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计算机在材料科学与工程中的应用

计算机在材料科学与工程中的应用. 第三章材料数据分析与模型建立. 叶卫平. 本 章 要 点. 数学模型和数学建模. 数学建模软件简介. 初等数学模型. 正交试验设计. 综合建模分析举例. 3.1 数学模型和数学建模. 1. 2. 数学模型简介. 数学模型 (Mathematical Model). 对于一个 现实对象 ，为了一个 特定目的 ，根据其 内在规律 ，作出必要的 简化假设 ，运用适当的 数学工具 ，得到的一个 数学结构 。. 数学建模（ Mathematical Modeling).

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  1. 计算机在材料科学与工程中的应用 第三章材料数据分析与模型建立 叶卫平

  2. 本 章 要 点 数学模型和数学建模 数学建模软件简介 初等数学模型 正交试验设计 综合建模分析举例

  3. 3.1 数学模型和数学建模 1 2 数学模型简介 数学模型(Mathematical Model) • 对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。 数学建模（Mathematical Modeling) 建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、 检验等）

  4. 3.1 数学模型和数学建模 1 2 数学模型简介 建立数学模型 数 学 世 界 现 实 世 界 翻译为实际解答 始于现实世界并终于现实世界

  5. 3.1 数学模型和数学建模 1 2 数学模型简介 实际问题分析 建立数学模型 求解数学模型 提交报告 模型与模型解的分析及检验

  6. 3.1 数学模型和数学建模 2 2 常用数学建模方法 理论分析法 应用自然科学中已被证明是正确的理论、原理和定律，对被研究系统的有关因素进行分析、演绎、归纳，从而建立系统的数学模型。 Eg. 在渗碳工艺过程中通过平衡理论找出控制参量与炉气碳势之间的理论关系式。

  7. 3.1 数学模型和数学建模 2 2 常用数学建模方法 模拟方法 结构及性质已经了解，但其数量描述及求解都相当困难。如构造出结构和性质与其相同，可以把后一种模型看成是原来模型的模拟。 Eg. 钢铁材料中裂纹在外载荷作用下尖端的应力、应变分布，采用环氧树脂制备成具有同样结构的模型，并根据钢铁材料中裂纹形式在环氧树脂模型加工出裂纹；借助实验光测力学的手段来完成分析。

  8. 3.1 数学模型和数学建模 2 2 常用数学建模方法 类比分析法 若两个不同的系统，可以用同一形式的数学模型来描述，则此两个系统就可以互相类比。类比分析法是根据两个（或两类）系统某些属性或关系的相似，去猜想两者的其它属性或关系也可能相似的一种方法。 Eg.在聚合物的结晶过程中，结晶度随时间的延续不断增加，最后趋于该结晶条件下的极限结晶度，现期望在理论上描述这一动力学过程（即推导Avrami方程）。 聚合物的结晶过程包括成核和晶体生长两个阶段，这与下雨时雨滴落在水面上生成一个个圆形水波并向外扩展的情形相类似，因此可通过水波扩散模型来推导聚合物结晶时的结晶度与时间的关系。

  9. 3.1 数学模型和数学建模 2 2 常用数学建模方法 数据分析法 若在系统的结构性质不大清楚，但有若干能表征系统规律，描述系统状态的数据可利用时，回归分析是处理这类问题的有利工具。 Eg.经实验获得低碳钢的屈服点s与晶粒直径d对应关系如表1-3中的数据所示，用最小二乘法建立起d与s之间关系的数学模型（即霍尔-配奇Hall-Petch公式）。

  10. 3.1 数学模型和数学建模 2 2 常用数学建模方法 数据分析法 低碳钢屈服极限与晶粒直径 以d-1/2作为x，s作为y，取y=a+by，为一直线。设实验数据点为（Xi，Yi），一般来说，直线并不通过其中任一实验数据点，因此，每点均有偶然误差ei，ei=(a+bXi)-Yi 按照上述最小二乘法原理，误差平方和为最小的直线是最佳直线件。求 最 小值的条件是

  11. 3.1 数学模型和数学建模 3 2 数学模型分类 按照建立模型数学方法 初等模型、图论模型、规划论模型、微分方程模型、最优控制模型、随机模型、模拟模型等。 初等模型--为采用简单而且初等的方法建立问题的数学模型。 微分方程模型--指的是在所研究的现象或过程中取一局部或一瞬间，然后找出有关变量和未知变量的微分（或差分）之间的关系式，从而获得系统的数学模型。

