Sudaryatno Sudirham

1. Sudaryatno Sudirham KapitaSelektaMatematika Matriks SistemPersamaan Linier BilanganKompleks PermutasidanKombinasi Aritmatika Interval

2. Matriks

3. PengertianTentangMatriks Matrik adalah susunan teratur bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yang membentuk suatu susunan persegi panjang yang kita perlakukan sebagai suatu kesatuan. Bilanganinibisaberupabilangannyataataukompleks. Kita akanmelihatmatriksberisibilangannyata. Contoh: baris kolom Nama matriks: huruf besar cetak tebal, Notasi: Contoh:

4. Elemen Matriks Isi suatu matriks disebut elemen matriks Contoh: 2, 4, 1 dan 3, 0, 2 adalahelemen-emenenmatriks yang membentukbaris 2, 3 dan 4, 0, dan 1, 2 adalahelemen-elemenmatriks yang membentukkolom Ukuran Matriks Secara umum suatu matrik terdiri dari b baris dan k kolom, sehingga suatu matrik akan terdiri dari bkelemen-elemen Ukuranmatriksdinyatakansebagaibk Contoh: adalahmatriksberukuran23

5. NamaKhusus Matriksdenganb = k disebut matriks bujur sangkar. Matriksdengank = 1 disebut matriks kolom atau vektor kolom. Matriksdenganb = 1 disebut matriks baris atau vektor baris. Matriksdenganb  k disebutmatrik segi panjang Notasi nama vektor: huruf kecil cetak tebal Contoh: b = k = 3 b = 2, k = 3 matriks bujur sangkar 33 matriks segi panjang 23 k = 1 b = 1 vektor kolom vektor baris

6. Diagonal Utama Secara umum, matriks A dapat kita tuliskan sebagai elemen-elemen a11 …amn disebut diagonal utama

7. Matriks Segitiga Ada duamacammatriks segitiga yaitu matriks segitiga bawah dan matriks segitiga atas Matriks segitiga bawah adalah matriks yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol. Matriks segitiga atas adalah matriks yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol. Contoh: Matriks segitiga bawah : Matriks segitiga atas :

8. Matriks Diagonal Matriks diagonal adalah matriks yang elemen-elemen di atas maupun di bawah diagonal utamanya bernilai nol. Contoh:

9. Matriks Satuan Jikasemuaelemenpada diagonal utamaadalah 1, sedangelemen yang lain adalah 0, matriksitudisebutmatrikssatuan. Contoh: Matriks Nol Matriks nol, 0, yang berukuran mn adalah matriks yang berukuran mn dengan semua elemennya bernilai nol.

10. Anak matriksatausub-matriks Contoh: MatriksBmemiliki: - Dua anak matriks1 3 , yaitu: - Tiga anak matriks2 1, yaitu: - Enam anak matriks1 1 yaitu: [2] , [4] , [1] , [3] , [0] , [2]; - Enam anak matriks 12 yaitu: - Tiga anak matriks 22yaitu:

11. Matriks dapatdipandangsebagai tersusun dari anak-anak matriks yang berupa vektor-vektor Contoh: dapat kita pandang sebagai matriks dengan anak-anak matriksberupa vektor baris Contohyang lain: dapat kita pandang sebagai matriks dengan anak-anak matriksyang berupa vektor kolom

12. Jika maka haruslah OperasiMatriks Kesamaan Matriks Dua matriks A danB dikatakansamajika dan hanya jika berukuran sama dan elemen-elemen pada posisi yang sama juga sama. Contoh: A = B .

13. Matriks Negatif Negatif dari matriks berukuran mn adalahmatriks berukuran mn yang diperoleh dengan mengalikan seluruh elemennya dengan faktor (1). . Contoh:

14. maka Penjumlahan Penjumlahan dua matriks hanya didefinisikan untuk matriks yang berukuran sama Jumlah dari dua matriks A dan B yang masing-masing berukuran mn adalah sebuah matriks C berukuran mn yang elemen-elemennya merupakan jumlah dari elemen-elemen matriks A dan B yang posisinya sama Contoh: Jika Sifat-sifat penjumlahan matriks:

