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5.4 内积空间中的最佳平方逼近

5.4 内积空间中的最佳平方逼近. 设 X 为(实)线性空间，在 X 上定义了 内积 是指对 X 中每一对元素 x,y, 都有一实数，记为( x,y) 与之对应，且这个对应满足 : （1） (x,x)≥0， 当且仅当 x=0 时， ( x,x)=0; （2) （ x, y ） = （ y, x ）， x, y ∈ X; （3） （  x, y ） = ( x, y ）， x, y ∈ X ；  ∈ R; （4）（ x+y, z ） = （ x, z ） + （ y, z ）， x, y, z ∈ X 则称 X 为内积空间。. 一、 内积空间.

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5.4 内积空间中的最佳平方逼近

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  1. 5.4 内积空间中的最佳平方逼近 设X为(实)线性空间，在X上定义了内积是指对X中每一对元素x,y,都有一实数，记为(x,y)与之对应，且这个对应满足: （1）(x,x)≥0，当且仅当x=0时， (x,x)=0; （2)（x, y）=（y, x），x, y∈X; （3）（x, y）= ( x, y），x, y∈X；  ∈R; （4）（x+y, z）=（x, z）+（y, z），x, y, z∈X 则称X为内积空间。 一、内积空间

  2. 两种重要的内积空间 n维欧氏空间Rn，内积就是两向量的数量积，即 • (x，y)=xＴy=∑xi yi. 连续函数空间C［a,b］，内积可以定义为积分的运算 • 或带权函数的积分运算，即 • (f(x),g(x))=∫f(x)g(x) dx, f(x),g(x)∈C［a,b］ • 或(f(x),g(x))=∫(x)g(x)f(x)dx, f(x),g(x)∈C［a,b］.其中(x) 称为权函数，

  3. 它满足： • ①在［a,b］的任何子区间上积分为正； • ② (x) ≥0，且使(x) =0的点至多有限个； • ③对f(x)=1,x,x２，…，积分∫f(x)(x) dx存在.

  4. 几个概念 (2)线性赋范空间中两元素x,y之间的距离为 （1）模（范数）: 这种距离也称为2-范数意义下的距离 (3) 正交： 若（x, y）＝0，则称x与y正交

  5. 因此Rn中两点x与y之间的距离即为  连续函数空间C［a,b］中f(x)与g(x)的距离即为  dis (f(x), g(x))=‖f(x)- g(x)‖２ = (∫(f(x)-g(x))２dx )1/2

  6. 二、 内积空间中的最佳平方逼近 • 设X为线性内积空间，０，1, …， n为X上n+1个线性无关元，记由{j}j=0n张成X的子空间为，即 •  =span{０，1, …， n}. 对任意的g∈X，在X的子空间中，求对g的按2-范数意义下的最佳逼近元S*，即求S*∈，使不等式 dis(S*,g)=‖ S* -g‖2≤‖S-g‖２ (4) 对任意S∈成立. 定义 若满足(4)式的S* ∈ 存在，称S*为 对g∈X的最佳平方逼近元

  7. 1.最佳平方逼近元的存在性 定理5.4.1设X为线性内积空间，由线性无关组０，1, …， n张成的线性空间为X的子空间，任意g∈X，存在S*∈为对g的最佳平方逼近元. Remark:线性内积空间X的子空间的 线性无关组０，1, …， n的选取不同，在中求得对g∈X的最佳平方逼近元S*也不同，求解S*的难易程度也不同

  8. 2. 最佳平方逼近元的充要条件 • 定理5.4.2S*∈ =span{０，1, …， n}为对g∈X (线性内积空间)的最佳平方逼近元的充要条件是g- S*与一切j(j=0，1，…，n)正交.其中０，1, …， n为X的n+1个线性无关元 • 定理5.4.2中所说的g-s*与一切j正交，是指g-S*与一切j的内积等于零， 即 • (g-S*, j)=0, j=0,1，…，n. (5)

  9. 证 必要性. 用反证法. 设S*∈为对g∈X的最佳平方逼近元，但g-S*不与所有的k(k=0,1,2,…，n)正交. • 为方便起见，假定g-S*与i (0≤i≤n)不正交，即 • i=(g-S*, i) ≠0. 令 显然q(x)∈,且‖g-q(x)‖２２ ＝(g-S*,g-S*)-i2/(i,i)<(g-S*,g-S*)=‖g-S*‖２２ 这说明S*不是对g的最佳平方逼近元，与假设条件矛盾，所以g- S*必须与一切k(k=0,1,2,…，n)正交.