  12. 3.1 数学模型和数学建模 3 2 建模一般步骤 模型假设 模型构成 模型准备 模型分析 模型求解 模型检验 模型应用 模 型 准 备 形成一个 比较清晰 的‘问题’ 了解实际背景 明确建模目的 搜集有关信息 掌握对象特征

  13. 3.1 数学模型和数学建模 3 2 建模一般步骤 模 型 假 设 目的性原则、简明性原则、 真实性原则、全面性原则 在合理与简化之间作出折中 模 型 构 成 用数学的语言、符号描述问题 发挥想像力 使用类比法 尽量采用简单的数学工具

  14. 3.1 数学模型和数学建模 3 2 建模一般步骤 模型 求解 各种数学方法、软件和计算机技术。 模型 分析 如结果的误差分析、统计分析、模型对 数据的稳定性分析。 模型 检验 与实际现象、数据比较，检验模型的合 理性、适用性。 模型应用

  15. 表述 验证 求解 解释 理论 实践 3.1 数学模型和数学建模 建模的全过程 3 2 建模一般步骤 现实对象的信息 数学模型 现实世界 数学世界 (归纳) (演绎) 现实对象的解答 数学模型的解答 表述 根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题 求解 选择适当的数学方法求得数学模型的解答 解释 将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象 验证 用现实对象的信息检验得到的解答 实践

  16. 3.2 数学建模软件简介 1 2 Matlab-Matrix Laboratory Matlab由美国的Clever Moler于1980年研发，取名于Matrix Laboratory MATLAB主工具箱；统计工具箱；优化工具箱；偏微分方程工具箱；样条工具箱；控制系统工具箱；信号处理工具箱；图象处理工具箱；通讯工具箱；系统辨识工具箱；神经元网络工具箱；符号数学工具箱 统计工具箱(Statistics Toolbox) *概率分布和随机数生成*多变量分析*回归分析* 主元分析* 假设检验 偏微分方程工具箱(Partial Differential Toolbox) * 二维偏微分方程的图形处理* 几何表示* 自适应曲面绘制* 有限元方法

  17. 智能化 管理、可视化 数值运算 解析运算 3.2 数学建模软件简介 1 2 Matlab-Matrix Laboratory 计算机语言的发展: MATLAB标志着计算机语言向“智能化”方向发展，被称为第四代编程语言。 在美国已作为工科大学生必修计算机语言之一 (C, FORTRAN, ASSEMBLER, MATLAB)

  18. 3.2 数学建模软件简介 1 2 Matlab书 薛定宇《高等应用数学问题的MATLAB求解》清华大学出版社 蒲 俊，Matlab工程数学解题指导，蒲东电子出版社，2001 闻 新, Matlab神经网络应用设计,科学出版社, 2002. 《偏微分方程的Matlab解法》

  19. 3.2 数学建模软件简介 2 2 Origin-通用的科技绘图和数据分析软件 Origin是美国的OriginLab公司产品-http://www.originlab.com/ 基本功能(函数拟合、数据管理、数据分析、二维和三维绘图、多层绘图等)和最新增强功能(全新工作簿、数据处理、图形处理、图像处理等)。

  20. 3.2 数学建模软件简介 2 2 Origin-通用科技绘图和数据分析软件 方安平 叶卫平 《 Origin8.0实用指南》机械工业出版社 数据分析和处理：回归，拟合，统计，图象处理，信号处理，光谱处理等功能。

  21. 3.2 数学建模软件简介 3 2 其他部分软件介绍 SigmaPlot S–Plus STATISTICA Lingo MathCAD ANASYS

  22. 3.3 初等数学模型 1 2 最小二乘法曲线拟合(least-square fit) 一元线性方程拟合 一组实验测定的n个(xi,yi)数据，求自变量x和因变量y之间的一个近似解析表达式y=f(y=a+bx))。由给出的n个点(xi,yi)求近似表达式。

  23. 3.3 初等数学模型 1 2 最小二乘法曲线拟合(least-square fit) 一元非线性方程拟合 非线性问题可以通过变量替换化为线性问题，这时就可以运用线性拟合的方法进行求解。

  24. 3.3 初等数学模型 1 2 最小二乘法曲线拟合(least-square fit) 多元线性方程拟合 线性回归求回归平面方程的方法很容易推广到多个自变量的多维回归方程。设影响因变量y的自变量x有n个x1,x2,…xn，通过试验得到n组观测数据。根据这些数据，在y与x1,x2,…xn 之间的线性回归方程: 评价指标 残差标准差（ Root MSE ） 反映了回归方程的精度，其值越小说明回归效果越好

