Il Piano Cartesiano

1. Il Piano Cartesiano 

2. Piano Cartesiano Il PIANO CARTESIANO è una struttura matematica che permette di identificare la posizione di un oggetto mediante numeri detti coordinate      1 dimensione: Es. una fila. La posizione dell’oggetto è individuabile con UNA coordinata:  (3) 1 2 3 4 5 4 4 2 dimensioni: Es. battaglia navale. La posizione dell’oggetto è individuabile con DUE coordinata:  (3; 2) 3 3  2 2 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4  3 dimensioni: Es. oggetto nello spazio. La posizione dell’oggetto è individuabile con TRE coordinata:  (3; 4; 2) 1 2 3 

3. Notazione Y L’asse verticale è chiamata asse delle ORDINATE o Y asse delle ORDINATE X asse delle ASCISSE L’asse orizzontale è chiamata asse delle ASCISSE o X 

4. Notazione Y La posizione di un oggetto nel piano cartesiano è individuata da due numeri: COPPIA ORDINATA di COORDINATE asse delle ORDINATE  (3; 2)  (X; Y) X asse delle ASCISSE ORDINATA perché la prima coordinata è SEMPRE la X la seconda coordinata è SEMPRE la Y 

6. Rappresentazione di un Punto Y Un oggetto viene rappresentato con un PUNTO A  Al quale viene associata una lettera A, B, …. O X 

7. Distanza tra due Punti Distanza tra due punti posti su un segmento VERTICALE Y Due punti posti su un segmento verticale sono caratterizzati dalla stessa coordinata X A 4 La loro distanza 3 si determina attraverso la relazione 2 B 1 O cioè … la distanza tra due punti posti su una verticale è la differenza tra la coordinata Y del punto più alto e la coordinata Y del punto più in basso X 1 2 3 4 AB = YA–YB AB AB = YA–YB = 4–1 = 3 u 

8. Distanza tra due Punti Distanza tra due punti posti su un segmento ORIZZONTALE Y Due punti posti su un segmento orizzontale sono caratterizzati dalla stessa coordinata Y A 4 La loro distanza 3 si determina attraverso la relazione 2 B 1 O cioè … la distanza tra due punti posti su una verticale è la differenza tra la coordinata X del punto più a destra e la coordinata X del punto più a sinistra X 1 2 3 4 AB = XB–XA AB AB = XB–XA = 3–1 = 2 u 

9. Unità di Misura La lettera u che compare al termine dei calcoli sta per unità di misura Nel ‘mondo reale’ le unità di misura sono rappresentate da metri, centimetri, chilometri, … Neldisegno, NON essendo sempre possibile riprodurre le distanze reali, viene utilizzata come unità di misura la distanza tra due tacche consecutive È sempre possibile risalire alle distanze reali se si conosce a quale lunghezza corrisponde l’unità del disegno. Es. se un segmento nel disegno risulta lungo 5u e so che u=150m, posso affermare che la distanza reale tra i due punti è: distanza reale = 5u = 5150= 750m 

10. Esercizio La casa di Dino, rispetto alla scuola, è posta alle coordinate (4; 3). Calcolare la distanza che deve percorrere Dino per recarsi a scuola, esprimere il risultato in metri e Km sapendo che una unità equivale a 105 metri. Y Comincio col disegnare il piano cartesiano … Soluzione … 4 Faccio coincidere la scuola con l’origine, come dice il testo, e pongo la casa di Dino nel punto D(4; 3)  3 Traccio un possibile percorso che Dino può percorrere per recarsi a scuola (questo sarà composto SOLO da segmenti rettilinei orizzontali e verticali perché sono i soli per i quali ho imparato a calcolare la lunghezza) 2 1 A  O Ora calcolo le distanze DA e AO; sommandole ottengo la lunghezza del percorso espresso in unità X 1 2 3 4 D  OA = XA – XO = 4 – 0 = 4u DA = YD - YA = 3 – 0 = 3u Percorso = DA + OA = 4 + 3 = 7u Calcolo la lunghezza reale trasformando le unità prima in metri e poi i metri in chilometri Percorso = 7u = 7 x 105m = 735 m Percorso = 735m : 1000 = 0.735 Km 

