경 제 수 학 MATHEMATICAL ECONOMICS

경 제 수 학 MATHEMATICAL ECONOMICS 이 기 성

제1장 수리경제학의 성격

수리경제학의 성격 • 수리경제학(mathematical economics) • 경제분석의 한 접근방법으로서 수학기호를 사용하여 • 문제를 서술하고, 그 해결을 위한 추론과정에서 • 수학의 정리를 이용 • 수리경제학에서는 수학의 모든 분야를 이용하는 것이 • 아니라 경제학 분석에 응용 가능한 수학적 지식을 이용함. • 전통적으로 수리경제학에서 다루는 수학 기법으로는 • 기하학 이외에 행렬대수, 미분 및 적분법, 미분 및 • 차분방정식 등임.

경제현실 • 수리경제학의 영역 수리경제학의 영역 경제현실 설명, 적용, 응용 경제학 각 과목의 영역 (미시, 거시등) 경제이론 (경제모형) 수 학

수리경제학과 비수리경제학 • Mathematical economics & Literary economics • 모든이론의 분석 목적은 ‘항상 주어진 일단의 가정이나 • 공준들로부터 추론과정을 통해 결론이나 정리를 도출 • 하는 것’임. • 수리경제학(mathematical economics): • 가정과결론을 수학기호, 수식으로 표현하며, 추론과정 • 에서 수학정리를 이용 • 비수리경제학(literary economics): • 가정과결론을 단어, 문장으로 표현하며, 추론과정에서 • 비수학적 논리를 이용

기하학과 수리경제학 • 기하학적 분석과 수리적 분석 • 기하학적 분석의 장점 : • 시각적인 장점 • 기하학적 분석의 한계 : • 차원의 제한(예 : 3차원 이상의 그래프 유도 불가능) • 수리적 분석의 장점 : • - 수학기호(언어)의 간결성과 정확성 • - 풍부한 수학적 정리의 사용 • - 명시적 가정의 서술 • - 변수가 n개인 일반적인 경우에의 적용 가능

수리경제학과 계량경제학 • Mathematical economics & Econometrics • 계량경제학(econometrics): • 경제자료의 측정을 다루는 분야로 추정과 가설검정의 • 통계적 방법을 이용하여 경험적으로 관측된 것을 • 연구하는 분야 • 수리경제학(mathematical economics): • 통계적 문제에는 관심을 두지 않고 경제분석의 • 순수이론적 측면에 수학을 적용함.

수리경제학과 계량경제학 • Mathematical economics & Econometrics • 그러나 경험적 연구와 이론적 분석은 상호보완적이며 • 서로 보강해 주는 역할을 함. • → 즉, 이론이 신뢰성을 가지고 적용되려면, • 이에 앞서 경험적 자료에 의한 검정과정을 거쳐야 함. • 또한 통계적 작업이 의미 있고 유용한 연구방향을 • 결정하려면 그 지침으로서 경제이론이 필요함. • 예 : Keynes의 소비함수의 이론적 연구→소비성향의 • 통계적 추정→Friedman의 소비함수 이론의 정치화

제2장 경제모형

경제모형 • 경제모형(economicmodel) • 현실 경제는 엄청난 복잡성 때문에 모든 상호관계를 • 이해하는 것은 불가능함. • 경제이론은 현실 세계에 대한 하나의 추상에 불과함. • (=이론적 모형) • 즉, 경제모형은 의도적으로 단순화시킨 분석의 틀로서 • 실제 경제의 골격을 개략적으로 나타내는 것임. • 경제모형은 단지 이론적 틀이므로, 그것이 반드시 • 수리적 모형이어야 할 내재적 이유는 없음.

