數 (1)log 1234 (2)log987.654 解： 1234 = 1.234×103 log1234之首數為3 解： 987.654 = 9.87654102 log987.654之首數為2 隨堂練習1.

  25. 隨堂練習1.：求下面對數值之首數 (1)log 7 (2)log452 解答提示：(1) 7=7100(2) 452=2025=2.025 103

  26. 例題二、求真數 x 之整數位有幾位？ (1) log x = 1.51 (2) log x =4.221 解： log x = 1.51 =1 + 0.51 n=1 整數位=1+1=2 解： log x = 4.221 =4 + 0.221 n=4 整數位=4+1=5

  27. 隨堂練習2： • 求真數 x 之整數位有幾位？ • log x = 3.21 (2) log x =5.001 解答提示：(1)n=3，3+1=4(2)n=5，5+1=6

  28. 2.若真數 x 在0、1之間在小數點後面第m位出現非0數字log x的首數n = - m ◎ 註： m=| n | 例如：0.0023=2.310-3 返回

  29. 例題三：求下面對數值之首數 (1)log 0.0345 (2)log0.00007 解： 0.0345 = 3.4510-2 log0.0345之首數為-2 解： 0.00007 = 710-5 log0.00007之首數為-5

  30. 隨堂練習3：求下面對數值之首數 (1)log 0.9009 (2)log0.002 解答提示：(1)0.9009=9.009 10-1(2)0.002=2 10-3

  31. 例題四：求下列真數X在小數點後 第幾位出現非0數字？ (1)logx=-5+0.321 (2)logx=-3.245 解： 首數 n= -5 真數x在小數點後 第5位出現非0數字。 解： logx= - 3.245 = -4 + 0.755 首數 n= -4 真數x在小數點後 第4位出現非0數字。

  32. 隨堂練習4：求下列真數X在小數 點後第幾位出現非0數字？ (1)logx=-4+0.214 (2)logx=-2.01 解答提示：(1)n=-4(2)-2.01=-3+0.99,n=-3

  33. (五) 首數的應用 • 230乘開後是幾位數？ • (1/2)20乘開後，在小數點後第幾位出現非0的數？

  34. 例題五： 230乘開後是幾位數？(log2=0.3010) 重點提示 解： (求log 230之首數) 令x = 230 log x = log 230 = 30 log 2= 300.3010 = 9.030 = 9 + 0.030 log x 首數為9 x 為10位數 故 230乘開後是10位數 隨堂練習5： 2100乘開後是幾位數？

  35. 例題六：(1/2)20乘開後，在小數點後第幾位出現非0的數字？ (log2=0.3010) 解：(求log(1/2)20之首數) 重點提示 令x = (1/2)20log x = log (1/2)20 = 20 log(1/2) = -20 log 2 = -200.3010= -6.020 = -7 + 0.980 log x 首數為 -7x 在小數點後第7位出現非0的數故(1/2)20乘開後在小數點後第7位出現非0的數字 隨堂練習6：(1/2)100乘開後，在小數點後第幾位出現非0的數字？

  36. ◎重點總結今天上了哪些？我們再重新回想一次！ • 常用對數定義 • 常用對數應用 • 任意正數之科學記號表示 • 任意正數之對數可表示為(首數 + 尾數) (整數 + 0或正純小數) • 首數之應用(與位數關係)

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