Binomiske trær

1. Binomisketrær Chapter 12

2. En enkel binomisk modell Aksjekurs = $22 Aksjekurs = $20 Aksjekurs = $18 En aksjekurs er nå $20 Om 3 mnd vil den enten bli $22 eller $18

3. En kjøpsopsjon (Figure 12.1, page 268) Aksjekurs = $22 Opsjonsverdi = $1 Aksjekurs= $20 Opsjonspris =? Aksjekurs = $18 Opsjonsverdi = $0 En 3-mnd call påaksjenhar en innløsningskurspå 21. Hvaeropsjonenverdt?

4. 22D – 1 18D En risikofriportefølje Se på denne porteføljen: long D aksjer short 1 call Porteføljen er riskofri når avkastningen for begge alternativene er identiske dvs. At 22D – 1 = 18D eller D = 0.25

5. Verdsettingavporteføljen(Risikofrirenteer12%) Den risikofri porteføljen er long 0.25 aksjer og short 1 call Verdi på porteføljen om 3 måneder er: 22 ●0.25 – 1 = 4.50 Porteføljeverdi i dag er 4.5e – 0.12●0.25 = 4.3670

6. Verdsetting av opsjonen Vi fant at porteføljen som består av long 0.25 aksjer og short 1 opsjon er verdt 4.367 Aksjene er verdt 5.000 (= 0.25 ●20) Opsjonspris = ƒ 20 ●0.25 - ƒ = 5 – ƒ ƒ – 5 = 4.367, 0psjonen er derfor verdt 0.633.

7. Generalisering • Anta at aksjekursen er S0 og at det eksisterer en opsjon med bortfall om T hvis verdi er ƒ • Aksjekursen kan gå enten opp til S0u eller ned til S0d (u er multiplikator oppad > 1 og d er multiplikator nedad < 1) • Hvis aksjekursen stiger er pay off fra opsjonen ƒu og hvis aksjekursen faller er pay off ƒd

8. S0u ƒu S0 ƒ S0d ƒd Generalisering(Figure 12.2, page 269) En opsjon med bortfall på tid T,verdi er avhengig av akjekursen

9. Generalisering(forts) S0uD – ƒu S0dD – ƒd • Vi har en portefølje som er long D aksjer og short 1 opsjon • Porteføljen er risikofri og opptjener følgelig risikofri rente når S0uD – ƒu = S0dD – ƒd eller

10. Generalisering(forts) Porteføljeverdien på tid T er S0uD – ƒu Porteføljeverdien i dag er (S0uD – ƒu)e–rT Kostnaden ved å sette opp porteføljen er S0D – f Det følger at S0D – f = (S0uD – ƒu)e–rT Derfor har vi at

11. Generalisering, forts Ved å erstatte for D og forenkle får vi at:

12. Enkel binomisk modell Anta at vi har at u = 1.1, d = 0.9, r = 0.12, T = 0.25, fu= 1 og fd = 0

13. S0u ƒu S0 ƒ S0d ƒd p som en sannsynlighet p (1– p ) Det er nærliggende å tolke p og 1-p som sannsynligheter for prisøkning eller prisfall Verdien på en opsjon i en risikonøytral verdien er forventet payoff diskontert med risikofri rente

14. Risikonøytral verdsetting Når sannsynligheten for prisøkning og prisfall er p og 1-p er forventet aksjekurs på tid T lik S0erT Aksjekursen øker med risikofri rente Binomiske trær viser oss at vi kan verdsette en opsjon ved å anta at avkastningen på det underliggende instrument er risikofri og diskontere med risikofri rente Dette kalles risikonøytral verdsetting og er ett (men ikke det eneste) verktøyet for å verdsette aksjeopsjoner

15. Opprinnelig ekspå nytt S0u = 22 ƒu = 1 p S0 ƒ S0d = 18 ƒd = 0 (1– p ) • Siden p er sannsynligheten som gir at aksjeavkastning lik risikofri rente, kan vi finne p ut fra sammenhengen at 20e0.12 * 0.25 = 22p + 18(1 – p ) som gir atp = 0.6523 • Alternativt kan vi bruke formelen at

16. S0u = 22 ƒu = 1 0.6523 S0 ƒ S0d = 18 ƒd = 0 0.3477 Risikonøytral verdsetting Opsjonsverdien er e–0.12●0.25 (0.6523 ● 1 + 0.3477 ● 0) = 0.633

17. Forventet aksjeavkastning er irrelevant • Sannsynligheten for kursøkning eller kursreduksjon er irrelevant ved verdsetting av opsjonen • Forventet avkastning på den undeliggende eiendelen er generelt irrelevant ved verdsetting av opsjoner

18. 24.2 22 19.8 20 18 16.2 Et to-trinnseksempel (s. 274) Deter 3 mndmellomhverttrinn K = 21, r = 12 %

19. Verdsettingav en Call 24.2 3.2 D 22 B 19.8 0.0 20 1.2823 2.0257 A E 18 C 0.0 16.2 0.0 F • Verdi i node B er e–0.120.25(0.6523  3.2 + 0.3477  0) = 2.0257 • Verdi i node A er e–0.12 0.25(0.6523  2.0257 + 0.3477  0) = 1.2823

20. Generalisering • Vi har nå at tidstrinnene er Δt og ikke T får vi at

21. Eksempel put • Vi har en 2-årig europeisk put på en aksje hvis kurs nå er 50 og innløsningskurs er 52 • Vi antar to tidstrinn begge på et år (Δt = 1), hvor aksjekursen enten øker eller faller med 20 % i hver trinn (u = 1.2, d = 0.8). Risikofri rente = 5 % • Aksjekurs ved økning i begge trinn er 50  1.2  1.2 = 72, kurs ved en økning og en reduksjon er 50  1.2  0.8 = 48 og kursfall to ganger gir 50  0.8  0.8 = 32 • Dette gir videre at fuu = 0, fud = 4 og fdd = 20

22. 72 0 D 60 B 48 4 50 4.1923 1.4147 A E 40 C 9.4636 32 20 F Eksempel put Figure 12.7, page 277 K = 52, tidstrinn =1 år r = 5 %

23. Eksempel put Risikonøytral sannsynlighet p er gitt ved Vi har at

24. 72 D 60 B 48 A 50 E 40 C 32 F Amerikansk opsjon En amerikansk opsjon kan utøves før bortfall. Vi starter bakerst og spør oss selv om tidlig utøvelse er lønnsomt

25. Amerikansk opsjon Vi har som tidligere at p = 0.6282. Verdi av opsjonen ved node B er:

26. Amerikansk opsjon Verdi av opsjonen ved node C er:

27. Delta Delta (D) er forholdet mellom endring i aksjepris og opsjonspris Delta kalles også for sikringsforholdet Verdi på D varierer fra node til node

28. Hvordan velge u og d? Hittil har u og d vært gitt. I virkeligheten finnes u og d fra volatiliteten σ. Formlene er:

29. Eksempel Vi kan bruke samme eksempel som sist, hvor aksjekurs er 50, innløsningskurs 52 og risikofri rente 5 %. Vi antar at tid til bortfall er 2 år med 1-årige tidstrinn og at volatiliteten er 30 %. Dette gir at

32. Sannsynligheten for kursøkning