אלגוריתמים – תרגול 5

1. אלגוריתמים – תרגול 5 חידה : איך אפשר לעשות אינסוף כסף בטריק פשוט אחד?

2. שאלה 1 – הדיקות מס' האיטרציות • תרגיל: הראו שיתכן והאלגוריתם של בלמן-פורד זקוק ל - איטרציות בשביל לחשב מסלולים קצרים ביותר.

3. פתרון 1 • נזכר בתקציר האלגוריתם של Bellman-Ford (ללא בדיקת המעגלים השליליים): Bellman-Ford(G,s): Initialize(G). for i = 1 to |V|-1 for each edge (u,v) if (d(v)>d(u)+w(u,v)) Relax (u,v,w) מספר האיטרציות

4. פתרון 1 Bellman-Ford(G,s): Initialize(G). for i = 1 to |V|-1 for each edge (u,v) if (d(v)>d(u)+w(u,v)) Relax (u,v,w) • הרצת Bellman-Ford: 1 1 1 1 s 0 1 2 7 8 9

5. שאלה 2 – ארביטראג' • תרגיל: נתונים סוגי מטבעות וטבלת מחירי ההמרה ביניהם. תארו אלגוריתם הבודק האם ניתן להתחיל עם מטבע אחד מסוג ולבצע סדרת המרות שבסופה נקבל יותר ממטבע אחד מסוג

6. שאלה 2 – דוגמא 1 X 22.3180 X 0.0120 X 0.7516 X 4.9517 =0.9967

7. שאלה 2 – רעיון • נסמן את מספר המטבעות מסוג שניתן לקבל בתמורה למטבע אחד מסוג בתור • נבנה גרף מכוון . הגרף מכיל צומת עבור כל סוג מטבע, וקיימת קשת מכל צומת לכל צומת אחרת. • לקשת בגרף היוצאת מקודקוד ונכנסת לקודקוד ניתן משקל • המשקל של מעגל יהיה • אבל אנחנו מחפשים מעגל שמקיים

8. שאלה 2 – תיקון הבעיה • אנחנו מחפשים מעגל כך שמתקיים • לקשת מ- אל ניתן משקל • קיים רצף המרות שמביא לרווח אם"ם בגרף החדש יש מעגל שלילי.

9. שאלה 2 – המשך הפתרון • אנחנו רוצים למצוא מעגל שעבורו מתקיים • לצורך כך, נשתמש באלג' של Bellman Ford, וכך נפתור את הבעיה בסיבוכיות זמן של • הגרף קשיר בחוזקה, ולכן נוכל להריץ את Bellman-Ford מאיזו צומת שנרצה.

10. שאלה 3 - המסלול הקל לקודקוד • תרגיל: נתון גרף מכוון , ופונקצית משקל בנוסף, ידוע שאין מעגלים שליליים בגרף. עבור כל קודקוד נגדיר: (זהו משקל המסלול הקל ביותר מכל המסלולים שמסתיימים ב - ). תארו אלגוריתם אשר מחשב את כל ערכי

11. שאלה 3 - דוגמא 8 1- 4- 2 2 5 0 2-

12. שאלה 3 - פתרון • נוסיף קודקוד חדש ונוציא ממנו קשתות במשקל 0 לכל שאר קודקודי הגרף. • נריץ Bellman-Ford, ועבור כל קודקוד נציב 2 0 0 1- 1- 0 2 0 0 1 0 0 2-

13. נכונות וזמן ריצה • נכונות האלגוריתם: • זמן ריצה: • הוספת קודקוד לגרף – • Bellman-Ford – • סה"כ -

14. שאלה 4 – מעגלים במשקל 0 • תרגיל: נתון גרף מכוון , ופונקצית משקל בנוסף, ידוע שאין מעגלים שליליים בגרף. תארו אלג' שבודק האם קיים מעגל במשקל 0 בגרף. 9- 1 1 8 4 9 28 -3

15. שאלה 3 – פתרון • בדומה לתרגיל הקודם, נוסיף קודקוד , ועבור כל קודקוד נוסיף קשת במשקל 0. • נריץ Bellman-Ford מהצומת . • ניצור תת-גרף , כאשר • במילים, קשת נשארת בגרף אמ"מ היא • חלק ממק"ב היוצא מ- (גרף המסלולים הקלים ביותר מ- ) 9- 1 1 8 4 9 28 -3

16. שאלה 3 – פתרון המרחקים מ - : b -9 9- a 1 0 1 c -8 8 9 -8 d 28 4 נוריד קשתות: e -4 -3 f -7

17. המשך פתרון • טענה: אם קיים ב- מעגל, אז בהכרח משקלו 0. • הוכחה: נניח שקיים מעגל אז • נסכום את המשוואות ונקבל

18. המשך פתרון • טענה 2: מעגל במשקל 0 ב - יהיה קיים גם ב - . • הוכחה: נניח בשלילה ש • מעגל במשקל 0 ב - אבל לא ב - . אז לפחות אחד מהאי-שיוויוניםהבאים הוא חזק: • נסכום את המשוואות ונקבל

19. סיכום וזמן ריצה • לסיכום, האלג' יראה כך: • נוסיף לגרף צומת וקשתות היוצאות ממנה. • נריץ Bellman-Ford מ- • נזרוק את הקשתות שאינן חלק ממק"ב היוצא מ- • נבדוק האם קיים מעגל בתת הגרף שקיבלנו. למשל, על ידי DFS. • כל השלבים פרט לשני לוקחים זמן לינארי. לכן, סיבוכיות זמן הריצה הינה הסיבוכיות של Bellman-Ford.

20. נקודת בונוס בש"ב • למי שמבין את הקשר בין התמונה ל Bellman-Ford.