수리적모형(mathematical model) • 수리모형의 구성요소 : 변수, 상수, 파라미터 • 경제모형이 수리적 모형이라면, 그 모형은 일반적으로 • 그 구조를 나타내는 일단의 방정식들(equations)로 • 구성됨. • 변수(variable) : • 그 크기가 변할 수 있는 값으로, 여러 가지 값을 취할 수 • 있는 것(또는 기호), 즉 랜덤(random)하게 달라지는 것 • (예 : 가격, 이윤, 판매수입, 비용, (국민)소득, 소비, 투자, • 수입, 수출 등 경제학에서 고려되는 거의 모든 것)

수리적모형(mathematical model) • 수리모형의 구성요소 : 변수, 상수, 파라미터 • 변수(variable) • - 내생변수(endogenous variable) : • 모형으로부터 해의 값이 구해지는 변수 • 외생변수로부터 영향을 받아 모형 내부에서 결정 • 되어지는 변수(=방정식의 미지수(unknowns)) • - 외생변수(exogenous variable) : • 모형의외부 힘에 의해 결정되는 변수 • → 어떤 모형에서의 내생변수인 것은 다른 모형에서는 • 외생변수가 될 수 있음.

수리적모형(mathematical model) • 수리모형의 구성요소 : 변수, 상수, 파라미터 • 경제학에서의 내생변수와 외생변수의 예 • - 단순한 수요이론에서 때때로 가격(외생변수)이 • 주어지면, 이에 의하여 균형량(내생변수)이 결정됨. • - 국제 유가의 인상(외생변수)으로 국내 물가(내생변수) • 가 상승하고, 이에의하여 무역수지(내생변수)가 악화됨. • - 여름철의이상 저온(외생변수)으로 인하여 아이스크림 • 소비(내생변수)가 저조함.

수리적모형(mathematical model) • 수리모형의 구성요소 : 변수, 상수, 파라미터 • 상수(constant) • 그 크기가 변하지않는 양으로, 변수의 정반대임. • 계수(coefficient) • 상수가변수와 결합될 때, 이를 그 변수의 계수라 함. • 상수는 수가 아니라 기호일 수도 있음(예 : 7P, aP).

수리적모형(mathematical model) • 수리모형의 구성요소 : 변수, 상수, 파라미터 • 파라미터적상수(parametric constant)=parameter : • - 변수가 되는 상수(=모형의 특성을 나타내는 상수) • - 예를 들어 aP에서 기호 a는 어떤 특정한 수치로 • 지정되지 않았으므로 실제로는 여러 가지 어떤 값도 • 취할 수 있는 변수인 상수임. • - 파라미터는 외생변수와 유사하므로, 즉 외부로부터 • 주어진 것으로 간주하기 때문에 편의상 파라미터라고함. • - 외생변수는 내생변수와 구분하기 위하여 하첨자를 • 붙임(예 : P는 가격, P0는 외생적으로 결정된 가격).

수리적모형(mathematical model) • 수리모형의 구성요소 : 등식과 항등식 • 방정식의 유형 : 정의식, 행태식, (균형)조건식 • 정의식(definitional equation=항등식) : • 똑같은 의미를 갖는 두 개의 다른 표현 사이의 항등관계를 • 나타내는 방정식 • π(총이윤)R(총수입)-C(총비용) • 행태식(behavioral equation) : • 한 변수가 다른 변수들의 변화에 어떤 식으로 반응(대응) • 하는가를 규정하는 방정식 • C=75+10Q, C=110+Q2

수리적모형(mathematical model) • 수리모형의 구성요소 : 등식과 항등식 • (균형)조건식(equilibrium conditional equation) : • - 균형개념을 포함하는 모형의 경우 해당 • - 균형의 달성을 위해 필요한 조건을 나타내는 방정식 • Qd=Qs (수요량=공급량 : 시장모형의 균형) • S=I (의도된 저축=의도된 투자 : • 단순한국민소득모형의 균형) • MC=MR (한계비용=한계수입 : 최적화조건)

실수체계 • 수의체계 • 모든 정수의 집합(setof all integers) • - 양(+)의정수(positiveintegers) : 1, 2, 3, ∙∙∙ • - 영(zero) : 0 • - 음(-)의정수(negative integers) : -1, -2, -3, ∙∙∙ • 모든 분수의 집합(setof all fractions) • - 정수와정수 사이의 수 • - 양(+)의분수(positivefractions) : 2/3, 5/4, 7/3, ∙∙∙ • - 음(-)의분수(negative fractions) : -1/2, -2/5, -5/3, ∙∙∙

실수체계 • 수의체계 • 모든 유리수의 집합(setof all rationalnumbers) • - 모든분수의 공통적인 성질은 두 정수의 비로 표현됨. • - 유리수는 두 정수의 비로 나타낼 수 있는 수 • - 여기서 rational은 ‘합리적’ 의미가 아니라 ‘비율’을 의미 • - 따라서 모든 정수의 집합과 모든 분수의 집합의 합은 • 모든 유리수의 집합임. • - 유리수의 또 다른 특성은 유한소수(terminating decimal : • 즉 1/4=0.25)로 표현되거나, 소수점 이하의 숫자들이 • 무한히 반복되는 순환소수(repeating decimal)로표현됨.

