Modellus

1. Mini Curso: Modellus Modellus Análise de modelos matemáticos por meio de simulações computacionais

2. Mini Curso: Modellus Histórico e objetivos: Modellus é uma aplicação disponível gratuitamente que permite que os alunos e professores (ensino secundárioe superior) utilizem a matemática para criar ou explorar modelos de forma interativa. O Modellus é usado para introduzir a modelagem computacional, que nos permiti elaborar de maneira fácil e intuitiva modelos matemáticos usando a notação matemática padrão. Possibilita, também, criar animações com objetos interativos relacionados às expressões matemáticas descritas no modelo. Desta forma, propicia explorar as múltiplas representações e analisar dados experimentais em forma de imagens, animações, gráficos e tabelas. O principal foco do Modellus é a modelagem e o significado dos modelos.

3. Mini Curso: Modellus Como baixar o Modellus? 1) Acessar a página http://modellus.co/index.php/pt/baixar 2) Seguir a instruções fornecidas

4. Mini Curso: Modellus Ferramentas oferecias pelo software Em um único ambiente (tela) o software oferece as opções: 1) Janela do Modelo

5. Mini Curso: Modellus Nesta janela digitão-se as funções matemáticas que representam o modelo. Podem ser utilizadas quantas funções quanto forem necessárias. EXERCÍCIO:Na Janela Modelo digitar x = t^2 Que representa a função f(t) = t2.

6. Mini Curso: Modellus 2) Janela do Gráfico

7. Mini Curso: Modellus Nesta janela o software plota o gráfico da função descrita na janela Modelo EXERCÍCIO: Clique na “setinha” verde localizada no canto inferior à esquerda.

8. Mini Curso: Modellus 2) Janela do Tabela

9. Mini Curso: Modellus Nesta janela o software exibe para cada valor atribuido à variável independente t, o correspondente valor de x(t) EXERCÍCIO: Observe a tabela criada pelo software

10. Mini Curso: Modellus Obtendo uma tela como a seguir

11. Mini Curso: Modellus Observe que o software plotou os pontos (-2, 4), (-1, 1), (0,0), (1, 1)e (2, 4), e em seguida uniu tais pontos por meio de um segmento de reta. É assim que o software plota o gráfico. Ou seja, para cada valor de t, ele calcule o x(t) correspondente, marca cada ponto (t, x(t)) e uni cada ponto por meio de um segmento de reta.

12. Mini Curso: Modellus Como melhorar o gráfico? Basta alterar o Δt EXERCÍCIO: Na barra no topo superior, clique em Variável Independente, altere o Δt para 0.1 e clique na “setinha” verde (canto inferior à esquerda) e observe o novo gráfico e a nova tabela.

13. Mini Curso: Modellus Assim obtemos uma tela como a seguir

14. Mini Curso: Modellus Observe que o gráfico se assemelha à curva esperada e a tabela exibi os valores assumidos por t e os respectivos valores de x(t)

15. Mini Curso: Modellus Análise do itens que constam na barra superior Início Ao clicar em Início obtemos as opções

16. Mini Curso: Modellus

17. Mini Curso: Modellus Neste item cabe destacar a opção Casas Decimais. Como o software utiliza cálculos para marcar os pontos do gráfico, ele realiza aproximações determinadas pelo número de casas decimais que for escolhida nesta opção.

18. Mini Curso: Modellus EXERCÍCIO: Na opção Casas Decimais, altera para 3, por exemplo. Em seguida, retorne ao modelo desenvolvido até o momento e clique na “setinha” verde. Observe o que ocorre no gráfico e na tabela.

19. Mini Curso: Modellus Obtemos uma tela como a seguir

20. Mini Curso: Modellus Observe que a tabela exibi valores de t e de x(t) com três casas decimais

21. Mini Curso: Modellus Variável independente Nesta opção cabe destacar que é possível alterar o “nome” da variável independente, o passo desta variável e o intervalo de variação.

22. Mini Curso: Modellus EXERCÍCIO: Altere o nome da variável. Altere o passo para 0.001 (três casas decimais, que é possível, pois na opção Início foi determinado que seriam 3 casas decimais). Altere o intervalo de variação. Clique na “setinha” verde e observe.