  25. 3.3 初等数学模型 1 2 最小二乘法曲线拟合(least-square fit) 多元线性方程拟合 2）决定系数（ determination coefficient） 评价指标 说明所有自变量能解释Y变化的百分比。取值（0，1），越接近1模型拟合越好 3）复相关系数（multiple correlationcoefficient） 说明所有自变量与Y间的线性相关程度。 4）校正决定系数（ Adjusted determination coefficient） 考虑自变量个数的影响。

  26. 3.3 初等数学模型 2 2 初等函数模型举例 一元线性方程拟合 线性回归求回归平面方程的方法很容易推广到多个自变量的多维回归方程。设影响因变量y的自变量x有n个x1,x2,…xn，通过试验得到n组观测数据。根据这些数据，在y与x1,x2,…xn 之间的线性回归方程: 为研究某一化学反应过程中温度对产品得率的影响. 测得数据如下：

  27. 3.3 初等数学模型 2 2 初等函数模型举例 一元非线性方程拟合 某矿脉中13个相邻样本点到原点的距离y与样本点处某种金属的含量x有如下实测值: 作散点图并求y 关于x的回归方程.

  28. 3.3 初等数学模型 2 2 初等函数模型举例 一元非线性方程拟合 求HSS碳饱和度(A)与二次硬化的硬度函数关系式。A=Cs/Cp; Cp为平衡碳，按G.Steven公式计算，作散点图并求 y关于x的回归方程，

  29. 3.3 初等数学模型 2 2 初等函数模型举例 多元线性方程拟合 在某化工生产过程中，进入反应塔内某气体的百分比y与该气体的温度x1及气态压力x2有关，试验数据如下: 求 y关于x1及x2的二元线性回归方程

  30. 3.3 初等数学模型 2 2 初等函数模型举例 多元线性方程拟合 Ni4钢成份与力学性能多元回归。对收集到的37炉的测试结果用误差理论中3σ准则剔除粗大误差和成份不合格的炉号，从中选出20组数据进行统计分析。

  31. 3.3 初等数学模型 2 2 初等函数模型举例 多元线性方程拟合 设因变量力学性能yi(σb,σs,δ5,ψ,Ak)与自变量合金元素(C，Si，Mn，Mo，Cr，Ni)成线性关系，则可用线性表达式(1)对测试数据进行回归分析。其中ａ0、ａ1、ａ2、ａ3、ａ4、ａ5、ａ6为回归系数。根据最小二乘原理，采用乔里斯基(Cholesky)分解法求出回归系数。 yi ＝ａ0[C]+ａ1[Si]+ａ2[Mn]+ａ3[Mo]+ａ4[Cr]+ａ5[Ni]+ａ6 “ZG06Cr13Ni4Mo钢化学成分与力学性能计算机多元回归分析”，钢铁研究,98,№2,45～47

  32. 3.3 初等数学模型 2 2 初等函数模型举例 多元线性方程拟合 某种水泥在凝固时放出的热量（单位cal/g）与水泥中下列4种化学成分所占的百分数有关： x1:3CaO·Al2O3；x2: 3CaO·SiO2；x3:4CaO·Al2O3·Fe2O3；x4:2CaO·SiO2 Ref： Eg3_1.m; eg3.mat Matlab 工具箱应用，苏金明，电子工业出版社，2004

  33. 3.3 初等数学模型 2 2 初等函数模型举例 多元线性方程拟合 结果: y=2.1930X1+1.1533X2+0.7585X3十0.4863X4 相关系数平方值 R2=0.9860，说明模型拟合程度相当高。 显著性概率p=0.000，小于0.05，故拒绝零假设，认为回归方程中至少有一个自变量的系数不为零，回归方程有意义。 %逐步回归 stepwise(X,y) 运行该命令,将打开3个窗口,如图所示： Matlab 工具箱应用，苏金明，电子工业出版社，2004

  34. 3.3 初等数学模型 2 2 初等函数模型举例 Ref: Eg3_2.m;Eg3_data.mat

  35. 3.3 初等数学模型 2 2 初等函数模型举例 不剔除变量时，回归模型为 • y=1.551Xl+0.5102X2+0.1019X3-0.1441X4+62.4054 • 回归系数平方值为0.9824，均方差为2.446 当剔除变量4时，回归模型为 • y=1.696Xl+0.6569X2+0.25X3+48.1936 • 回归系数平方值为0.9823，均方差为2.312 当剔除变量4时和3，回归模型为 • y=1.468X1+0.6623X2+52.5773 • 归系数平方值为0.9787，均方差为2.406