실수체계 • 수의체계 • 무리수(irrationalnumber) • - 두 정수의 비로 표현될수 없는 수 • =1.4142∙∙∙, π=3.1415∙∙∙ • - 무리수의 공통적인 특성은 비순환무한소수라는 점 • - 각 무리수는 수직선상 두 유리수 사이에 위치

실수체계 • 수의체계 • 모든 실수의 집합(setof all realnumbers : R) • - 수직선상에서분수가 정수 사이의 틈을 채워 주고, • 무리수는 유리수 사이의 틈을 채워줌. • - 이러한 채워 넣기의 결과는 수의 연속체(continuum) • 가 됨. 이 수들을 모두 실수(real number)라고 함. • - 수직선을 연장하여 그 집합 R을 하나의 직선으로 • 나타낼 때, 그 직선을 실직선(real line)이라함.

집합(set)의개념 • 집합과 원소의 개념 • 집합(set) : • - 주어진 조건에 의하여 그 대상을 분명히 알 수 있는 • 것들의 모임 • - 단순히성격이 명확한 대상들의 모임 • (예 : 모든 재화들의 가격들) • - 이 대상들은 수일 수도, 사람일 수도, 또는 다른 어떤 • 것일 수도 있음. • 원소(element) : • 집합을구성하는 대상하나하나(예 : 각 재화의 가격)

집합(set)의개념 • 집합의 구성요소 • 일반적으로 집합은 알파벳 대문자를 사용하고, • 원소는 알파벳 소문자를 사용함. • 집합의 구성요소는 기호 ‘’(원소 : element의 e를 의미 • 하는 그리스 문자 ε의 변형) : “~은 ~의 원소이다.” • 2S, 3S, 8I, 9I • 8S • xR : “x는 하나의 실수이다.” • 집합과 원소 사이의 관계 : • 원소집합

집합(set)의개념 • 집합의 표기법 • 집합의 표기방법에는 열거방법(enumeration method), • 서술방법(description method), 벤 다이어그램이 있음. • 열거방법(=원소나열법) : 원소들을열거 • S={2, 3, 4} • 서술방법(=조건제시법) : 원소의 특징을 서술 • I={x│x는 양의 정수} • J={x│2<x<5} • 집합 S는 유한 개수의 원소를 가진 유한집합(finite set) • 집합 I,J는 무한 개수의 원소를 가진 무한집합(infinite set)

집합(set)의개념 • 집합의 표기법 • 벤 다이어그램(Venn diagram) : • 원, 사각형 등을 이용하여 집합을 나타낸 그림 • S • 2 3 4

집합(set)의개념 • 집합표기법의 정리 • 열거방법의 경우 원소의 나열순서는 바꾸어도 됨. • {2, 3, 4} = {2, 4, 3} • 열거방법에서 같은 원소는 중복하여 쓰지 않음. • {2, 3, 4, 4} (X), {2, 3, 4} (O) • 서술방법에서 기호 { }가 이미 모임을 의미하므로 • {x│x는 양의 정수의 모임}과 같이 쓰지 않음. • {x│x는 양의 정수} (O)

집합(set)의개념 • 집합 사이의관계 • 두 집합 A, B 사이에 다음과 같을 때 집합 A와 B는 같음. • A={2, 7, a, f}, B={2, a, 7, f}일때, • 또는 AB인 동시에 AB인경우 • 부분집합(subset) : • - 집합 A의 모든 원소가 집합 B의 원소이면, 집합 A는 • 집합 B의 부분집합이라 함. • A={3, 7}, B={1, 3, 5, 7, 9} • - 집합 A가 집합 B의 부분집합이라면, • xA일 때 반드시 xB임.