11. Esercizio La casa di Dino, rispetto alla scuola, è posta alle coordinate (4; 3). Sapendo che Dino per andare a scuola percorre 1.225 Km determinare a quanti metri corrisponde una unità Y Comincio col disegnare il piano cartesiano … Soluzione … 4 Faccio coincidere la scuola con l’origine, come dice il testo, e pongo la casa di Dino nel punto D(4; 3)  3 Traccio un possibile percorso che Dino può percorrere per recarsi a scuola (questo sarà composto SOLO da segmenti rettilinei orizzontali e verticali perché sono i soli per i quali ho imparato a calcolare la lunghezza) 2 1 A  O Ora calcolo le distanze DA e AO; sommandole ottengo la lunghezza del percorso espresso in unità X 1 2 3 4 D  OA = XA – XO = 4 – 0 = 4u DA = YD - YA = 3 – 0 = 3u Percorso = DA + OA = 4 + 3 = 7u 1.225 Km x 1000 = 1225 m Trasformo i Km in m Calcolo a quanti metri corrisponde una unità. 1u = 1225 m : 7 = 175 m Calcolo la lunghezza reale di una unità 

12. Prima di proseguire apriamo una parentesi per rivedere alcuni concetti riguardanti Rette parallele Rette perpendicolari. E fornire alcuni simbolismi e notazioni che serviranno da qui in avanti. sono state inserite slide prese dalla presentazione “rette e segmenti” 

13. Notazione 

14. Notazione P P Punto: lettere MAIUSCOLE dell’alfabeto latino: A; B … la coppia di lettere MAIUSCOLE che rappresentano gli estremi del segmento: AB; … Segmento: Q Retta: lettere minuscole dell’alfabeto latino:a;b… r Angolo: Lettere dell’alfabeto greco: a; b; … a 

15. RettePerpendicolari Retta e Segmento 

16. w v s r wvperché le rette incidenti NONformano 4 angoli retti rettePERPENDICOLARI () 2 rette si dicono PERPENDICOLARI se intersecandosi formano 4 angoli retti 90° 90° 90° 90° wv? s  r perché rette incidenti formanti 4 angoli retti 

17. w r P P M M Q Q w wNONèASSEdiPQ perchè wPQ A B M ASSE del SEGMENTO si chiama ASSE del SEGMENTO la rettaPERPENDICOLAREal segmento passante per il suoPUNTO MEDIO Evidenziamo il punto medio wNONè ASSEdiPQ perché NON passa perM w è ASSE di PQ? w è ASSE di PQ? r èASSEdiABperché r AB rpassa perM(punto mediodi AB) 

18. P r E D C B A H DISTANZA punto-retta LaDISTANZA di un punto da una retta è il segmento PIÙ CORTO congiungente il punto con la retta Quale è il segmento più corto ? Cosa si può dire riguardo l’angolo formato con la retta ? PH è il segmento più corto Forma un ANGOLO RETTO con la retta 

19. P r H piede dell’altezza PIEDE dell’ALTEZZA IlPIEDE dell’ALTEZZA è il punto d’intersezione H di r con la perpendicolare condotta da P a r 

20. RetteParallele Retta e Segmento 

21. Q P R r w v s Q' P' R' w//v perché la loro distanza CAMBIA rettePARALLELE (//) 2 rette si dicono PARALLELE se NON si intersecano mai = = 2 rette sonoPARALLELE se la loro distanza NON cambia w//v? 

22. Distanza tra dueRette 

23. Distanza tra due rette È possibile calcolare (misurare) la distanza tra due rette SOLO se le due rette sono PARALLELE 

24. A r s DISTANZA tra due RETTE Vediamo come determinare la distanza tra due rette parallele Scegliere su una delle due rette un punto Tracciare da questo punto la perpendicolare alla seconda retta. (chiamiamo H l’intersezione tra la perpendicolare e la seconda retta) H La lunghezza del segmento AH è la distanza tra le due rette parallele 

25. A r s DISTANZA tra due RETTE La lunghezza del segmento AH è la distanza tra le due rette parallele H La distanza AH cambia se si prende A in un’altra posizione sulla retta r ? La distanza AH cambia se si prende A sulla retta s ?   NO NO 

26. Chiudiamo la parentesi e vediamo come applicare questi concetti in un piano cartesiano 

27. Rappresentazione di una Retta Detta ‘volgarmente’ una retta è: “una linea dritta infinita” Y r In un piano cartesiano una retta può essere rappresentata in tre modi: Perpendicolare all’asse X (oppure parallela all’asse Y) O X Perpendicolare all’asse Y (oppure parallela all’asse X) Obliqua rispetto gli assi 

28. Rappresentazione di una Retta Retta perpendicolare all’asse X (oppure parallela all’asse Y) Y r Dal disegno si osserva che tutti i punti della retta hanno la STESSA COORDINATA X È quindi possibile identificare la retta con la coordinata comune a tutti i suoi punti retta: X = 2 O X  