  10. 充分性. 仍记s*＝ ∑cjj. • 对任意的s=∑djj ∈，有 • ‖g-s‖２２=(g-s,g-s)=(g-s*+s*-s,g-s*+s*-s) • ＝(g-s*,g-s*）+２(g-s*, s*-s)+(s*-s, s*-s) • 而 (g-s*, s*-s）=∑(cj-dj)(g-s*,j)=0 (s*-s, s*-s)0. 所以 ‖g-s‖２２ (g-s*,g-s*）= ‖g-s*‖２２ 进而有‖g-s*‖２≤‖g-s‖２ 对任意s∈ 成立, 即s*为g的最佳平方逼近元

  11. 3.最佳平方逼近元的惟一性 定理5.4.3 线性内积空间X的子空间中若存在对g∈X的最佳平方逼近元，则惟一. • 证 用反证法. 设s1*为除s*外另一个任意的对g∈X的最佳平方逼近元. 由定理5.4.2可知 • 当p∈时, (g-s*,p)=0, (g-s1*,p)=0 而 • ‖s*-s1*‖２２=(s*-s1*, s*-s1*) ＝ (s*-g+g-s1*, s*-s1*) =（s*-g,s*-s1*)+ (g-s1*, s*-s1*) • 由于s*-s1* ∈ ，因此 • （s*-g,s*-s1*) ＝0，（g－s1*,s*-s1*)＝0 • 由内积定义1中内积必须满足①的条件可知 s*－s1*≡０，即s*=s1*.

  12. 4.求解最佳平方逼近元 现假定线性内积空间X上的内积已定义，并且X的子空间的一组基底｛0,1,…,n｝也确定，对具体的被逼近元g∈X，求s*∈为对g的最佳平方逼近元. 由最佳平方逼近元充要条件的(5)式，若假定s*＝∑cj*j，则可以得出 (g- ∑cj*j,i) = 0, i=0,1,…，n. 其中cj*，j=0，1，…,n为待定系数 此方程恒等变形为 (∑cj*j,i) =(i,g), i=0,1，…，n. 用矩阵式表示这个方程组为

  13. 此方程组称为法方程组。 若选取一组基底｛0,1,…,n｝满足 （i，j) =ij 则称为正交基，此时

  14. 三、几种情形的最佳平方逼近 • 1. C［a,b］中的最佳平方逼近 • 讨论最佳平方逼近，首先确定逼近类以及内积的定义. • 现设逼近类为Pn［a,b］，内积用积分或带权的积分 • (f(x),g(x))=∫f(x)g(x) dx, (7)  • 或 (f(x),g(x))=∫(x)f(x)g(x)dx, • f(x)，g(x)∈C［a,b］，(x)为权函数. • 若取Pn［a,b］中n+1个线性无关元为｛1,x,…,xn｝, • 则对任意的g(x)∈C［a,b］，求Pn［a,b］中对g(x)的最佳平方逼近元pn(x)，就必须通过求解法方程组(6)得到最佳平方逼近元.

  15. 求g(x)=x 在P1［0,1］中的最佳平方逼近元， 例 解法一 这是C［0,1］上的最佳平方逼近问题. 取０＝１， １＝x,P1［0,1］＝span｛1,x｝，记p1(x)=a０＋a１x, (０,0)=∫０.０dx=1，(０,1)=∫1.xdx=1/2 (1,1)=∫1.1dx=1/3 ， 同样可求得(０,g)=2/3， (1,g)=2/5. 所以，关于a０，a１为未知数的法方程组为 解得a０=4/15，a１＝4/5 即p1(x)=4/5x+4/15为 P1［0,1］中对g(x)= x的 最佳平方逼近元.

  16. 解法二 （2）利用Chebyshev多项式T0(t), T1(t)作为基底，计算 (1)作变换x=(1+t)/2，将[0，1]变换成[－1，1],则 q1(t)=c０T0(t)＋c１T1(t), 正交基底 (3) q1(t)=2/3T0(t)＋6/15T1(t)=2/3+6/15t 将t=2x-1代入q1(t)，得 p1(x)= 2/3+6/15(2x-1)=4/5x+4/15

  17. 2.Rn中的最佳平方逼近 • Rn中的最佳平方逼近称为离散情形的最佳平方逼近，求离散情形最佳平方逼近的方法称为最小二乘法 • 下章讨论

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