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矩形的性质

矩形的性质. 温故知新. 边. A. D. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ∴ AB CD ， AD BC. C. B. 角. ∵ 四边形 ABCD 是平行边形 ∴ ∠ A= ∠ C ， ∠ D= ∠ B ∠ A+ ∠ B= , ∠ A+ ∠ D= …. 对角线. ﹦. ﹦. ∥. ∥. 平行四边形的对边平行 且相等. O. 平行四边形的对角相等， 邻角互补. 平行四边形的性质：. 平行四边形的对角线互相平分. ∵ 四边形 ABCD 是平行边形 ∴ OA=OC,OB=OD.

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矩形的性质

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Presentation Transcript

  1. 矩形的性质

  2. 温故知新 边 A D ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ AB CD，AD BC C B 角 ∵四边形ABCD是平行边形 ∴ ∠ A=∠ C， ∠D=∠ B ∠ A+∠ B= , ∠ A+∠ D= … 对角线 ﹦ ﹦ ∥ ∥ 平行四边形的对边平行且相等 O 平行四边形的对角相等，邻角互补 平行四边形的性质： 平行四边形的对角线互相平分 ∵四边形ABCD是平行边形 ∴OA=OC,OB=OD

  3. 一、知识回顾： 平行四边形的性质 A D O C B 边：对边平行且相等． 角：对角相等邻角互补． 对角线：对角线互相平分． 对称性：中心对称图形．

  4. 生 活 中 的 矩 形

  5. 二 :探究新知 1、矩形的定义 矩形的定义： 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)．

  6. 2、矩形的性质 　 作为特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质外，猜想还有哪些特殊性质呢？ A D ∵四边形ABCD是矩形 ∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=900 C B 矩形的四个角都是直角． 猜想1：

  7. 　　１：矩形的四个角都是直角 命题 性质 D A 已知：四边形ABCD是矩形 求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90° B C 证明： ∵矩形ABCD是平行四边形（已知） ∴AB∥CD （平行四边形的两组对边分别平行） ∴∠B+∠C=180 °（两直线平行，同旁内角互补） 又 ∵∠B=90° （已知） ∴ ∠C=90 °（等式的性质） 同理：∠D=90° ，∠A=90° ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°

  8. A D C B 2：矩形的对角线相等． 命题 性质 猜想2： 已知：四边形ABCD是矩形，求证： AC = BD 证明： ∵ABCD是矩形（已知） ∴∠ABC = ∠DAB = 90° （矩形的四个角都是直角） BC = AD （矩形的对边相等） 在△ABC≌△BAD中 ｛ AB = BA ∠ABC = ∠DAB = 90° BC = AD ∴△ABC≌△BAD（SAS） ∴AC = BD（对应边相等）

  9. 性质2：矩形的对角线相等． 且互相平分 A ∵四边形ABCD是矩形 D O ∴ AC=BD， OA=OC，OB=OD C B ∴OA=OB=OC=OD

  10. ┛ O D A B C 问题：提问：⑴如图，通过以上对矩形性质的探究，你能进一步发现图中有多少个直角三角形吗？有多少个等腰三角形吗？你能发现线段AO、CO、BO、DO之间的大小关系吗？这四条线段与AC、BD又是什么关系呢？如果只看直角三角形ABC， AO是BD边上的什么线？你能说说这个结论吗？

  11. D A ┛ 试试：用文字叙述 直角三角形斜边上中线的性质 O 　　　　在矩形ABCD中 AO=CO=BO=DO= AC= BD B C 在Rt△ABD中，AO是斜边BD的中线 则有：AO=BD 直角三角形斜边上中线的性质 ： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

  12. 已知△ABC中，∠ACB=90°，AD = BD 求证：CD = AB D A C B 又∵∠ACB = 90° ∴ ACBE是矩形 ∴CE = AB（） 由于CD= CE 所以CD = AB 返回 求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 E 证明：延长CD到E使DE=CD， 连结AE、BE. ∵AD = BD ，CD = ED ∴四边形ACBE是平行四边形 （有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 ? 矩形的对角线相等

