О гъване

1. Огъване 1. Определения 2. Чисто специално огъване Му  0 (Mz0) 3. Напречно специално огъване My0; Qz0 (Mz0; Qy0) 4. Център на огъване при тънкостенни пръти

2. Р Р y а а чисто огъване z напречно огъване напречно огъване P Qz P My Pа Pа • Определения • Чисто огъване имаме, когато единственото разрезно усилие е Мог. • Ако векторът наогъващия момент е насочен по главна инерционна ос на напречното сечение Мог Му или Мог  Мz имаме чисто специално огъване. • При наличие и на срязваща сила по главна инерционна ос имаме напречно специално огъване. фиг. 1

3. равнина на симетрия 2. Чисто специално огъване Му  0(Мz 0) • 2.1. Хипотеза на Бернули • Изчислителната схема на чистото огъване е показана на фиг.2. Поради симетрията на натоварването и конструкцията напречното сечение разположено в оста на симетрията ще остане равнинно. Ако разделим модела с равнината на симетрия и повторим разсъжденията за получените части можем да докажем, че при чисто огъване всички сечения остават равнинни. фиг.2

4. 2.2. Закон на разпределение на нормалните напрежения • Разглеждаме диференциален елемент от гредата с дължина ds , натоварен само с Му (фиг.3). • Долната част на сечението ще се разпъне, а горната ще се свие. • След натоварването сеченията се завъртат (като остават равнинни) и сключват по между си ъгъл d. • Правата ос на гредата се деформира и придобива кривина, чийто радиус е . • Линията, около която сеченията се завъртат се нарича неутрална линия.

5. d  d z ds ds • Разглеждаме слой на разстояние zот неутралната линия. • Удължението на слоя е ds • Относителната деформация на слоя ще бъде: (1) Използваме закона на Хук: (2) фиг. 3

6. F x y z x dF y z Нормалната сила в сечението трябва да е равна на нула. След като статичният момент е равен на нула следва, че неутралната линя минава през центъра на тежестта на сечението. Огъващият момент Мzсъщо трябва да е равен на нула. Щом като центробежния момент е равен на нула, осите на сечението са главни централни инерционни оси.

7. Да изразим огъващият момент Му Получаваме израз за кривината: (3) Произведението EJyв знаменателя на (3) се нарича коравина на огъване. От формули (2) и (3) се получава: (4)

8. Законът на разпределение на нормалните напрежения е линеен. Най-големи са нормалните напрежения в най-отдалечените от неутралната линия точки на сечението. (5) Величината Wy се нарича съпротивителен момент на огъване (осов съпротивителен момент). (6) За правоъгълно и кръгло напречно сечение се получавасъответно: За стандартни профили и типични сечения съпротивителните моменти са дадени в таблици.

9. x(z) x y z z • 2.3. Рационална форма на сечението • За греди от ниско въглеродни стомани и други материали, при които границата на провлачване при опън и натиск е приблизително еднаква се правят симетрични сечения фиг.6. • Вижда се, че при правоъгълното и особено при кръглото сечение има много материал, там където напреженията са малки. • Най- рационално е материалът да се разполага далеч от неутралната линия, както е при двойно”Т” образния профил; при “П” образния или при кухия правоъгълник. фиг.6

10. x(z) x y z z При крехки материали , за които границата на разрушение при опън е значително по-малка от тази при натиск се правят несиметрични сечения. Стремежът е опъновата зона да се направи по-малко отдалечена от неутралната линия. фиг.7 Трябва да се знае, че при значително изтъняване и удължаване на стените може да настъпи местна загуба на устойчивост.

11. ds z A’ B” A” B’ 3. Напречно специално огъване My0; Qz0 (Mz0; Qy0) Поради разликата в огъващият момент за две съседни сечения и наличие на срязваща сила се получава се депланация на сеченията. Хипотезата на Бернули не е в сила. 3.1. Нормални напрежения 3.1.1. При Qz=constдве съседни сечения на разстояние dsсе депланират по подобен начин. На фиг.8 с пунктир е показан деформираният елемент при чисто огъване. За слоя на разстояние zот неутралната линия разстоянията А’А”В’В”. Следователно удължението на влакното се получава същото както при чисто огъване. От това следва, че формули (1) до (6) остават в сила и при напречно специално огъване. фиг.8 • 3.1.2. ПриQzconstс помощта на “Теория на еластичността” е доказано, че формулите получени по-горе дават отклонение от точните от порядък h/l. • Тъй като при гредите това отношение е от порядъка1:10 формулите (1)(6) се използват за избягване на сложните изчисления.

