2.4 二次函数

1. 2.4 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象（一）

2. 忆一忆 二次函数y=ax2与y=ax2+c的图像有什么异同？ 抛物线 y轴 a>0向上a<0向下 （0，0） y轴 （0，c） 抛物线 a>0向上a<0向下 y=ax2+c是由 y=ax2的图像上下平移得到的 当c>0时，向上平移c个单位; 当c<0时，向下平移︱c︱个单位。

3. 函数y=ax²+bx +c的图象 想一想 问题： 二次函数 y =3x2 -6x+5的图象是什么形状? 它与我们已经作过的二次函数的图象有什么关系? 二次函数 y = 3x2 -6x+5 可化为 y = 3(x-1)2+2 二次函数 y=3(x-1)2+2 的图象是什么形状? 它与我们已经作过的二次函数的图象有什么关系?

4. 比较二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象。 ⑴完成下表,并比较3x2和3(x-1)2的值, 它们之间有什么关系? 48 3 12 27 3 27 12 0 12 3 27 3 48 27 12 0 (2)在同一坐标系中作出y=3x2和y=3(x-1)2的图象．

5. 做一做 观察图象，回答问题 y=3x2 y=3(x-1)2 (3)函数y=3(x-1)2与y=3x2的图象有什么关系? 它是轴对称图形吗? 它的对称轴和顶点坐标分别是什么?

6. 做一做 观察图象，回答问题 y=3x2 y=3(x-1)2 (4)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大? x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？

7. y 10 8 6 4 2 x 0 -4 4 6 -2 2 x=1 x=6 y=3(x-6)2 y=3(x-1)2 y=3x² 二次函数y=3(x-1)2与y=3x2的图象形状相同,可以看作是抛 物线y=3x2整体沿x轴向右平移了1 个单位. 若抛物线y=3x2整体沿x轴 向右平移了6个单位呢？

8. y 10 8 6 4 2 x 0 -4 4 6 -2 2 x= -3 x=1 y=3(x+3)2 y=3(x-1)2 y=3x² 若抛物线y=3x2整体沿x轴 向左平移了3个单位呢？ 此时的抛物线的函数关系式呢？

9. y 10 8 6 4 2 x 0 -4 4 6 -2 2 • 想一想1： 在同一坐标系中作二次函数y=3(x+1)2的图象,会在什么位置? y=3x² y=3(x+1)2

10. y 10 8 6 4 2 x 0 -4 4 6 -2 2 x= -1 y=3x² • 想一想2： 在同一坐标系中作出二次函数y=3(x+1)2的图象,它的增减性会是什么样? y=3(x+1)2

11. 真知 从实践中走来 议一议P47 1.在上面的坐标系中作出二次函数y=3(x+1)2的图象. 它与二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象有什么关系？ 它是轴对称图形吗? 它的对称轴和顶点坐标分别是什么?

12. y 10 8 6 4 2 x 0 -4 4 6 -2 2 x= -1 x= 1 y=3x² y=3(x+1)2 y=3(x-1)2

13. 做一做 函数 y=a(x-h)2 (a≠0)的图象和性质 • 完成下表,并比较3x2,3(x-1)2和3(x+1)2的值, 它们之间有什么关系?

14. y • 猜一猜:函数 y=-3(x-1)2, y=-3(x+1)2 和 y=-3x2 的图象的位置和形状. 请你总结二次函数 y=a(x-h)2 的图象和性质.

15. 越大,开口越小. 越小,开口越大. 二次函数y=a(x-h)2的性质 ３.增减性与最值 １.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 y=a(x-h)2 (a>0) y=a(x-h)2 (a<0) 抛物线 顶点坐标 （h，0） （h，0） 直线x=h 对称轴 直线x=h 在x轴的上方(除顶点外) 位置 在x轴的下方( 除顶点外) 向上 向下 开口方向 在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 增减性 最值 当x=h时,最大值为0. 当x=h时,最小值为0.

16. 做一做 我思，我进步 • 在同一坐标系中作出二次函数y=3x²,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象. • 二次函数y=3x²,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象有什么关系?它们的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?作图看一看．

17. y 10 8 6 4 2 x 0 -4 4 6 -2 2 x=1 y = 3(x-1)2+2 y=3x² y=3(x-1)2 • 二次函数y=3(x-1)2+2的图象和抛物线y=3x², y=3(x-1)2有什么关系?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么? (1,2) (1,0)

18. 二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的关系 • 一般地,由y=ax²的图象便可得到二次函数 y=a(x-h)²+k的图象:y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的. • 因此,二次函数y=a(x-h)²+k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关.

19. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 １.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 抛物线 y=a(x-h)2+k(a>0) y=a(x-h)2+k(a<0) （h，k） （h，k） 顶点坐标 直线x=h 直线x=h 对称轴 位置 由h和k的符号确定 由h和k的符号确定 向上 向下 开口方向 在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 增减性 当x=h时,最大值为k. 最值 当x=h时,最小值为k.

20. 随堂练习 悟出真谛,练出本事 • 1.指出下列函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标: • 2.(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么? • (2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系? • (3)对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小?二次函数y=3(x+1)2+4呢?

21. 小结 拓展 二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的关系 • 1.相同点: (1)形状相同(图象都是抛物线,开口方向相同). • (2)都是轴对称图形. • (3)都有最(大或小)值. • (4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随x的增大而减小 . 2.不同点: 只是位置不同(1)顶点不同:分别是(h,k)和(0,0). (2)对称轴不同:分别是直线x= h和y轴. (3)最值不同:分别是k和0. 3.联系: y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位(当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.