  13. 例1 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长. 解:∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD,AO=1/2AC, BO=1/2BD ∴AO=BO ∵∠AOB=60° ∴△ABO是等边三角形∴AO=AB=BO=4 ∴AC=BD=2×4=8cm D A O B C B B B B B B B B

  14. A D O C B 例2、如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm,对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少？ 解：∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD=13cm（矩形的对角线相等） ∵△AOB、 △BOC、 △COD和△AOD四个三角形的周长和为86cm， ∴AB+BC+CD+DA=86－2(AC+BD) =86－4×13 =34(cm) 即矩形ABCD的周长等于34cm。 想一想：若△AOB的面积为5，则矩形ABCD的面积为_____ 20

  15. 矩形的对称性： 中心对称图形 轴对称图形 O

  16. 矩形所特有的性质 比一比,知关系 对边平行 且相等 对角相等 邻角互补 对角线互 相平分 中心对称图形 对边平行 且相等 四个角 为直角 对角线互相 平分且相等 中心对称图形 轴对称图形

  17. D A E 2、如图，已知ABCD为矩形，若沿AE折叠，使D点落在BC边上F点处，如果∠BAF=600，那么∠DAE等于（ ） A.150 B.300 C.450 D.600 B C F 练一练 1、下列性质中，矩形不一定具有的是（ ） A.对角线相等 B. 四个角都相等 C.是轴对称图形 D.对角线垂直 D A

  18. D C F A B E ⌒ 4、如图，在矩形ABCD中，E是AB上的一点，EF⊥CE，交AD于点F，若BE=2，矩形的周长为16，CE=EF，则BC的长为_____ 4 ⌒ 2 3 ⌒ 1 ⌒ F E 3、如图,把两个完全相同的矩形拼成“L”形图案, 则∠FAC=______° ∠FCA=______° D C 90 45 B G A 你能求出EF的长吗? 3

  19. [ ] 1. 下面性质中，矩形不一定具有的是 A．对角线相等B．四个角都相等 C．是轴对称图形D．对角线垂直 [ ] A．对角线相等的四边形B．对角线互相平分且相等的四边形 C．对角线互垂直平分的四边形 D．对角线垂直的四边形 3. 已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两 条对角线所夹锐角的度数为 [ ] A．50° B．60° C．70° D．80° 4. 矩形ABCD中，AB=2BC，E在CD上，AE=AB， 则∠BAE等于 [ ] A．30° B．45° C．60° D．120° 返回 D 2. 过四边形的各个顶点分别作对角线的平行线，若这四 条平行线围成一个矩形，则原四边形一定是 D 课堂练习 D A

  20. A D O C B 试一试： 已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O， （1）若∠AOD=120°，判断△AOB的形状 （2）如果要得到 △AOB是等边三角形，你可以添加什么条件？ （3）在矩形ABCD中,AE⊥BD于E，若BE=OE=1，则AC=_____, AB＝______∠AOB=__________ 4 2 60度 E

  21. 矩形具有而平行四边形不具有的性质（） （A）内角和是360度（B）对角相等 （C）对边平行且相等（D）对角线相等 下面性质中，矩形不一定具有的是（） （A）对角线相等（B）四个角相等 （C）是轴对称图形（D）对角线垂直 下面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（） （A）角（B）任意三角形 （C）矩形（D）等腰三角形 由已知矩形的一个顶点向其所对的对角线引垂线，该垂线分直角为3：1两部分，则垂线与另一条对角线的夹角是（） （A）60度（B）45度 （C）30度（D）22.5度

  22. 说一说 A D O B C 根据题目要求算出结果并讲解理由。如图矩形ABCD中，1、AC＝8cm，则BD＝＿＿＿＿＿AO＝＿＿＿CO=＿＿＿BO=＿＿＿＿ 2、AB=6 BC=8，则 AC= ＿＿＿ AO=＿＿＿BO＝＿＿ 3、∠AOB＝60°AB＝4cm，则AC长＿＿＿＿＿＿ 8cm 4cm 4cm 4cm 10 5 5 8cm