12. My+dMy My Qz Qz z x x+dx ds • 3.2. Тангенциални напрежения. Формула на Журавски Разглеждаме диференциален елемент от участък в състояние на напречно специално огъванефиг.9. В дясното сечение огъващият момент нараства с dMy, а напреженията с dx. фиг.9 • Правим следните предположения: • Тангенциалните напрежения са успоредни на срязващата сила • Тангенциалните напрежения са постоянни по линии успоредни на неутралната линия • Напречното сечението е постоянно по оста на гредата • По околната повърхнина на гредата няма тангенциални напрежения

13. N*+dN* b(z) ds zx F* xz N* • Отделяме част от елемента на фиг.9 с равнина на разстояние z от неутралната линия. Разглеждаме тази част, която не съдържа центъра на тежестта (фиг.10). • Върху запазената част от напречното сечениеF* се получава равнодействаща на нормалните напреженияN*. • Нормалните напрежения в дясното сечение, (нараснали с dx) дават равнодействащаN*+dN*. фиг.10 Условието за равновесие на силите по оста на гредата е:

14. Изразяваме нормалната сила N* чрез напреженията, използвайки формула (4). След диференциране получаваме: Изравняваме получените два израза заdN*: Отчитайки, чеdMy/ds=Qz и zx=xz получаваме формулата на Журавски: (7) Тук Sy* е статичния момент на площта F* спрямо ос у. Законът на разпределение на тангенциалните напрежения по височина се определя от отношението на Sy*/b(z) .

15. Прилагайки формула (7) за типичните сечения, показани на фиг. 11 се получава: h/6 фиг.11

16. n’ n t  Qz Формулата на Журавски е изведена за правоъгълник. При кръг, триъгълник и др. първото предположение в близост до околната повърхнина не се изпълнява. • Нека допуснем, че за овалното сечение от фиг. 12 в точка, разположена в близост до околната повърхнина, тангенциалното напрежение е успоредно на Qz. • Разлагаме  по тангентата и нормалата на контура. Според закона за взаимност на тангенциалните напрежения по околната повърхност трябва да има n’ , но такива липсват. • Следователно t и пълното тангенциално напрежение действа успоредно на тангентата към контура. фиг. 12

17. 3.3. Оразмеряване при напречно специално огъване • а) при жилаво-пластични материали • Оразмеряването започва с най-големия по модул огъващ момент –формула (8) • След това се проверява с максималната по модул срязваща сила –формула(9) • Проверява се еквивалентното напрежение в застрашените точки на опасното сечение – формула (10) Опасното сечение в случая се определя от най-неблагоприятното съчетание на голям огъващ момент и голяма срязваща сила. Застрашена точка е тази, в която има неблагоприятно съчетание на големи нормални и големи тангенциални напрежения. (8) (9) (10) б) при крехки материали се проверяват поотделно опъновата и натисковата зона със съответните допустими напрежения

18. P Ако определяща е формула (8) и искаме във всички точки напреженията да са близки до допустимите се получава греда с равна якост. За греда на две опори със сила в средата и кръгло напречно сечение се получава: (11) На фиг.13 с пунктир е показано решението по формула (11). На практика тази теоретична крива се обвива със степенчати цилиндрични повърхнини. фиг.13

19. q 1 h Qz My При наличие на значителни срязващи сили и при крехки материали (например бетон) е важно да се знае направлението на главните напрежения и по тези направления да се постави арматура. фиг.14 фиг.15 фиг.16 Напрегнатото състояние се изменя по височината на гредата h и е показано на фиг.15. Траекторията на първото главно напрежение и примерно поставяне на арматура на стоманобетонна греда е показано на фиг. 16.

20. F* y z  4. Център на огъване при тънкостенни пръти За извода на формулата на Журавски при тънкостенни пръти се прави предположение, че тангенциалните напрежения са равномерно разпределени по дебелината и са успоредни на тангентата към средната линия на сечението. Формула (7) се трансформира в (12). (7) се трансформира в (12). Qz (12)

21. R1 Rz Qz C y z R1 Разпределението на тангенциалните напрежения е показано на фиг.17. По поясите то е линейно, по стеблото параболично. фиг.17 Тангенциалните напрежения по поясите се редуцират до R1, а по стъблото до Rz= Qz. Вижда се, че тангенциалните напрежения по поясите създават момент, който усуква сечението. За да не става това външната сила трябва да се прилага в т. С така, че моментът и да компенсира момента на двоицата на R1.

22. Точка от равнината на сечението, спрямо която моментът на тангенциалните напрежения е нула се нарича център на огъване. За някои сечения определянето на центъра на огъване е очевидно – фиг. 18. Фиг. 18