III. Функции нескольких переменных.

1. III. Функции нескольких переменных. • Определение. Если каждой паре действительных чисел (x; y) из области D по определенному правилу ставится в соответствие только одно число z из области Е, то говорит, что на множестве Dзадана функция двух переменных z = z(x, y). • Значение z(a; b) функции z = z (x, y) есть значение этой функции, вычисленное при x = a, y = b.

2. Пример 1. . Найти значение z в т. М(1; -1).

3. Пример 2. Найти область определения функции . Такая функция вычисляется, если подкоренное выражение неотрицательно, т.е. 1 – x2 – y2≥ 0x2 + y2 ≤ 1 Область есть указанный на рисунке круг.

4. Частные производные. Определение. Частной производной функции z = z(x, y) по аргументу x называется производная этой функции по x, при постоянном y. Обозначения:

5. Аналогично, частной производной функции z = z(x, y)по аргументу y называется производная этой функции по yпри постоянном x. • Обозначения:

6. Из определения следует, что на момент дифференцирования функция z является функцией одной переменной и, следовательно, при нахождении частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования функций одной переменной.

7. При дифференцировании полезна следующая таблица: xx' = 1, xy' = 0 yy' = 1, yx' = 0 cx' = 0, cy' = 0, c – const • Примеры. • z = x3 – 3x2y + 2y3 + 1, zx', zy' - ? zx' = (x3 – 3x2y + 2y3 + 1)x' = (y – const) = (x3)x' – (3x2y)x' + (2y3)x' + 1x' = = 3x2 - 3y · (x2)x' + 0 + 0 = 3x2 – 6xy

8. zy' = (x3 – 3x2y + 2y3 + 1)y' = (x – const) = (x3)y' – (3x2y)y‘ + (2y3)y' + 1y' = = 0 – 3x2 · yy' + 2(y3)y' + 0 = -3x2 + 6y2 2. z = xy, zx', zy' - ? zx' = (xy)x' = yxy-1, zy' = (xy)y' = xylnx (y – const) (x – const)

9. Полный дифференциал • Пусть z=z(x, y), где x=x(u, v), y=y(u, v), u и v – независимые переменные. Тогда частные производные сложной функции z = z(x(u, v), y(u, v)) = f(u, v) находятся по формулам: (1) (2)

10. Найдем 6 частных производных, входящих в правые части равенств (1) и (2): • Пример.

11. Эти 6 производных подставляются в (1) и (2): В данные выражения подставлять x(u, v) и y(u, v) и упрощать их необязательно. В каждом конкретном случае, когда необходимо вычислить z’uи z’vв т. М(х0; у0), рациональнее предварительно вычислять х и у в этой точке и полученные значения подставлять в (3) и (4).

12. Частные производные высших порядков • Частными производными второго порядка функции z=z(x, y) называются частные производные от частных производных первого порядка.

13. Порядок дифференцирования указан в индексе пи прочтении слева направо. • Последние две производные отличаются только порядком, называются смешанными и в случае их непрерывности равны. Пример. z = x2-2xy2Найти все частные производные 2-ого порядка и проверить равенство z’’xy = z’’yx

14. Вначале найдем частные производные первого порядка: z’x = (x2-2xy2)’x = 2x-2y2, z’y = (x2-2xy2)’y = -4xy Теперь z’’xx = (2x-2y2)’x = 2, z’’yy = (-4xy)’y = -4x z’’xy = (2x-2y2)’y = -4y, z’’yx = (-4xy)’x = -4y Нетрудно видеть, что z’’xy = z’’yx Выполнение этого условия может служить критерием правильности нахождения частных производных 1-ого порядка и смешанных – 2-ого порядка.

15. Экстремум функции нескольких переменных • Точка M(a; b) называется точкоймаксимума (минимума) функции Z(x , y), если существует такая окрестность точки M, что для всех других точек из этой окрестности Z(x, y)<Z(a, b) (Z(x, y)>Z(a, b)) • Точки максимума и минимума функции называются точками ее экстремума. Соответствующее значение функции есть экстремум.

16. Находить экстремум согласно определению в общем случае бессмысленно. Выделить из области определения функции конечное число точек, претендующих на точки экстремума, помогает необходимое условие экстремума. • «Точками экстремума могут служить только критические точки, т.е. точки из области определения функции, в которых все ее частные производные 1-ого порядка обращаются в нуль, или не существует хотя бы одна из них». • Выделить из множества критических точек точки экстремума позволяют достаточные условия экстремума. Укажем на 2 из них.

17. Точками экстремума являются лишь те из критических точек, в окрестности которых приращение функции ∆Z=Z(x, y) - Z(a, b)не меняет знака. При этом, если ∆Z>0 (∆Z<0), то критическая точка есть точка минимума (максимума).

18. Рассмотрим в критической точке М(a; b) дискриминант ∆=АС-В2, где А=z’’xx(a; b), C=z’’yy(a; b), B=z’’xy(a; b),илиB=z’’yx(a; b). Тогда: 1) если ∆>0, то М(a; b) - точка экстремума, а именно точка максимума при А<0 (или C<0) и точка минимума при A>0 (или C>0); 2) если ∆<0, то в точке М экстремума нет; 3) если ∆=0, то требуется дополнительное исследование.

19. Пример. Найти экстремум функции z=y2-4y+x2 Найдем критические точки. Выпишем частные производные 1-ого порядка: z’x=(y2-4y+x2)’x=2x z’y=(y2-4y+x2)’y=2y-4 Приравниваем их к нулю: - критическая точка

20. Производные существуют во всей области определения. Найдем дискриминант ∆=АС-В2. Для этого вначале вычислим частные производные 2-ого порядка: z’xx=(2x)’x=2 z’yy=(2y-4)’y=2 Из равных смешанных производных находят ту, которая получается проще, например, z’’xy: z’’xy=(2x)’y=0

21. Тогда A=z’’xx(0; 2)=2, C=z’’yy(0; 2)=2, B=z’’xy(0; 2)=0. Дискриминант ∆=2·2-02=4>0 => М(0; 2) точка экстремума. A=2>0 => М(0; 2) - точка минимума. Тогда zmin = z(0; 2) = 22 - 4·2 + 0 = -4 Ответ: zmin=-4