  23. A D B C 3.矩形的边长为10cm和15cm,其中一个 内角的平分线分长边为两部分，这两部分 分别为cm,cm. E

  24. A D 例3 已知：如左图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，BE⊥AC于E。试求出BE的长。 E C B 解：在矩形ABCD中，∠ABC=900， AC=√AB2+BC2= √32+42= √25=5（勾股定理）。 又∵S△ABC=1/2AB·BC=1/2AC·BE， BE=AB·BC/AC=2.4 返回

  25. 1.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，D是AB的中点，则CD=———1.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，D是AB的中点，则CD=——— 2.5 A 2.已知矩形的对角线长为10cm，那么，顺次连接矩形四边中点所得的四边形周长（ ）cm A.40 B.10 C.5 D.20 D D B C 3、两条直角边的长分别为12和5，则斜边上的中线（ ） （A）26 （B）13 （C）8.5 （D）6.5

  26. 思 路 分 析 A C B 则 AD=CD= AB ∴AC=AD=CD= AB 练习 直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半， 那么这个直角边所对的角为30 ° 2. 在Rt⊿ABC中，∠C=90°， AB=2AC. 求∠ A 、 ∠B 的度数. 作斜边AB边的中线 又∵AB=2AC D ∴⊿ACD是等边三角形 ∴∠A=60° ∴∠B=30 °

  27. 思 路 分 析 D A O B C 练习 在Rt⊿ABC中， ∠ACB=30 ° ， ∴AC=2AB 又∵AC=BD ∴BD=2AB=2 还有没有其他解法？ 30° 3. 矩形ABCD中，AB=1， ∠ACB=30°，BD=______； 2 与AB相等的线段（不包括本身） 有___条. 5 AB=AO=BO=OC=OD=CD

  28. E 思 路 分 析 3. 矩形ABCD中，AB=1， ∠ACB=30°，BD=______； D A O BE= BC 与AB相等的线段（不包括本身） 有___条， B C 而BC= = ∴BE= 练习 作BE⊥AC 在Rt⊿BCE中， ∠ACB=30° 还有其他方法吗？ B到AC边距离为____; 等面积！

  29. 思路分析 D A 4. 矩形两条对角线夹角为60°，较短一边长 为 ， 则此矩形对角线长为_______. O B C AO=AB= 练习 ⊿ABO是等边三角形， AC=2AO=

  30. 思 路 分 析 C A B 练习 5. 以2cm和3cm为两条邻边长画一个矩形，并求它的对角线长. ①画AB=3cm，AC=2cm且AB⊥AC， 利用勾股定理求得BC ②作CD∥AB， BD∥AC， 交于点D. D 四边形ABCD就是所要画的矩形.

  31. A D O C E 6、如图：矩形ABCD的两条对角线 相交于点O，CE‖OB交AB的延长线 于点E，试证明AC与CE的大小关系。 B 5、如果矩形的一条对角线的长为8 cm，两条对角线的一个交角为120°，求矩形的边长

  32. 2.（补充）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，DE⊥AC于E，EC：AE=1：3，CD=5cm，求AC的长度。 A D O E B C

  33. A D C B A D B C 我的收获 从一般到特殊 矩形的定义： 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 边 矩形对边平行且相等； 角 矩形的四个角都是直角； 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 对角线 矩形的对角线相等且平分； 直角三角形斜边上的中线性质

  34. 本题分三种情况思考： P P A A D D A D P C B B C B C 点在形内 点在形上 点在形外 拓展延伸： 1、已知：矩形ABCD和点P，若PA=PD。 求证：PB=PC。

  35. 2、如图，把矩形ABCD放置平面直角坐标系中， 已知A（0，0）B（6，0）D（0，4）， 求：(1)C点坐标； (2)若直线y=kx-1将矩形ABCD分成面积相等的两部分，求此直线解析式 。 y D C A p B x

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