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5.6 数据拟合与最小二乘法

5.6 数据拟合与最小二乘法. 实例：考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系 , 下表 是实际测定的 24 个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数 是记录 :. 纤维强度随拉伸 倍数增加而增加. 并且 24 个点大致分 布在一条直线附近. ---------(1). 必须找到一种度量标准来衡量什么曲线最接近所有数据点. 一、最小二乘法. 考虑一般的线性超定方程：. ---------(2). 写成矩阵形式：. ---------(3). 其中，. 记. --(4).

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5.6 数据拟合与最小二乘法

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Presentation Transcript

  1. 5.6 数据拟合与最小二乘法 实例：考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系,下表 是实际测定的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数 是记录:

  2. 纤维强度随拉伸 倍数增加而增加 并且24个点大致分 布在一条直线附近 ---------(1)

  3. 必须找到一种度量标准来衡量什么曲线最接近所有数据点必须找到一种度量标准来衡量什么曲线最接近所有数据点 一、最小二乘法 考虑一般的线性超定方程： ---------(2) 写成矩阵形式：

  4. ---------(3) 其中， 记 --(4) 并称向量 为超定方程组(2)的余向量 定义：称n维向量 为线性超定方程组(2) 的最小二乘解，如果它使 --(5) 达到最小值.

  5. 要使(5)达到最小值，即求F的最小值，因此有：要使(5)达到最小值，即求F的最小值，因此有： 即：

  6. 上式写成矩阵形式为： ---------(6) 将n元线性方程组(6)称为超定方程组(2)的正规方程组 或法方程组，其解称为超定方程组(2)的最小二乘解 定理：如果线性超定方程组(2)的系数矩阵A的列向量组 线性无关，则其正规方程组(6)存在唯一的解向量 , 而且 是式(2)的最小二乘解，即对任意的n维向量 ， 当 时有

  7. 证： 因为A的列向量线性无关，所以由线性代数的知识 可以知道 是对称正定矩阵，因此方程组(6)存在 唯一的解向量 . 设 记

  8. 二、数据拟和 已知n组实验数据 求表达式 ，使它尽可能地反映已知数据的变化 趋势，也就是说要求误差向量 --(7) 按某种范数达到最小，这个问题称为数据拟和(或曲线 拟和)问题，称 为拟和曲线或经验公式 如果拟和曲线是次数低于n-1的代数多项式，则称其为 多项式拟和 以下讨论多项式拟和的最小二乘法

  9. -(8) 将 分别代入多项式(7)的两端，得 一个含有m+1个未知数的线性超定方程组：

  10. ----(9) 写成矩阵形式为： 其中，

  11. 的解,其中

  12. 例1. 回到本节开始的实例，从散点图可以看出 纤维强度和拉伸倍数之间近似与线性关系 故可选取线性函数 为拟合函数， 的正规方程组

  13. 法方程组为 解得

  14. 拟合曲线与散点 的关系如右图:

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