집합(set)의개념 • 집합 사이의관계 • 부분집합(subset)의표현 : • - 집합 A가 집합 B의 부분집합일 때 AB 또는 BA로 • 나타냄. • - 집합 A가 집합 B의 부분집합이 아닐 때 AB로 나타냄. • - 두 집합 A,B의 원소가 모두 같을 때, 즉 AB이고 • AB일 때 집합 A와 집합 B는 서로 같음(A=B). • - 두집합이서로 같지 않을 때 AB로나타냄. • 집합과 집합 사이의 포함관계 : “~은 ~에(을) 포함된다.” • 집합집합, 여기서 ‘’는 contain(포함하다)의 c를 의미

집합(set)의개념 • 집합 사이의관계 • 진부분집합(proper subset=순수부분집합): • 어떤 집합의 부분집합 중에서 자기자신을 제외한 • 부분집합, 즉 두 집합 A, B에 대하여 AB이고 AB일때 • A를 B의 진부분집합이라 함. • 공집합(null set, emptyset) : • - 원소가없는 집합으로  또는 { }로 나타냄. • - 공집합은 유일함(=유한집합). • {x│x는 2보다 크고 4보다 작은 짝수}= • - 공집합은 모든 집합의 부분집합(가장 작은 부분집합)

집합(set)의개념 • 집합 사이의관계 • 부분집합(subset)의 개수 : • - (유한)집합 A의원소개수는 기호로 n(A)로 나타냄. • - 공집합의 원소 개수는 n()=0 • - 원소의 개수가 n개인 집합의 부분집합의 개수는 2n임. • A={a, b}; 원소 개수가 2개이므로 부분집합의 개수는 • 22=4개 : , {a}, {b}, {a, b} • - 위에서 적색으로 표기한 집합은 집합 A의 진부분집합 • (AB이고 AB)임.

집합(set)의개념 • 집합 사이의관계 • 분리집합(disjoint set) : • - 두 집합이 공통된 원소를전혀 갖지 않는 집합 • - 예 : 모든 양(+)의 정수 집합과 모든 음(-)의 정수 집합 • - 만약 두 집합의 원소 일부만 공통되는 경우 두 집합은 • 같지도 않고 분리되어 있는 것도 아님. 또한 둘 중 • 어느 집합도 다른 것의 부분집합이 아님 : • A={1, 2, 3, 4, 5}, B={2, 4, 6, 8}

집합(set)의개념 • 집합의연산 • 합집합(Union) : • - 두 집합 A, B에 대하여 A에 속하거나 B에 속하는, 즉 • A 또는 B 모두에 속하는 원소 전체로 이루어진 집합 • - AUB={x│xA 또는(or) xB} • A={3, 5, 7}, B={2, 3, 4, 8}이면, AUB={2, 3, 4, 5, 7, 8} • 모든정수와 모든 분수의 합집합은 모든 유리수의 집합 • 유리수 집합과 무리수 집합의 합집합은 모든 실수 집합

집합(set)의개념 • 집합의연산 • 교집합(i∩tersection=공통부분; common part) : • - 두 집합 A, B에 대하여 A에도 속하고 B에도 속하는, 즉 • A 그리고(및) B에 속하는 원소 전체로 이루어진 집합 • - A∩B={x│xA 그리고(and) xB} • A={3, 5, 7}, B={2, 3, 4, 8}이면, A∩B={3} • A={-3, 6, 10}, B={9, 2, 7, 4}이면, A∩B= • A∩B=일 때, A와 B는 서로 소(素; disjoint)라 함.

집합(set)의개념 • 집합의연산 • 합집합과 교집합의 성질 (과제) : • - A∩A=A, 그리고AUA=A • - A∩=, 그리고 AU=A • - AB일 때, A∩B=A, 그리고 AUB=B • - (A∩B)A, A(AUB), (A∩B)(AUB)

집합(set)의개념 • 집합의연산 • 전체집합(universal set : U) • 주어진 집합에 대하여 그의 부분집합을 생각할 때, • 처음 주어진 집합을 전체집합(U)이라함. • 보집합(=여집합)(complement : Ac, A′, Ã) • - 전체집합(U)의부분집합 A에 대하여 U의원소 중 A에 • 속하지 않는 원소 전체로 이루어진 집합 : • Ac={x│xU 그리고(and) xA} • U={5, 6, 7, 8, 9}, A={5, 6}이면, Ac={7, 8, 9} • - 전체집합(U)의 보집합(Uc)은공집합()임.