29. Rappresentazione di una Retta Retta perpendicolare all’asse Y (oppure parallela all’asse X) Y Dal disegno si osserva che tutti i punti della retta hanno la STESSA COORDINATA Y r È quindi possibile identificare la retta con la coordinata comune a tutti i suoi punti retta: Y = 3 O X  

30. Rappresentazione di una Retta Retta OBLIQUA Y Dal disegno si osserva che i punti della retta cambiano sia la COORDINATA Y che la COORDINATA X Quindi è troppo difficile descriverla ora, lo si farà alla scuola superiore. r O X 

31. Esercizio Descrivere la retta disegnata nel piano cartesiano r r r r Y … Soluzione … Y = 4 r r r Y = 3 Y = 1 O X Y = 0   X = 0 X = 3 X = 1 

32. Distanza Punto - Retta Vediamo come determinare la distanza tra un punto e una retta P Determinare la distanza tra il punto P(1; 2) e la retta r: X=3 Y 1.- Rappresentiamo il problema 2.- Tracciamo l’altezza tra P e r, chiamiamo H il piede dell’altezza r La lunghezza del segmento PH è la distanza cercata H Per determinare PH dobbiamo conoscere le coordinate di H 3.- Determiniamo le coordinate di H O X L’ascissa di H la ricavo dalla retta: XH= 3 L’ordinata di H la ricavo è quella del punto: YH= 2 4.- Calcoliamo PH PH= XH – XP = 3 – 1 = 2u 

33. Distanza Punto - Retta Ora prova da solo P Determinare la distanza tra il punto P(3; 1) e la retta r: Y=4 Y 1.- Rappresentiamo il problema 2.- Tracciamo l’altezza tra P e r, chiamiamo H il piede dell’altezza r La lunghezza del segmento PH è la distanza cercata H Per determinare PH dobbiamo conoscere le coordinate di H 3.- Determiniamo le coordinate di H O X L’ordinata di H la ricavo dalla retta: YH= 4 L’ascissa di H la ricavo è quella del punto: XH= 3 4.- Calcoliamo PH PH= YH – YP = 4 – 1 = 3u 

34. Distanza Retta - Retta Nelle slides 23, 24, 25 è stato mostrato come calcolare la distanza tra due RETTE PARALLELE Y 1.- Rappresentiamo il problema 2.- Scegliamo (a caso) un punto P su una delle due rette t: y=1 r: y=4 3.- Tracciamo la perpendicolare tra P e l’altra retta, sia H il piede dell’altezza H La lunghezza del segmento PH è la distanza cercata Vediamo che i punti P e H hanno la stessa ascissa e quindi la loro distanza è data dalla differenza delle coordinate y O X P Le coordinate y dei due punti sono date dalle equazioni delle due rette. 4.- Calcoliamo PH d(r,t) = PH= YH – YP = 4 – 1 = 3u 

35. Distanza Retta - Retta Prova da solo Determinare la distanza tra le rette r: x=0.5 e t: x=4 Y … Soluzione … 1.- Rappresentiamo il problema 2.- Scegliamo (a caso) un punto P su una delle due rette 3.- Tracciamo la perpendicolare tra P e l’altra retta, sia H il piede dell’altezza H La lunghezza del segmento PH è la distanza cercata Vediamo che i punti P e H hanno la stessa ordinata e quindi la loro distanza è data dalla differenza delle coordinate x O X P  Le coordinate x dei due punti sono date dalle equazioni delle due rette. 4.- Calcoliamo PH r: x=0.5 t: x=4 d(r,t) = PH= XH– XP= 4 – 0.5= 3.5u 

36. Distanza Retta - Retta Riassumendo Date due rette parallele, la loro distanza è data dalla … Date due rette parallele DIFFERENZA DELLE COORDINATE NOTE Y Y t: y=1 r: y=4 H H d(r,t) = YH– YP O O X X P P d(r,t) = XH– XP r: x=0.5 t: x=4 

37. Rette perpendicolari Le rette parallele all’asse x sono perpendicolari alle rette parallele all’asse y Y r: y=2 O X t: x=3 

38. Rette perpendicolari - INTERSEZIONE Le rette parallele all’asse xsono perpendicolari alle rette parallele all’asse y Y Determiniamo le coordinate del punto P intersezione delle due rette P è un punto della retta verticale e quindi ha la stessa ascissa di tutti gli altri punti della retta. Nel nostro esempio x=3 r: y=2 P è un punto della retta orizzontale e quindi ha la stessa ordinata di tutti gli altri punti della retta. Nel nostro esempio y=2 P O X t: x=3 Quindi le coordinate di P sono P = (3; 2) 

39. Fine