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什么是等差数列？

等. 比. 数. 列. 温故知新. 什么是等差数列？. 一般地 ， 如果一个数列从第 2 项起，每一项与前一项的差等于 同一个常数 ，那么这个数列叫做 等差数列. 这个常数叫做等差数列的 公差 ，通常用 d 表示. { a n } 是等差数列. a n - a n -1 = d ( n ≥2). ……. 问题情境一. 庄子曰：. “ 一尺之棰，日取其半，万世不竭 . ”. 如果将“一尺之棰”视为一份， 则每日剩下的部分依次为：. 问题情境二. 某人年初投资 2 万元，如果年收益是 5% 那 么按照复利， 4 年内各年末的本利和依次：.

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什么是等差数列？

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Presentation Transcript

  1. 等 比 数 列

  2. 温故知新 什么是等差数列？ 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列. 这个常数叫做等差数列的公差，通常用d表示. {an}是等差数列 an-an-1=d (n≥2)

  3. …… 问题情境一 庄子曰： “一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 如果将“一尺之棰”视为一份， 则每日剩下的部分依次为：

  4. 问题情境二 某人年初投资2万元，如果年收益是5%那 么按照复利，4年内各年末的本利和依次： 2×1.05，2×1.052， 2×1.053，2×1.054

  5. 问题情境三 某种汽车购买时的价格是36万元，每年的折旧率是10%，求这辆车各年开始时的价格.（单位：万元） 易知各年汽车的价格组成数列： …… 36，36×0.9，36×0.92, 36×0.93,

  6. 比一比 …… (1) (2) 2×1.05，2×1.052，2×1.053，2×1.054 (3) 36，36×0.9，36×0.92, 36×0.93,… 从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一常数. 共同特点？

  7. 思考 你能给它起个名字吗？ 你能给它下个定义吗？ 一般的,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示.(q≠0）

  8. 思考 你能用数学符号表示这个定义吗？ {an}是等比数列 或

  9. 运用 例1： 指出下列数列是不是等比数列，若是，说明公比；若不是，说出理由． (√) (1) １,1, 1, 1, 1; (×) (2) 0,1,2, 4,8; (√) (3)

  10. 思考 等比数列中 (1)公比q为何不能等于0？首项 a1 能等于０吗？ (2)公比q=1时是什么数列？ (3)q>0数列各项的符号有什么特点？q<0呢？ (4){an}是等比数列能与 an=an-1q (n≥2) 等价吗?

  11. 猜一猜 如果等比数列 { }的首项是 ,公比是 , 那么这个等比数列的第 项 如何表示? …… ∵ ∴ …… 猜想： an=a1qn-1

  12. a a a a = n q = 4 q = q 2 = 3 q , , , a a , a a - 1 n 3 1 2 通项公式的推导： 因为{an}是等比数列，所以当n≥2时，有 把这n－1个等式左右两边同时相乘 当n=1时，上面的等式也成立 即通项公式为：an=a1qn-1

  13. 名　称 等差数列 等比数列 定 义 如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，用q表示 如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，用d表示 式子 表示 an+1-an=d 通项 公式 an = a1 +（n-1）d an=a1qn-1

  14. 如何认识等比数列通项公式: ①函数观点 ②方程思想

  15. 注意 1. 公式an=a1qn-1还可以改写成 an=(a1qn)/q=cqn(这里 c=a1/q) 2. 公式an=a1qn-1还可以变形为 an=amqn-m(m,n∈Ｎ)

  16. 等比数列通项公式的含义 an=(a1qn)/q=cqn (这里 c=a1/q是一个不为零的常数). 当q是不等于1的正数时，y=qx是一个指数函数，而函数y=cqx是一个不为零的常数与指数函数的积，因此，表示数列{cqn}各项的点都在函数 y=cqx的图象上.例如，当a1=1,q=2时，an=2n/2表示数列的点都在函数y=1/2×2x的图象上. 当c=a1/q=1时，等比数列是特殊的指数函数.

  17. 注：在一般情况下等比数列不是特殊的指数函数，只有把an=a1qn-1化为an=qn×a1/q且a1/q=1(q是不等于零的正数）时， an=qn×a1/q才表示一个特殊的指数函数.

  18. 等比数列的图象1 20 18 （1）数列：1，2，4，8，16，… ● 16 14 12 10 8 ● 6 4 ● 2 ● ● 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

  19. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 等比数列的图象2 （2）数列： ● ● ● ● ● ● ●

  20. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 等比数列的图象3 （1）数列：4，4，4，4，4，4，4，… ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

  21. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 等比数列的图象4 数列：1，-1，1，-1，1，… ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

  22. 思考 等比数列的单调性如何？

  23. 运用 在等比数列{an}中， （1）已知a1=3,q=-2,求a6 ; （2）已知 a3=20,a6=160 ,求an . 例2 解(1) (2)

  24. 运用 例3:求出下列等比数列中的未知项. (1) 2. a, 8 (2) -4 , b, c, 解： 解得 a=4或a=-4

  25. 思考 类比等差数列，在上例第一小问中:2. a, 8成等比则a叫2与8的？ 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.(a·b>0) 计算公式： G2=a·b或

  26. 练习 1.在下列等比数列的括号内填上适当的数： （1）（ ），3 ， 27 （2）1，（ ）， （ ）， 2.已知等比数列的公比为 ，第 4 项是 ，求an 3.三实数a,b,c成等比数列的等价关系是 ( ) D A. b2=ac B. C. D.

  27. 小结 知识内容 研究方法 思想方法 1.等比数列的概念 类比 函数的思想 2.通项公式的推导 归纳 方程的思想 3.等比中项的概念

  28. 想一想 己知｛an｝、｛bn｝是项数相同的等比数列的,仿照下表中的例子填写表格.从中你得出什么结论 结论:当｛an｝、｛bn｝是项数相同的两个等比数列时,数列｛an×bn｝(其中p、 q是常数)也是等比数列.

  29. 探究1:当{an}{bn}是项数相同的两个等比数列时, 数列{pan×qbn}(其中p,q是常数)也是等比数列吗? 探究2:当{an}{bn}是项数相同的两个等比数列时,数列{pan÷qbn}(其中p,q是常数)也是等比数列吗? 联系1:当{an}{bn}是项数相同的两个等差数列时, 数列{pan+qbn}(其中p,q是常数)也是等差数列吗? 联系2:当{an}{bn}是项数相同的两个等差数列时, 数列{pan－qbn}(其中p,q是常数)也是等差数列吗?

  30. 猜一猜 给你一张足够大的纸，假设其厚度为0.1毫米，那么当你把这张纸对折了38次的时候，所达到的厚度有多少？ 把这张纸折叠38次，你今晚可以沿着它爬到月球上去！

  31. 再见！

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