집합(set)의개념 • 집합의연산 • 보집합(=여집합)의 성질 (과제): • - A∩Ac=, 그리고 AUAc=U • - (Ac)c=A • - c=U, 그리고 Uc= • - (A∩B)c=AcUBc • - (AUB)c=Ac∩Bc

집합(set)의개념 • 집합의연산 • 차집합(difference) : • - 두 집합 A, B에 대하여 A의원소 중에서 B에 속하지 않는 • 원소 전체로 이루어진 집합(A-B 또는 A\B로 표기) • - A-B={x│xA 그리고 xB} • - B-A={x│xB 그리고 xA} • - A-BB-A • A={a, c, d, f}, B={c, d, e}이면, A-B={a, f} • A={a, c, d, f}, B={c, d, e}이면, B-A={e}

집합(set)의개념 • 집합의연산 • 차집합의 성질 (과제): • - A-BB-A • - A-B=A∩Bc=(AUB)-B=A-(A∩B) • - U-A=Ac • - A-B=이면 AB

집합(set)의개념 • 집합연산의법칙 • 교환법칙(commutative law) : • AUB=BUA, 그리고 A∩B=B∩A • 결합법칙(associative law) : • AU(BUC)=(AUB)UC, 그리고 A∩(B∩C)=(A∩B)∩C • 분배법칙(distributivelaw) : • A∩(BUC)=(A∩B)U(A∩C) • AU(B∩C)=(AUB)∩(AUC)

집합(set)의개념 • 집합연산의법칙 • 예(교재 p.14) : • A={4, 5}, B={3,6,7}, C={2, 3}일 때, 분배법칙의확인 • - A∩(BUC)=(A∩B)U(A∩C) • 좌변: A∩(BUC)={4, 5}∩{2, 3, 6, 7}= • 우변: (A∩B)U(A∩C)=U= • - AU(B∩C)=(AUB)∩(AUC) • 좌변: AU(B∩C)={4, 5}U{3}={3, 4, 5} • 우변: (AUB)∩(AUC)={3, 4, 5, 6, 7}∩{2, 3, 4, 5} • ={3, 4, 5}

관계(relation)와함수(function) • 순서쌍(ordered pair) • 집합(set)의경우 : • - 집합 {a, b}에서원소 a, b의 순서는 의미가 없음. • {a, b}={b, a} • - 이경우원소 a와 b는 비순서쌍(unordered pair)임. • 순서쌍(ordered pair)의 경우 : • - a와 b의 순서가 의미를 가질 때는 (a, b)와 (b, a)는 • a=b가 아닌 한 (a, b)(b, a)이라는성질을 가짐. • - 이 경우 (a, b)와 (b, a)는 서로 상이한 순서쌍이 존재 • - 순서쌍인 경우 중괄호({ })로 대신 소괄호(( ))로 표기

관계(relation)와함수(function) • 순서쌍(ordered pair) • 순서집합(ordered set) • - 순서쌍(ordered pair) : 원소가 2개인 순서집합 • - 3중 순서쌍(ordered triple) : 원소가 3개인 순서집합 • - 4중 순서쌍(ordered quadruple) : 원소가 4개인 순서집합 • - 5중 순서쌍(ordered quintuple) : 원소가 5개인 순서집합 • - n중 순서쌍(ordered n tuple) : 원소가 n개인 순서집합 순서집합

관계(relation)와함수(function) • 순서쌍(ordered pair) • 수학에서의순서쌍 : • - 순서쌍의 대표적인 예는 평면 또는 공간상의 좌표 • (coordinates)임. • - 예로, 순서쌍 (x, y)는 평면상의 임의의 점 P의 좌표임. • - 여기서 x는 점 P의 x-좌표, y는 점 P의 y-좌표임.

