数学物理方法建模

1. 数学物理方法建模 物理1002班 雷青 20100922042

2. 数学建模 1 问题：将一只四条腿一样长的椅子放在不平的地面上，问是否总能设法使它的四条腿同时着地。 椅子能在不平的地面上放稳吗？ 在下列假设条件下，回答是肯定的。 模型假设 1 地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;

3. B B ´ A ´ A  C O x C ´ D´ D 2 地面相对平坦，椅子的腿是足够长的，椅子在任意位置至少有三只脚同时着地； 3 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形； 4 以椅子的中心为坐标原点，对角线的初始位置为坐标轴，椅子绕原点旋转，椅子位置用(对角线与x轴的夹角)表示。

4. 记 A,C 两脚与地面距离之和为 记 B,D 两脚与地面距离之和为 是连续函数 已知： 是连续函数;对任意 且. 证明：存在 ，使 对任意 模型构建 由假设1 由假设2 现不妨设 数学问题

5. 将椅子旋转90度时，对角线AC和BD互换。所以 令 ,则 为连续函数,且 据连续函数的基本性质, 必存在 ,使 即 . 因为 , 所以 建模的关键是 和 的确定 模型求解 评注和思考 考察四脚呈长方形的椅子

6. 河 小船(至多2人) 数学建模 2 问题(商人们怎样安全过河)： 三名商人各带一名随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货. 但是如何乘船渡河由商人决定，问商人应如何安排才能安全渡河。

7. 问题分析 这是一类智力游戏问题，可经过一番逻辑推理求解。当然也可视为一个多步决策问题，每一步（此岸到彼岸或彼岸到此岸）都要对船上的人员作出决策，在保证安全的前提下（两岸的随从数不比商人多）经有限步使全体人员过河 由于该问题是虚拟的，已经理想化了，所以不必再作假设。

8. 记 第k次渡河前此岸的商人数为 ，随从数为 ，而 为过程中的状态。 安全渡河条件下的状态称为允许状态，全体允许状态构成的集合记为 记 第k次渡船上的商人数为 ，随从数为 ，而 为过程中的决策。 模型构建

9. 安全渡河条件下的决策称为允许决策，全体允许决策构成的集合记为安全渡河条件下的决策称为允许决策，全体允许决策构成的集合记为 因为， 为奇数时船从此岸驶向彼岸， 为偶数时船由彼岸驶回此岸，所以状态转移律为 求 使 并按转移律由 到达 多步决策问题模型：

10. 且 从 通过 得到 使得 得到 且 例如 通过 可能的 则 还原，故 如果 也有 如果 则 如果 且 故 模型求解 • 穷举法 穷举法适宜编程上机运算

11. 允许状态为10个点 s1 y 3 d1 2 d11 1 sn+1 0 1 2 3 x • 图解法 状态s=(x,y)为16个格点 允许决策为移动1或2格; k为奇数时,向左、下移; k为偶数时,向右、上移. d1, ，d11给出安全渡河方案 考虑4名商人各带一随从的情况 评注和思考

12. 数学建模 3 例（万有引力定律的发现 ） 十五世纪中期，哥白尼提出了震惊世界的日心说。丹麦著名的实验天文学家第谷花了二十多年时间,观察纪录下了当 时已发现的五大行星的运动情况。第谷的学生和助手开普勒对这些资料进行了九年时间的分析计算后得出著名的Kepler三定律。牛顿根据开普勒三定律和牛顿第二定律，利用微积分方法推导出牛顿第三定律即 万有引力定律

13. 行星 r 太阳 开普勒三大定律 1.行星轨道是一个椭圆，太阳位于此椭圆的一个焦点上。 2.行星在单位时间内扫过的面积不变。 3.行星运行周期的平方正比于椭圆长半轴的三次方，比例系数不随行星而改变（绝对常数） 这其中必定是某一力学 规律的反映，哼哼，我 要找出它。。。。

14. 矢径所扫过的面积A 的微分为: 由开普勒第二定律: 常数 立即得出: 即: 简单推导如下： 如图，有椭圆方程 :

15. 由此得出 常数 椭圆面积 我们还需算出行星的加速度，为此需要建立两种不同的坐标架。第一个是固定的，以太阳为坐标原点，沿长轴方向的单位向量记为i,沿短轴方向的单位向量记为j，于是： 进而有加速度

16. 因此得出 再将椭圆方程 两边微分两次，得 以行星为坐标原点建立活动架标，其两个正交的单位向量分别是

17. 代入，得 将前面得到的结果 和焦参数 也就是说行星的加速度为 由开普勒第三定律知 为常数。若记 于是引力 这就是著名的万有引力定律

18. 谢 谢