23. Mini Curso: Modellus Obtemos uma tela como a seguir

24. Mini Curso: Modellus Modelo Nesta opção pode-se escolher o tipo de função que pretende-se trabalhar. Por exemplo, função potência x^n, função extrair raiz quadrada, etc.

25. Mini Curso: Modellus Destaques desta opção Taxa de Variação dx/dt Neste caso o software interpreta dx/dt como a derivada da função descrita no modelo e plota o gráfico desta função.

26. Mini Curso: Modellus EXERCÍCIO: Clique em dx/dt. Clique no sinal de igual no teclado do computador. Coloque dx/dt =2. Clique em Interpretar.

27. Mini Curso: Modellus O que ocorreu? O software apresentou a opção de determinar Condições Iniciais. Neste caso, o software entende que para t=t_0 (0 valor inicial que foi estipulado no intervalo de variação de t), deve-se colocar x(t_o) = condição inicial desejada.

28. Mini Curso: Modellus Por exemplo: Caso 1: x = 0 Caso 2: x = 1 Caso 3: x = -1 Caso 4: x = 10

29. Mini Curso: Modellus Obtemos uma tela como a seguir.

30. Mini Curso: Modellus Na tabela: 2° coluna: x -> caso 1, cor =amarelo 3° coluna: x -> caso 2, cor = verde 4° coluna: x -> caso 3, cor = ciano 5° coluna: x -> caso 4, cor = azul

31. Mini Curso: Modellus Obtemos uma tela como a seguir

32. Mini Curso: Modellus Na Gráfico: 1° coluna: x -> caso 1, cor = amarelo 2° coluna: x -> caso 2, cor = verde 3° coluna: x -> caso 3, cor = ciano 4° coluna: x -> caso 4, cor = azul

33. Mini Curso: Modellus Obtemos uma tela como a seguir

34. Mini Curso: Modellus E o resultado final é

35. Mini Curso: Modellus Condição Nesta opção podemos escrever funções que são definidas por partes.

36. Mini Curso: Modellus EXERCÍCIO: Na janela do Modelo digitar: 1. x = 2. Clicar em Condição, opção que aparece na barra superior 3. Escolher –t , se t<= 1 4. t^2 + 2

37. Mini Curso: Modellus Obtemos uma tela como a seguir

38. Mini Curso: Modellus Observe que: Para 0<= t <= 1, o software plotou o gráfico da função x(t) = -t e para 1 < t <= 3, foi plotado o gráfico da função x(t) = t^2 + 2. No ponto t = 1 ocorreu algo diferente. Observando a tabela, percebe-se o que houve.

39. Mini Curso: Modellus Importante Este tipo de opção nos permite utilizar os recursos tecnológicos para desenvolver melhor a idéia de Composição de funções. Para entender melhor isso vamos fazer um exercício.

40. Mini Curso: Modellus EXERCÍCIO: Na janela do Modelo digite 1. x = sin(t) 2. y = abs(x) Observe que a composição resulta na função |sen(t)|

41. Mini Curso: Modellus Assim obtemos como resultado

42. Mini Curso: Modellus Parâmetros Esta opção nos auxilia a plotar gráfico de funções que dependem de um determinado parâmetro. Para entender melhor isso vamos fazer um exercício.

43. Mini Curso: Modellus EXERCÍCIO: Na janela modelo digite a expressão x(t) = sin(A x t) e clique em no botão Interpretar, que se localiza na barra superior.

44. Mini Curso: Modellus Observe que automaticamente o software abre a opção Parâmetros. Faça: Caso 1: A = 2 Caso 2: A = 0.5 Caso 3: A = -0.25

45. Mini Curso: Modellus Marque os respectivos casos e cores nas opções Tabela e Gráfico.

46. Mini Curso: Modellus E assim obtemos a figura

47. Mini Curso: Modellus Objetos Esta opção nos permite introduzir na tela elementos, tais como

48. Mini Curso: Modellus Vamos entender melhor isto por meio de um exercício.

49. Mini Curso: Modellus EXERCÍCIO: Vamos representar por meio de simulação computacional todas as variáveis que envolvem a equação do movimento S = s_0 + v_0 t + 0.5 a t^2

50. Mini Curso: Modellus Na janela do Modelo digite as expressões: s_0 = 4 x t v_0 = s_0 + t^(0.5) – 2 x t + 4 a = sin(t) s = s_0 + v_0 x t + a x t^2