15. Pengurangan Matriks Penguranganmatriksdapatdipandangsebagaipenjumlahandenganmatriksnegatif Contoh:

16. Perkalian Matriks Perkalian antara dua matriks A dan B yaitu C=AB hanya terdefinisikan jika banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B. Dalamperkalianmatriks, urutanhatusdiperhatikan. Perkalian matrikstidakkomutatif. Jadi jika matriks A berukuran mn danB berukuran pq maka perkalian AB hanya dapat dilakukan jika n = p. Hasil kali matriks AB berupa matriks berukuran mqdengan nilai elemen pada baris ke b kolom ke k merupakan hasil kali internal (dot product) vektor baris ke b dari matriks A dan vektor kolom ke k dari matriks B

17. Perkalian Matriks dengan Bilangan Skalar Hasil kali suatu bilangan skalar a dengan matriks berukuran mn adalah matriks berukuran mn yang seluruh elemennya bernilai a kali. aA = Aa Contoh: Perkalian matriks dengan bilangan skalar ini mempunyai sifat-sifat sebagai berikut

18. Perkalian Internal Vektor (dot product) Perkalian internal antara dua vektora dan byaitu c =abhanya terdefinisikan jika banyak kolom vektora sama dengan banyak baris vektorb. Dalamperkalian internal vektor, urutan perkalian harus diperhatikan. Contoh: vektor baris: 2 baris vektor kolom: 2 kolom . perkalian internal dapat dilakukan Jika urutan dibalik, b: 1 kolom, a : 1 baris,perkalian jugadapat dilakukantetapimemberikanhasil yang berbeda Perkalian matriks tidak komutatif.

19. Perkalian Matriks Dengan Vektor Contoh: 2 baris Misalkan dan 2 kolom dapat dikalikan Jika urutan perkalian dibalik, perkalian tidak dapat dilakukankarena b terdiri dari satu kolom sedangkan A terdiri dari dua baris.

20. Perkalian Dua Matriks Bujur Sangkar Contoh: dan baris = 2 kolom = 2 dapat dikalikan Matriks A kita pandang sebagai Matriks B kita pandang sebagai

21. Perkalian dua matriks persegi panjang Contoh: dan baris = 3 dapat dikalikan kolom = 3

22. Pernyataan matriks dengan anak matriks pada contoh di atasadalah sehingga , Dalam operasi perkalian matriks: matriks yang pertama kita susun dari anak matriks yang berupa vektor baris matriks yang kedua kita susun dari anak matriks yang berupa vektor kolom Jadi perkalian matriks adalah perkalian dari baris ke kolom .

23. Sifat-sifatperkalian matriks • Asosiatif dan distributif terhadap penjumlahan b. Tidak komutatif. Jika perkalian AB maupun BA terdefinisikan, maka pada umumnya AB BA c. Hukum pembatalan tidak selalu berlaku. Jika AB = 0 tidak selalu berakibat A = 0 atau B = 0.

24. PutaranMatriks Putaran matriks atau transposisi dari matriks A berukuran m×n adalah suatu matriks AT yang berukuran n×m dengan kolom-kolom matriks A sebagai baris-barisnya yang berarti pula bahwa baris-baris matriks A menjadi kolom-kolom matriks AT Jika maka

25. Putaran Vektor Baris Dan Vektor Kolom Putaran vektor baris akan menjadi vektor kolom. Sebaliknya putaran vektor kolom akan menjadi vektor baris. Contoh:

26. Putaran Jumlah Dua Vektor Baris Putaran jumlah dua vektor baris sama dengan jumlah putaran masing-masing vektor Contoh: Jika maka Secara umum :

27. Putaran Hasil Kali Vektor Baris Dan Vektor Kolom Putaran hasil kali vektor baris dengan vektor kolom atau vektor kolom dengan vektor baris, sama dengan hasil kali putaran masing-masing dengan urutan dibalik Contoh: Jika maka

28. Contoh: Jika maka Secara umum :

29. Putaran Matriks Persegi Panjang Contoh: Jika maka Jika matriks A dinyatakan sebagai susunan dari vektor baris maka Jika matriks A dinyatakan dengan vektor kolom maka

