Filterung der räumlichen Frequenzen

1. Filterung der räumlichen Frequenzen Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie

2. Helligkeitsvariationen in einem Bild • Ein Bild kann als die Summe von Helligkeitsvariationen unterschiedlicher räumlichen Frequenz betrachtet werden • Die räumliche Frequenz bezieht sich auf die Anzahl der (periodischen) Variationen der Helligkeitswerte pro Raumeinheit (in cycles/Pixel für ein Bild) y f(x,y): Helligkeitswert im Ort (x,y) • Höhe räumliche Frequenz: abrupte Variation der Helligkeitswerte in eine • Richtung (ZB: Grenze Schwarz/Weiß) • Niedrige räumliche Frequenz: allmähliche Variation der Helligkeitswerte in eine Richtung (ZB: eintonige Fläche, Abstufung von Grauwerten) x Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie

3. Räumliche Variation der Helligkeit im Bild DN 255 0 Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie

4. y • Eintonige Fläche: keine räumliche Variation der Helligkeitswerte in x- und y- Richtung => räumliche Frequenz =0 in beide Richtungen • Eintonige Fläche in x-Richtung => räumliche Frequenz=0 in x-Richtung Abstufung von Helligkeitswerten in y-Richtung => niedrige räumliche Frequenz in y-Richtung • Wiederholung von abrupten Variationen der Helligkeitswerte in x- und y-Richtungen => höhe räumliche Frequenz in beiden Richtungen x Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie

5. Zerlegung des Signals in 2 Komponenten verschiedener Frequenz Originalbild Helligkeitswert (DN) = x Filterung der Signalkomponente niedriger räumlichen Frequenz HP-gefiltertes Bild + LP-gefiltertes Bild Filterung der Signalkomponente hoher räumlichen Frequenz Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie

6. Periodisches Signal (DN) Phase Amplitude Periode=1/Frequenz Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie Entfernung (x)

7. Sinus- und kosinusförmige Periodische Signal • Parameter eines periodischen Signals: • Amplitude • Periode (Frequenz) • Phase Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie

8. Zerlegung des Signals in Kosinus- und Sinusfunktionen Frequenz 1 Amplitude 1 Phase 1 + Amplitude= Gewicht des periodischen Signals Phase = Verschiebung zwischen den Signalen (=> konstruktive oder destruktive Summe) Frequenz 2 Amplitude 2 Phase 2 + Frequenz 3 Amplitude 3 Phase 3 Helligkeitswerte (DN) = Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie X (Reihe von Pixel)

9. Zerlegung des Signals in Kosinus- und Sinusfunktionen A1= Helligkeitswerte (DN) A2= A3= Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie

10. Zerlegung des Bildsignals in Kosinus- und Sinusfunktionen Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie

11. Zerlegung eines Bild in periodischen Helligkeitsvariationen unterschiedlicher räumlichen Frequenz • Ein Bild kann als Summe von sinusförmigen Helligkeitsvariationen unterschiedlicher räumlicher Frequenz betrachtet werden • f(i,j): Helligkeitswert des Pixels (i,j) im Bild • f(i,j) = ∑ (periodische Helligkeitsvariationen unterschiedlicher räumlichen Frequenz) • Fourier Transform (FT):mathematischeMethode zum Zerlegen eines Bildes in sinusförmigen Komponenten unterschiedlischer räumlichen Frequenzen 1D • Z.B für ein Signal von „Quadrat-Wellen“ in einer Reihe von Pixel: Beitrag jeder Sinusfunktion =Amplitude Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie

12. 2D-inverse diskrete Fourier Transform Helligkeitswerte f(x,y) als Summe von Kosinus- und Sinus- Funktionen (Wellen) unterschiedlicher räumlichen Frequenzen (u,v): f(x,y): Helligkeitswert f im Pixel (x,y) Nx: Anzahl von Pixel in der x-Richtung Ny: Anzahl von Pixel in der y-Richtung F(u,v): Amplitude der Funktion von Frequenz u,v (x-und y-Richtung) Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie

13. 2D diskrete Fourier Transform Die „Fourier Transform“ liefert die Koeffizienten (Amplitude bzw. Beiträge) F(u,v)der Sinus- und Kosinusförmigen Funktionen im Bild f(x,y): f(x,y): Helligkeitswert f im Pixel (x,y) Nx: Anzahl von Pixel in der x-Richtung Ny: Anzahl von Pixel in der y-Richtung F(u,v): Amplitude der Funktion von Frequenz u,v (x-und y-Richtung) Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie

