8 排序（ 4 ）

1. 8 排序（4）

2. 教学目标 1、掌握排序的概念，常用排序的方法及特点，并能进行时间复杂度、空间复杂度及算法稳定性的分析； 2、掌握插入排序、冒泡排序、选择排序、希尔排序的方法、算法； 3、掌握快速排序、堆排序、归并排序、基数排序的方法； 4、基本掌握快速排序、堆排序、归并排序的算法思想。 5、熟悉各种（类）排序方法的特点及相应的时间、空间复杂度。 6、了解STL中的相关排序算法。

3. 教学内容 8.1 概述 8.2 插入排序 8.3 交换排序 8.4 选择排序（堆排序） 8.5 归并排序 8.6 基数排序 8.7 各种排序方法的综合比较 8.8 STL与排序

4. 8.7 各种排序方法的综合比较

6. 从平均时间复杂度考虑，快速排序法的平均速度最快（这也是实践中大量采用快速排序的原因）；从平均时间复杂度考虑，快速排序法的平均速度最快（这也是实践中大量采用快速排序的原因）； • 从最坏的时间复杂度考虑，快速排序为Ｏ(n2)，这一点不如堆排序和归并排序； • 当 n较大时归并排序可能比堆排序快，但归并排序需要很大的辅助空间； • 朴素排序算法中直接插入排序最简单，当序列中的记录“基本有序”或n值较小时，可以优先选用直接插入排序。这种排序算法也常常与其他排序方法结合使用（例如，一些实用快速排序算法在划分出的分段很短时，通常转而用插入排序）；当序列接近有序时，直接插入排序速度很快；

7. 稳定性：大部分时间复杂度为O(n2)的简单排序法都是稳定的，大部分时间性能较好的排序都是不稳定的。一般来说，排序过程中的比较是在相邻的两个记录关键字之间进行的排序方法是稳定的。稳定性由方法本身决定,不稳定的方法总能举出使其不稳定的实例;稳定性：大部分时间复杂度为O(n2)的简单排序法都是稳定的，大部分时间性能较好的排序都是不稳定的。一般来说，排序过程中的比较是在相邻的两个记录关键字之间进行的排序方法是稳定的。稳定性由方法本身决定,不稳定的方法总能举出使其不稳定的实例; • 基数排序最适合n很大而关键字较小的序列; • 所有的简单排序方法(包括：直接插入、冒泡和简单选择) 和堆排序的空间复杂度为O(1)；快速排序为O(log n)，这是递归程序执行过程中，栈所需的辅助空间；归并排序所需辅助空间最多，其空间复杂度为 O(n);

8. 关于“排序方法的时间复杂度的下限” 本章讨论的各种排序方法，除基数排序外，其它方法都是基于“比较关键字”进行排序的排序方法。可以证明，这类排序法可能达到的最快的时间复杂度为O(nlogn)。 由于基数排序不是基于“比较关键字”的排序方法，所以它不受这个限制。

9. 例如:对三个关键字进行排序的判定树如下： K1<K2 K1<K3 K2<K3 K1<K3 K1<K2<K3 K2< K3 K2<K1<K3 K2<K3<K1 K3<K2<K1 K3<K1<K2 K1<K3<K2 １．树上的每一次“比较”都是必要的; ２．树上的叶子结点包含所有可能情况。

10. 一般情况下，对n个关键字进行排序，可能得到的结果有n!种，由于含n!个叶子结点的二叉树的深度不小于log2(n!) +1, 则对 n 个关键字进行排序的比较次数至少是 log2(n!) nlog2n (斯特林(Stirling)公式近似公式)。 所以，基于“比较关键字”进行排序的排序方法，可能达到的最快的时间复杂度为 O(nlogn)。 网址: http://zh.wikipedia.org/wiki/斯特林公式

11. 8.8 STL与排序 sort stable_sort partial_sort nth_element make_heap(建堆) push_heap(插入) pop_heap(删除) sort_heap(堆排序) 关于heap相关的操作方法，建议课后自学

12. STL在它的排序算法方面做了哪些优化呢？ • 自从快速排序算法出世以后，从平均性能上来说，除了在数据量极少(<=20)的的情况下其性能不如插入排序外，快速排序算法的性能起码是其他同阶算法的2到3倍，这已经是不争的事实。 • STL中的sort算法，采用混合算法： • 在数据量少的时候，算法转入插入排序; • 其它情况下则优先采用快速排序; • STL还对快速排序算法的补充：快速排序的特点是平均性能好，能达到O(NlgN)的性能，缺点是对于最坏情况性能会下降到O(N^2)。STL对此做的补充是引入一个递归计数，当递归深度超过一定阈值，则算法转入一个相对较慢但最坏情况也是O(NlgN)的算法，比如堆排序。这一算法监控自身的递归深度，具有一定的内观性，被称为内观排序(introsort -- introspective sort)，实际上是快速排序的变种，是一种混合算法。在最坏情况下能近似达到O(NlgN)的性能。实际上在最坏情况下比堆排序要差点，但是比快速排序要好得多。而其平均性能和快速排序差不多。 • stable_sort 采用归并排序。 • partial_sort 采用堆排序。

13. #include <algorithm> // 头文件 struct Item{ int key; char* otherinfo; }; bool cmp(Item a, Item b) { return a.key<b.key ; } Item R[100]; // 排序区间为 [first, last) sort (R , R+100, cmp); // 对全部元素进行排序 sort (R , R+10, cmp); // 对前10个元素进行排序 stable_sort (R , R+100, cmp); // 对全部元素进行稳定排序

14. int A[12] = {7, 2, 6, 11, 9, 3, 12, 10, 8, 4, 1, 5}; partial_sort(A, A + 5, A + 12); // 处理范围是全部12个元素，但排序的结果只能保证最小的5个元素都已经在合适的位置（即，分别位于A[0..4]），而后面的元素则不保证有序,采用堆排序的思想 // 排序结果为： “1 2 3 4 5 11 12 10 9 8 7 6 ” ------------------------------------------------------------ int A[12] = {7, 2, 6, 11, 9, 3, 12, 10, 8, 4, 1, 5}; nth_element(A, A + 6, A + 12); // 处理范围是全部12个元素，但处理的结果只保证第7小的元素在合适的位置（即，位于A[6]），而其它的元素之间则不保证有序。 // 排序结果为： “5 2 6 1 4 3 7 8 9 10 11 12” // 本函数的时间复杂度约为O(N), 效率非常高，采用快速排序的分区思想实现，而且还保证前面的6个元素均小于第7个元素，而后面的N-7个元素均大于第7个元素，

15. #include <algorithm> // 头文件 struct Item{ int key; char* otherinfo; }; bool cmp(Item a, Item b) { return a.key<b.key ; } Item R[100]; // 排序区间为 [first, last) sort (R , R+100, cmp); // 对全部元素进行排序 sort (R , R+10, cmp); // 对前10个元素进行排序 stable_sort (R , R+100, cmp); // 对全部元素进行稳定排序

16. 本章小结 1、熟悉各种（类）排序方法的特点及相应的时间、空间复杂度。 2、了解STL中的相关排序算法。

17. 本章要求：

18. 课后建议： • HDoj 1872（stable_sort） • HDoj 1280, 1425（partial_sort） • HDoj 1157, 1939（nth_element） • HDoj 1509, 1873,1434（用二叉堆实现优先队列） • 较为熟练地利用堆的相关算法(优先队列)解决实际问题 • 熟悉STL之优先队列 priority_queue （头文件 queue） • 熟悉STL之heap相关方法make_heap等 （头文件 algorithm） • 尝试利用优先队列实现haffman树