30. Putaran Jumlah Matriks Putaran jumlah dua matriks sama dengan jumlah putaran masing-masing matriks. Hal ini telah kita lihat pada putaran jumlah vektor baris. Jika dan maka Dengan demikian

31. Dengan demikian maka Putaran Hasil Kali Matriks Putaran hasilkali dua matriks sama dengan hasil kali putaran masing-masing dengan urutan yang dibalik. Hal ini telah kita lihat pada putaran hasil kali vektor baris dan vektor kolom. Jika dan maka

32. Jika dikatakan bahwa matriks B adalah simetris miring. Matriks Simetris Berkaitan dengan putaran matriks, kita mengenal kesimetrisan pada matriks nyata. Matriks simetris adalah matriks yang putarannya sama dengan matriksnya sendiri. Jadi matriks A dikatakan simetris apabila Karena dalam setiapputaran matriks nilaielemen-elemen diagonal utama tidak berubah, maka matriks simetris miring dapat terjadi jika elemen diagonal utamanya bernilai nol.

33. SistemPersamaan Linier

34. SistemPersamaan Linier Suatu sistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier simultan) adalah satu set persamaan dari sejumlah unsur yang tak diketahui. Bentuk umum: Sistem ini mengandung m persamaan dengan n unsur yang tak diketahui yaitu x1 ….xn. Bilangan a11 …..amn disebut koefisien dari sistem itu, yang biasanya merupakan bilangan-bilangan yang diketahui. Bilangan-bilangan b1 ….bm juga merupakan bilangan-bilangan yang diketahui, bisa bernilai tidak nol maupun bernilai nol Jika seluruh b bernilai nol maka sistem persamaan tersebut disebut sistem persamaan homogen

35. Dari sistem persamaan linier diharapkan adanya solusi yaitu satu set nilai dari x1 …xn yang memenuhi sistem persamaan tersebut. Jika sistem ini homogen, ia mengandung solusi trivial (solusi tak penting) yaitu x1 = 0, …., xn= 0. Pertanyaan-pertanyaan yang timbul tentang solusi dari sistem persamaan ini adalah: a). Benar adakah solusi dari sistem ini ? b). Bagaimanakah cara untuk memperoleh solusi? c). Kalau sistem ini mempunyai lebih dari satu solusi, bagaimanakah himpunan solusi tersebut? d). Dalam keadaan bagaimanakah sistem ini tepat mempunyai satu solusi?

36. OperasiBaris Padasisteminikita dapat melakukan operasi-operasi yang disebut operasi baris sebagai berikut: a). Ruas kiri dan ruas kanan dari setiap persamaan dapat dikalikan dengan faktor bukan nol yang sama, tanpa mempengaruhi himpunan sistem persamaan tersebut. b). Ruas kiri dari setiap persamaan dapat dijumlahkan ke ruas kiri persamaan yang lain asal ruas kanannya juga dijumlahkan. Operasi ini tidak mengganggu keseluruhan sistem persamaan tersebut. c). Mempertukarkan tempat (urutan) persamaan tidaklah mengganggu himpunan sistem persamaan.

37. atau secara singkat PenulisanPersamaan Linier DalamBentukMatriks Sistem persamaan linier dapat dituliskan dalam bentuk matriks dengan memanfaatkan pengertian perkalian matriks. Bentuk itu adalah dengan

38. Dari carapenulisantersebut di atas, kita dapat membangun suatu matriks baru yang kita sebut matriks gandengan, yaitu dengan menggandengkan matriks A dengan b menjadi Matriks gandengan ini menyatakan sistem persamaan liniersecara lengkap. Operasi-operasi baris pada sistem persamaan linier kita terjemahkan ke dalam matriks gandengan menjadi sebagai berikut a). Setiap elemen dari baris yang sama dapat dikalikan dengan faktor bukan nol yang sama. b). Satu baris boleh dijumlahkan ke baris yang lain. c). Tempat baris (urutan baris) dapat dipertukarkan.