14. f(x,y) als Bildfunktion (Grauwert-Ort-funktion) F(u,v) als Ortsfrequenzfunktion Der Funktionswert F(u,v) gibt Phase und Betrag (Amplitude) der sinusförmigen Grauwertskomponenten in f(x,y) von Frequenz in X-Richtung und Frequenz in Y-Richtung an. Zwischen den stetigen Funktion f(x,y) und F(u,v) besteht eine eindeutige Beziehung, so dass eine Inverse-Transformation möglich ist FT: Ortsraum => Frequenzraum Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie

15. Die Parameter der Fourier Transform Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie

16. Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie

17. Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie

18. f(x) Amplitude (F(u)) x Frequenz (u) Ortsraum Spektrum im Frequenzraum Frequenz (u) Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie

19. A A A A u A A A A u A A A A u Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie

20. Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie

21. Amplitudespektrum im Frequenzraum v : Frequenz in y-Richtung Intensität (Pixelwert) = Amplitude u : Frequenz in x-Richtung (0,0) Orientierung Steigende Frequenz Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie

22. Amplitudenspektrum:Visualisierung im Frequenzraum der Amplituden (=Beiträge) der periodischen Funktionen verschiedener Frequenzen (u,v) F(u,v) = Pixelwert im Frequenzraum = Amplitude der periodischen Funktion, die die Frequenzen u (in x-Richtung) und v (in y-Richtung) besitzt Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie

23. Fourier-Transformation (FFT) von einfachen periodischen Bildsignalen Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie

24. v x FFT u y IF(u,v)I bzw. Amplitudenspektrum im Frequenzraum f(x,y) bzw. Ortsraum Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie

25. Ortsraum (x,y) bzw. Frequenzraum (u,v) Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie

26. Bilder und zugehörige Amplitudenspektrum Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie

27. Fourier-Filterung • Durch eine Multiplikation jeder Frequenz-Komponenten F(u,v) eines Bildes anhand einer bestimmte Gewichtungsfunktion (Filter) kann man bestimmte Frequenz-Komponenten erniedrigen und Anderen erhöhen (Erhöhung der Amplitude) • Die zugehörige Veränderungen sind im Ortsraum durch eine Rück-Transformation (FFT-1) sichtbar • Diese selektive Beseitigung von Frequenz-Komponenten heißt Fourier-Filterung Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie

28. Originalbild f(x,y) Bildspektrum: F(u,v)= IF(u,v)I *exp( -i *(u,v)) FT Gefiltertes Bildspektrum G(u,v): = IG(u,v)I * exp( -i *(u,v)) IG(u,v)I= IF(u,v)I * IH(u,v)I G(u,v) = F(u,v) + H(u,v) Gefiltertes Bild g(x.y) FT-1 Transfer-Funktion („Amplitude Filter“): H(u,v) Z.B: Low Pass Filter: H(u,v)= IH(u,v)I mit IH(u,v)I =1 für u<uc & v<vc IH(u,v)I =0 für u>uc & v>vc wobei uc & vc : „cutoff“ -Frequenzen ORTSRAUM (x,y) FREQUENZRAUM (u,v) ORTSRAUM (x,y) Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie

29. Filterungsart Filter werden eingesetzt, um z.B. den Einfluss von Datenfehlern oder Störsignalen zu verringern, hochfrequente von niederfrequenten Komponenten des Signals zu trennen, oder um bestimmte Frequenzbereiche in Signalen hervorzuheben Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie

30. Filterung im Frequenzraum Gefiltertes Bildspektrum IG(u,v)I= IF(u,v)I*IH(u,v)I Transfer-Funktion H(u,v) Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie

31. BildspektrumIF(u,v)I (Amplitude im Frequenzraum) Spektrum von H(u,v): IH(u,v)I =0=>Schwarz IH(u,v)I =1=>Weiß Gefiltertes Bildspektrum IG(u,v)I=IF(u,v)I*IH(u,v)I Gefiltertes Bild g(x,y) Helligkeitswerte im Ortsraum Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie

32. v (cycles/ pixels) u (cycles/ pixels) HOCHPASS-FILTER Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie

33. Butterworthfilter als Tiefpass-Filter (1D) 1 u Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie