平方反比律

1. 平方反比律 PB04203018 刘焕钊 (Inverse Square Law)

2. 平方反比律的古往今来 • 由平方反比律得出的有趣结论 • 场的平方反比律及一些深刻结论 • 平方反比律的应用 • 平方反比律是金科玉律吗？

3. 1.平方反比律的古往今来 在目前我们所知的四种基本相互作用中，最熟悉最了解的莫过于万有引力作用和电磁相互作用了。奇妙的是，引力作用和静电相互作用间有一个共同的事实：它们都遵循距离的平方反比律，即相互作用的场强与距离的平方成反比。 按我们的经验来看，如此的 简单的数学事实似乎没有讨论的必要。但正是这个位居距离指数位置上的2（当然，如果你在考试中忽视了它而将其遗漏，其后果也是毁灭性的，因此无论何时都不可小瞧它），决定了我们的宇宙是如何形成构建的，以至平常我们觉得理所当然的事实，都来源于它。下面，让我们先来看看它的“前世今生”。

4. 1.平方反比律的古往今来 1.1 万有引力的平方反比关系 • 引力平方反比律是1665年到1667年Newton在家乡居住躲避瘟疫的时期发现的。当时他24岁左右，正值青春年华、才思敏捷的时代，他的引力思想正是在这二年间孕育、发展和形成的。后来Newton在谈到他在1666年间一系列重要发现时写道：“这一年里，我开始想把重力推广到月球的运行轨道上去，在求出了在内球面上一个旋转的小球对球面的压力后，我就从行星运转周期的平方同它们到太阳的平均距离的立方成正比的开普勒定律推导出：使行星保持在它们的轨道上的力必定与它们到旋转中心的距离的平方成反比。而后把使月球保持在它轨道上所需要的力和地球表面的重力做了比较，发现它们近似相等。所有这一切都是在1665年和1666年瘟疫流行的年代里发现的。那时我正处于发明创造的青春年代，并且比任何时候都更关心数学和哲学。”

5. 1.平方反比律的古往今来 • 行星绕日运动的轨道究竟是什么样的，这是当时科学界所关心的问题。1679年，Hally与Wren也按照圆形轨道由Kepler第三定律和Huygens在1673年发表的向心力的公式，证明了作用于行星的引力与它们到太阳的距离的平方成反比。但是他们不能证明行星在椭圆轨道上也是如此。这年10月24日， Hooke在给Newton的信中，提出了引力反比于距离的平方的猜测，并问道：如果是这样，行星的轨道将是什么形状？Hooke给Newton的信重新激起了Newton对动力学的兴趣，使Newton把他的注意力转到椭圆运动问题。 • 1684年1月，Wren、 Hally和Hooke三位当时英国科学界著名人士在伦敦相叙，讨论行星运动的轨道问题。胡克说他已通晓，但拿不出计算结果。于是Hally专程去剑桥请教Newton。 Newton告诉Hally他在1679年做了行星在椭圆轨道上时引力平方反比律的证明，断然地说，行星绕日轨道是个椭圆，但手稿压置5年之久，一时找不到，应允重新计算，约期三个月后交稿。 Hally按约再度访剑桥， Newton交出一份手稿《论运动》， Hally大为赞叹。

6. 1.平方反比律的古往今来 • 在《原理》第三篇〈宇宙体系〉中， Newton精辟地表达了万有引力定律：“一切物体所具有的引力正比于它们各自所包含的物质的量，与距离的平方成反比。” • 1685年， Newton在《原理》中提到引力是物体的普遍属性时写道：“如果依靠实验和天文观察，普遍发现地球周围的所有物体都被吸向地球，而且这种吸引正比于这些物体各自所含的物质之量，月球同样也按其物质之量而被地球所吸引；另一方面，我们的海洋又被月球所吸引；所有行星都相互吸引，而且彗星也以同样方式被太阳所吸引；那么，根据这条法则，我们必须普遍承认，所有物体都天然具有相互吸引的本性。”