39. Setiap operasi baris akan menghasilkan matriks gandengan baru. Matriks gandengan baru ini disebut sebagai setara baris dengan matriks gandengan yang lama. Operasi baris dapat kita lakukan lagi pada matriks gandengan baru dan menghasilkan matriks gandengan yang lebih baru lagi dan yang terakhir inipun setara baris dengan matriks gandengan yang lama. Dengan singkat kita katakan bahwa operasi baris menghasilkan matriks gandengan yang setara baris dengan matriks gandengan asalnya. Hal ini berarti bahwa matriks gandengan baru menyatakan sistem persamaan linier yang sama dengan matriks gandengan asalnya.

40. Eliminasi Gauss Eliminasi Gauss merupakan langkah-langkah sistematis untuk memecahkan sistem persamaan linier. Karena matriks gandengan merupakan pernyataan lengkap dari suatu sistem persamaan linier, maka eliminasi Gauss cukup dilakukan pada matriks gandengan ini. Contoh: Suatu sistem persamaan linier: Kita tuliskanpersamaaninidalam bentuk matriks:

41. Matriks gandengnyaadalah: Langkah-1: Langkah pertama pada eliminasi Gauss pada matriks gandengan adalah mempertahankan baris ke-1 (disebut mengambil baris ke-1 sebagai pivot) dan membuatsuku pertama baris-baris berikutnyamenjadibernilainol. Padamatriks yang diberikanini, langkahpertamaini dilaksanakan dengan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-2, mengurangkan baris ke-1 dari baris ke-3 dan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-4. Hasil operasi ini adalah

42. Langkah-2: Langkah kedua adalah mengambil baris ke-2 dari matriks gandeng yang baru saja kita perolehsebagai pivot,dan membuatsuku kedua baris-baris berikutnyamenjadinol. Ini kita lakukan dengan mengalikan baris ke-2 dengan 2/3 kemudian menambahkannya ke baris ke-3, dan mengurangkan baris ke-2 dari baris ke-4. Hasil operasi ini adalah

43. Kalikanbariske 3 dengan 3 agar diperolehbilanganbulat

44. Langkah-3: Langkah ketiga adalah mengambil baris ke-3 sebagai pivot dan membuatsuku ke-3 dari baris ke-4menjadinol. Ini dapat kita lakukan dengan mengalikan baris ke-4 dengan 11 kemudian menambahkan kepadanya baris ke-3. Hasilnya adalah:

45. Hasil terakhirlangkahketigaadalah: Matriks gandeng terakhir ini menyatakan bentukmatriks: Matriks terakhir ini menyatakan sistempersamaan linier: yang dengan substitusi mundur akan memberikan:

46. Sistem-sistem Tertentu Dan Tidak Tertentu Sistem tertentu adalah sistem yang memberikan tepat satu solusi. Sistem tertentu terjadi jika unsur yang tak diketahui sama banyak dengan persamaannya, dan persamaan-persamaan ini tidak saling bergantungan. Jika unsur yang tak diketahui lebih banyakdaripersamaannya, maka sistem itu menjadi kurang tertentu. Sistem yang kurang tertentu memberikan tidak hanya satu solusi akan tetapi banyak solusi. Jika persamaan lebih banyak dariunsur yang tak diketahui, sistem menjadi tertentu berlebihan. Sistem yang kurang tertentu selalu mempunyai solusi (dan banyak) sedangkan sistem tertentu dan tertentu berlebihan bisa memberikan solusi bisa juga tidak memberikan solusi.

47. ContohSistem Persamaan Yang Memberikan Banyak Solusi Contoh: Matriks gandeng: Eliminasi Gauss:

48. Dari persamaan ke-2 kita mendapatkan yang kemudian memberikan Matriks gandengan ini menyatakan sistem persamaan : Karena xC tetap sembarang maka kita mendapatkan banyak solusi. Kita hanya akan memperoleh nilai xA dan xB jika kita menentukan nilai xC lebih dulu

49. ContohSistem Yang Tidak Memberikan Solusi Contoh: Matriks gandeng dan eliminasi Gauss memberikan

50. Sistem persamaan dari matriks gandeng terakhir ini adalah Kita lihat di sini bahwa penerapan eliminasi Gauss pada akhirnya menghasilkan suatu kontradiksi yang dapat kita lihat pada baris terakhir. Hal Ini menunjukkan bahwa sistem persamaan yang sedang kita tinjau tidak memberikan solusi.