  36. 3.4正交试验设计 1 2 正交试验设计(orthogonal experimental design)简介 正交试验”设计是在生产中广泛使用的试验方法，以实践为基础，利用一套正交表安排试验方案，使得试验次数尽可能地少，并通过对试验数据分析,抓住主要影响因素。 问题的提出--多因素的试验问题 例：为提高某化工产品的转化率，选择了三个有关的因素进行条件试验，反应温度（A），反应时间（B），用碱量（C），并确定了它们的试验范围：对因素A、B、C在试验范围内分别选取三个水平 A：80-90℃ A1＝80℃、A2＝85℃、A3＝90℃ B：90-150min B1＝90min、B2＝120min、B3＝150min C：5-7% C1＝5%、C2＝6%、C3＝7%

  37. B3 B2 B1 C3 C2 C1 A1 A2 A3 3.4正交试验设计 1 2 正交试验设计(orthogonal experimental design)简介 取三因素三水平，通常有两种试验方法安排试验 （1）全面实验法 3³=27次试验 （2）用正交试验法 9次试验 A1B1C1 A2B1C1 A3B1C1 A1B1C2 A2B1C2 A3B1C2 A1B1C3 A2B1C3 A3B1C3 A1B2C1 A2B2C1 A3B2C1 A1B2C2 A2B2C2 A3B2C2 A1B2C3 A2B2C3 A3B2C3 A1B3C1 A2B3C1 A3B3C1 A1B3C2 A2B3C2 A3B3C2 A1B3C3 A2B3C3 A3B3C3

  38. 正交表的纵列数 (最多可安排因素) L9(34) 正 交 表 代 号 因素水平数 正交表的横行数 3.4正交试验设计 1 2 正交试验设计(orthogonal experimental design)简介 正交表符号

  39. 3.4正交试验设计 1 2 正交试验设计(orthogonal experimental design)简介 例中，试验目的是搞清楚A、B、C对转化率的影响，试验指标为转化率,确定因素－水平表:

  40. 3.4正交试验设计 1 2 正交试验设计(orthogonal experimental design)简介 分析：3个因素对收益率影响；如果某个因素对试验数据影响大，那么它的哪个水平对提高收益率有利。利用正交表的“整齐可比”性进行分析： 对于因素A

  41. 3.4正交试验设计 1 2 正交试验设计(orthogonal experimental design)简介 分析：3个因素对收益率影响；如果某个因素对试验数据影响大，那么它的哪个水平对提高收益率有利。利用正交表的“整齐可比”性进行分析： 对于因素B

  42. 3.4正交试验设计 1 2 正交试验设计(orthogonal experimental design)简介 （1）确定因素的主次 将每列的 k1 、 k2 、k3 中最大值于最小值之差称为极差 即： 第一列（A因素）＝ k3A－ k1A＝61－41＝20 第二列（B因素）＝ k2B－ k1B＝55－47＝8 第三列（C因素）＝ k2C－ k1C＝57－45＝12 影响大，就是该因素的不同水平对应的平均收益率之间的差异大;直观看出：一个因素对试验结果影响大，就是主要因素 本例中：因素主次为

  43. 3.4正交试验设计 1 2 正交试验设计(orthogonal experimental design)简介 （2）确定各因素应取的水平

  44. 3.4正交试验设计 1 2 正交试验设计(orthogonal experimental design)简介 指标越大越好，应该选取指标最大的水平。从上表可以看出，本试验应该选取每个因素中k1、k2、k3最大的哪个水平。即： 也可以选取图形中最高水平点 得到最优生产条件 A3B2C2

  45. 试验号 试验条件 收益率（x%） 1 A3B2C2 74 2 A3B1C2 75 3.4正交试验设计 1 2 正交试验设计(orthogonal experimental design)简介 选取原则： （1）对主要因素，选使指标最好的水平，本例中A选A3，C选C2。 （2）对次要因素，以节约方便原则选取水平，本例B可选B2或者B1。 用A3B2C2、A3B1C2各做一次验证试验，结果如下： 最后确定最优生产条件为A3B1C2

  46. 3.4正交试验设计 2 2 正交试验安排实例 6-5-4-2钢热处理工艺最佳方案确定 1)淬火温度(B)；2)等温温度(A)；3)等温时间(C)

  47. 3.4正交试验设计 2 2 正交试验安排实例

  48. 3.4正交试验设计 2 2 正交试验安排实例

  49. 3.4正交试验设计 2 2 正交试验安排实例 结论：Austempering 280℃；Quenching Temperature 1210-1235℃；Austempering Holding Time 1 h

  50. 3.5 综合建模分析举例 1 2 IF (interstitial free)钢再结晶晶粒分布模型 IF钢再结晶退火金相分析 用Image Tool， Image-Pro分析

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