7. 1.平方反比律的古往今来 1.2 静电力的平方反比关系 • 最早提出电力平方反比定律的是Priestley 。 Priestley的好友富兰克林曾观察到放在金属杯中的软木小球完全不受金属杯上电荷的影响, 他把这现象告诉了Priestley, 希望他重做此实验。 1766年, Priestley做了富兰克林提出的实验, 他使空腔金属容器带电, 发现其内表面没有电荷, 而且金属容器对放于其内部的电荷明显地没有作用力。他立刻想到这一现象与万有引力的情况非常相似。因此他猜想电力与万有引力有相同的规律, 即两个电荷间的作用力应与他们之间距离的平方成反比。在1767年Priestley写了一本《电的历史和现状》。 • 1769年, 爱丁堡的John Robison 首先用直接测量方法确定电力的定律, 他得到两个同号电荷的排斥力与其距离的2.06次方成反比。他推断正确的电力定律是平方反比律, 他的研究结果是多年之后(1801年)发表才为人所知。

8. 1.平方反比律的古往今来 • 1772年英国物理学家 Cavendish 遵循Priestley的思想以实验验证了电力平方反比定律。他将一个金属球形容器固定在一绝缘支柱上。用玻璃棒将两个金属半球固定在铰链于同一轴的两个木制框架, 使这两个半球构成与球形容器同心的绝缘导体球壳。用一根短导线连接球形容器和两个半球, 利用一根系于短导线上的丝线来移动导线。Cavendish先用短导线使球形容器与两半球相连。用莱顿瓶使两半球带电, 莱顿瓶的电位可事先测定, 随后通过丝线将短导线抽 去。再将两半球移开, 并使之放电。然后用当时最准确的木髓球静电计检测球形容器上的带电状态。静电计并未检测到球形容器上有任何带电的迹象。他用实验和计算的方法得出电力与距离成反比的方次与2的差值不大于0.02。Cavendish的实验得出的定量结果与十三年后(1785年) Coulomb用扭秤直接测量所得的结果的准确度相当，但他的研究成果都没有发表。是一百年后Maxwell整理 Cavendish的大量手稿时才将上述结果公诸于世的。

9. 1.平方反比律的古往今来 • 最为著名的是法国物理学家Coulomb的研究工作。Coulomb曾从事毛发和金属丝扭转弹性的研究, 这导致他在1777年发明了后来被称为Coulomb秤的扭转天平或扭秤。 1784年Coulomb发表论文, 介绍他发现的扭转力与线材直径、长度、扭转角度以及与线材物理特性有关的常数之间的关系，还介绍了用扭秤测量各种弱力的方法。同年，Coulomb响应法国科学院有赏征集研究船用罗盘，他的科学生涯开始从工程、建筑转向电、磁的研究。1785年Coulomb设计制作了一台精确的扭秤, 用扭秤实验证明了同号电荷的斥力遵从平方反比律,用振荡法证明异号电荷的吸引力也遵从平方反比定律。他的实验误差偏离平方为 4×10－2 。Coulomb的研究工作得到了普遍的承认, 而平方反比定律也就以Coulomb的名字（Coulomb`s law）来命名了。

10. 2.由平方反比律得出的有趣结论 2 . 由平方反比律得出的有趣结论 了解平方反比律的个人档案，在进行具体讨论之前，还是先来看一个关于平方反比律的有趣结论吧（好象已是众所周知的结论，不过并不影响它的趣味性）。

11. 2.由平方反比律得出的有趣结论 r1 ds1 锥顶 ds2 r2 以球壳内部一点为顶点做两个锥面，此锥面就在球壳上割下两个曲面。当锥面所张立体角为一微元dΩ时，就得到两个面元ds1, ds2；设r1,r2分别为ds1, ds2到锥顶的距离，则有： • 对于作用量（质量或者电荷）均匀分布于外表面的球壳，求其内部的场强分布 设球表面作用量的密度为σ，考虑ds1, ds2在锥顶处的场强：

12. 2.由平方反比律得出的有趣结论 r1 ds1 锥顶 ds2 r2 又dE1，dE2方向相反，由场的叠加性可知， ds1, ds2在锥顶处的和场强为零。 再根据作用量在球壳上的几何对称性，可得球壳内部场强处处为零！ 之所以有这种结果，恰好是因为平方反比律与欧氏空间的几何性之间的默契。它们共同为不愿受作用的粒子构建了一个精巧的“避难所”。

13. 3.场的平方反比律及一些深刻结论 汇 源 3. 场的平方反比律及一些深刻结论 现在，我们进入正题，来更深刻地认识平方反比律。 首先，我们先借来一组模型，这就是流体形成的流速场。 在一般的流速场中，都有一个流体流出的“源”和流入的“汇”。而从“源”流向“汇”的空间中，是没有流体的积累和耗散的。这样，在无源空间中作一张曲面，则流入该曲面的量应同流处的量精确地相同。