관계(relation)와함수(function) • 순서쌍(ordered pair) • 데카르트 곱=카티시안 적(積) 또는직접 곱(Cartesianproduct • ordirectproduct)의정의 : • - 공집합이 아닌 두 집합 A와 B가 주어졌을 때, • 집합 A에 속하는 하나의 원소 a와 집합 B에 속하는 • 하나의 원소 b로 이루어진 모든 순서쌍 (a, b)의 집합을 • A와 B의 데카르트 곱(Cartesianproduct)이라 함. • - 이를 집합기호로는 AB={(a, b)│aA, bB}라고 표기 • - 여기서 a는 첫번째 좌표(firstcoordinate) 그리고 b를 • 두번째 좌표(secondcoordinate)라 함.

관계(relation)와함수(function) • 순서쌍(ordered pair) • 데카르트 곱=카티시안 적(積) 또는직접 곱(Cartesianproduct • ordirectproduct) : • - 이용어는프랑스 수학자 데카르트(Descartes; 1596~ • 1650)가 처음 사용한데서 유래 • - 집합 x={1, 2}, y={3, 4}로부터 4개의 순서쌍이 만들어짐. • - 이를데카르트 곱(xy)으로 표현하면 다음과 같음 : • xy={(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)} • - yx={(3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2)} • - xy  yx

관계(relation)와함수(function) • 순서쌍(ordered pair) • 데카르트 곱(Cartesianproduct) : • - x,y가 모든 실수를 포함한다면 데카르트 곱은 다음과 • 같음. • xy={(a, b)│aR and bR} • - 즉, 실수값을 원소로 하는 모든 순서쌍의 집합임. • - 각순서쌍은 직교좌표평면상의 유일한 점에 대응함. • 역으로 직교좌표평면상의 각 점도 집합 xy에 속하는 • 유일한 순서쌍에 대응함. 즉, 순서쌍의 집합과 좌표 • 평면상의 점들 집합 사이에 1:1 대응관계가 존재함.

관계(relation)와함수(function) • 순서쌍(ordered pair) • 데카르트 곱(Cartesianproduct) : • - xy={(a, b)│aR and bR}=RR=R2 : • 2차원 평면의모든점들 집합에 대응 • - xyz={(a, b, c)│aR, bR, cR}=RRR=R3 : • 3차원 공간의 모든 점들 집합에 대응

관계(relation)와함수(function) • 관계와 함수 • 관계(relation) : • 모든순서쌍들은 y값을 x값과 관련시키는 것이므로 • 순서쌍의 어떤 집합(즉, 데카르트 곱의 어떤 부분집합)은 • y와 x 사이에 하나의 관계를 구성함. • - 예 : 집합 {(x, y)│y=2x}는 (1, 2), (0, 0), (-1, -2),∙∙∙인 • 순서쌍들의 집합임. 이는 일종의 관계를 이루며, • graph 상으로는 직선 y=2x 상에 놓인 점들의 집합

관계(relation)와함수(function) • 관계와 함수 • 관계(relation) : • - 예 : 집합 {(x, y)│yx}는 (1, 0), (1, 1), (1, -4),∙∙∙을포함하는 • 순서쌍들로 이 역시 일종의 관계를 구성함. • 이 집합은 부등식 yx를 만족하는 graph 상으로는 • 음영 부분의 모든 점들의 집합에 대응함. • - 여기서 주목할 것은 x값이 주어졌을 때 어떤 관계로 • 부터 항상 유일한 y값을 결정할 수 있는 것은 아님. • - 그러나 각 경우는 설정된 관계를 만족시킴.

관계(relation)와함수(function) • 관계와 함수 • 함수(function) : • - 특별한 경우로 각 x값에 대해 오직 하나의 y값만이 • 대응하는 관계가 있는데, 앞의 예 y=2x의 관계가 • 그러한경우임. • - 함수란 첫번째 원소가 중복되지 않는 순서쌍의 집합 • - 즉, 함수란 각각의 x값이 유일하게 하나의 y값만을 • 결정하는 성질을 갖는 순서쌍들의 집합 • - 이때, y는 x의 함수(function)라 하며,y=f(x)로 표기함.

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