14. 3.场的平方反比律及一些深刻结论 类似的，我们来讨论相互作用场。 为进行对比，设场强： （K是与作用量有关的常数） 由场论知识，对作用源以外的空间，场的散度为： 在这里，当且仅当n=2，即平方反比律条件下，才有场的散度为零，而我们所讨论的不是场的作用源空间。设K为正，那么如果 n>2，则处处都是“汇”；如果n<2，则处处都是“源”。这样的情景不仅逻辑奇特得无法想象，而且与我们的守恒观念严重的违背！上帝之所以将2放在距离的指数位置，而不是3、4、4.5，看来似乎暗含了什么深刻的道理呢。

15. 3.场的平方反比律及一些深刻结论 r R 现在再来看看真正的“源”和“汇”处的情况。 对于平方反比律场 ，用一个任意曲面将作用源 包围起来。此外，我们总可用一个更小的包围在该曲面之内的球面来包围作用源，使作用源居于球心。

16. 3.场的平方反比律及一些深刻结论 r R 利用与第二节相似的方法，我们得到： 故： 也就是说，从固定源内流处（流入）的流量是一固定常量。 综合上面这些讨论，就可知道，平凡反比律场与流速场等等这种物质场是极其相似的。这恰好也说明了平凡反比律场具有某种物质性。

17. 3.场的平方反比律及一些深刻结论 另外，由场论知识，平方反比场的旋度： 也就是说平方反比场不是涡旋场，而是有心力场。 再者，我们取的空间是一个“曲面单连通区域”，因此，平方反比场也是有势场！我们之所以能描绘出不相交的力线，能够讨论场的势与其内被作用体的势能，根据就在于此。

18. 4. 平方反比律的应用 4. 平方反比律的应用 平方反比定律假定的基础是空间的均匀性和各向同性。因此诸如光的照度、水向喷洒、均匀固体中热的传导等自然现象都服从平方反比关系。如果在传播过程中有干扰的媒质，例如有一透镜置于光路中，就会使光的分布发生畴变，导致出现各向异性。 基于上述性质，平方反比律被广泛应用于很多领域，比如影音技术，辐射研究等等。 一个很典型的例子是天文学家将其用于宇宙大尺度的距离测量。

19. 4. 平方反比律的应用 天文学家认为 Type Ia 超新星是白矮星从伴星吸积气体，在质量达到融合反应临界点后爆发所形成，在爆炸数秒钟内形成了氧、碳等其它重元素。所有 Type Ia 超新星爆发的物理性质均类似，所以本质亮度也相同，根据平方反比律，可以通过观测到的超新星亮度来计算出彼此之间的距离。由于具备这项特点，所以此类超新星可作为测量宇宙大尺度的距离指针。 　　大约五年前，天文学家从遥远星系Type Ia超新星的数据分析中发现宇宙正在加速膨胀，目前天文学家是以神秘的黑暗能量斥力来解释这项惊人的事实。

20. 5.平方反比律是金科玉律吗？ 5. 平方反比律是金科玉律吗？ 尽管平方反比律十分的优美精致，使得人们不愿对它作出任何的质疑，但是有头脑的物理学家不会让自己沉浸于理论的框架之中。因为还有一个更让人崇拜的“上司”，这就是客观事实。 我坚持唯物主义！！

21. 5.平方反比律是金科玉律吗？ Inverse square law 平方反比定律的检验 *电磁学方面* 按照近代量子场论，平方反比律与光子静止引力质量mγ是否为零有密切的关系。mγ是有限的非零值还是等于0，有本质的区别，并且会给物理学带来一系列的原则问题。现代物理理论均以mγ=0为前提。 • 如果mγ≠0，那么： • 电动力学的规范不变性被破坏，使电动力学的一些基本性质失去了依据； • 电荷将不守恒； • 光子的偏振态有2变为3； • 黑体辐射公式要修改； • 会出现真空色散，即不同频率的光波在真空中 的传播速度不同，光速不变性原理遭到了质疑； • 电磁力将不会是长程力，平方反比律应有偏差， 即f∝r -（2±δ），δ≠0…… 这样，我们不得不忙于修补各种理论。

22. 5.平方反比律是金科玉律吗？ 平方反比定律的检验 现代物理实验用天体物理的磁压法得出的mγ的最强限制为mγ＜10-60克，既不能否定也不能肯定光子有引力静止质量。弱相互作用是存在于除光子外所有基本粒子之间的一种短程作用。光子不参与引力相互作用，而参与电磁相互作用，存在于一切带电粒子或具有磁矩粒子间的电磁相互作用过程之中的事实，说明光子的引力静止质量为0，能量由电磁质量携带，这样便避免了狭义相对论中光子的奇点问题。光子能量 h γ =mc2，光子的电磁动量为mc。现代物理学认为光子不带电荷是错误的，只是其电荷的电量非常小，现代物理学的实验观察不到。

23. 5.平方反比律是金科玉律吗？ 平方反比定律的检验 *万有引力方面* 　　 物体间的引力反比于其间距离的平方是引力的基本属性。在当前新发展的一些理论中，预言有一些新的弱作用粒子。由于它们的存在，有可能破坏这一基本属性。检验平方反比律不仅能进一步确定引力规律的精确程度与适用范围，还能判断某些新理论的真伪，影响着整个物理学的发展。人们还期待这一研究能对物理学统一的途径提供有益的线索与启示。虽然引力的平方反比律与库仑定律相似，但是对引力规律的检验要比对库仑定律检验困难得多。除了引力很弱，难以测量得很精确以外，由于尚未发现有负质量，环境引力的干扰很难屏蔽。因此，降低或消除干扰成为检验引力平方反比律的关键 。　

24. 5.平方反比律是金科玉律吗？ 平方反比定律的检验 目前，在较大的距离上，例如在太阳系尺度范围内，引力的平方反比定律已经有了较好的证据。通过对各行星、宇宙飞船、人造卫星以及火箭等的运行轨道的研究证明，平方反比定律中的距离r2±δ的δ精度已达到了10-8。然而在较小的距离上，例如1米以下到几厘米，δ的精度目前只能达到10-3。 近距离的实验更具有较大的困难：首先与小物体间的距离越小，引力就越弱，难以准确测量；其次，在近距离下，引力干扰相应加大，在引力不可屏蔽的情况下，实验结果的可靠性就成了问题。澳大利亚的地球物理学家斯塔西等人，通过测量几千米深矿井中的地球引力，再与地面上的地球引力做比较，来判断近距离下的平方反比定律。然而，这种方法需事先假定地球是一个匀质球体或椭球体，从他们得到的实验结果来看，很难说明是平方反比律不准确还是地球本身是非匀质的。

25. 5.平方反比律是金科玉律吗？ 根据霍金的理论： 如果存在额外维，我们的时空应是１０维或１１维时空内的一张膜。按无边界条件，这张膜应可看作由无创生的一个４维球形泡——‘果壳’。与前面提到‘果壳’不同，由于额外维的存在，这里的‘果壳’不再是空心的壳而是一个实心壳，创生之初的这个虚时的实心壳将按前面已提到的规律演化下去，成为我们的观测到的宇宙。

26. 5.平方反比律是金科玉律吗？ 按引力理论的牛顿近似，引力与距离的平方成反比。不难看出，这一平方反比律是与空间的维数为３密切相关的。如果存在额外的空间维，平方反比律就要修改，其结果将是引力随距离的增加比平方反比要衰减得快些。天文观测与当今的微引力实验表明，偏差如果存在，只可能存在于几英寸范围内，看来进一步短距离内的微引力实验有可能对额外维或 Ｍ理论给出明确结论。

27. 5.平方反比律是金科玉律吗？ 膜世界理论可给予暗物质一个看似想入非非却是言之成理的解释。膜世界在膜理论中不是唯一的，如果认为一切非引力信号只能局限在一张膜上传播，那么，一张膜世界内的观测者，通过借助于电磁信号的所有天文观测手段是探测不到另一个膜世界的存在的；另一个膜世界内的所有物质就都变成“暗”的物质了。从这个意义上可说，相对于我们的膜世界而言，另外的膜世界是影子膜世界，看来只有通过引力才能探测到这种影子膜世界的存在。

28. 平方反比律所带给我们的远不止我上面提到的这一点点，有关它的深刻理论，必将在不久的将来为人类所认识。平方反比律所带给我们的远不止我上面提到的这一点点，有关它的深刻理论，必将在不久的将来为人类所认识。 谢谢！！

29. 参考资料： 1.力学. 杨维纮. 2004. 合肥. 中国科技大学出版社 2.电磁学. 赵凯华 陈熙谋. 2004. 北京. 高等教育出版社 注：一些网络资料来源未能及时记录，抱歉。