MATEMATICA FINANZIARIA

MATEMATICA FINANZIARIA Docente: prof. Filippo Petroni fpetroni@gmail.com

Principali regimi finanziari • Interesse semplice (sconto razionale) • Sconto commerciale (capitalizzazione iperbolica) • Interesse (e sconto) composto

Interesse semplice • Nel regime dell’interesse semplice l’interesse prodotto è proporzionale al capitale investito ed alla durata dell’investimento => I(t)=αCt dove α è una costante >0 Posti C=1 e t=1 => I(1)= α, quindiα è l’interesse prodotto nell’unità di tempo da un capitale unitario => è un tasso d’interesse e quindi lo indicheremo con i => I(t)=iCt Dove i è il tasso d’interesse periodale riferito all’unità di misura usata per t

Interesse semplice • In funzione del tasso d’interesse periodale il tasso d’interesse corrispondente ad una operazione di durata t sarà i(t) = i t • La legge di formazione del montante sarà M(t)=C+I(t)=C+Cit=C(1+it) • E quindi il fattore di capitalizzazione r(t)=1+it

Interesse semplice • Nel regime dell’interesse semplice interesse I e montante M hanno un andamento lineare rispetto al tempo => M=M(t)=C(1+it) I=I(t)=Cit C 0 t

Interesse semplice • L’interesse I(t) risulta non soltanto proporzionale al capitale impiegato C ma e’ anche funzione lineare di t e del tasso periodale • I(i,C,t1+t2) = iC(t1+t2) = iCt1 + iCt2 = I(i,C,t1)+I(i,C,t2) • In generale I(i,C,kt)= k I(i,C,t) • I(i1+i2,C,t) = (i1+i2)Ct = i1Ct + i2Ct= I(i1,C,t)+I(i2,C,t) • In generale I(ki,C,t)= k I(i,C,t)

Interesse semplice • Tassi d’interesse equivalenti nel regime dell’interesse semplice: • Se si cambia l’unità di misura del tempo cambia anche la determinazione del tasso periodale d’interesse i=it • Tassi periodali relativi alla stessa legge ma con riferimento a periodi diversi vengono detti equivalenti • Se tassi equivalenti vengono applicati allo stesso C per lo stesso tempo t danno luogo allo stesso interesse I • Es. is=ia/2

Interesse semplice • Tasso di sconto e fattore di attualizzazione • Il tasso di sconto d per una operazione di durata t sarà: • Possiamo scriverlo in termini del tasso periodale:

Interesse semplice • Posto K il capitale disponibile al tempo t possiamo scrivere le relazioni per lo sconto D(t) ed il valore attuale P(t)

Interesse semplice • Nel regime dell’interesse semplice lo sconto non ha un andamento lineare ma va come il rapporto tra due funzioni lineari => è detto sconto razionale K D=D(t) P=P(t) t

Interesse semplice • Anche per il tasso di sconto d come per il tasso di interesse i, il valore dipende dall’unità di misura utilizzata per il tempo => d relativi ad unità di tempo diverse si ottengono da:

Interesse semplice • Capitalizzazione degli interessi • Nella pratica l’interesse semplice si applica solo per brevi periodi • L’investitore ha interesse a ridurre al minimo la durata dell’investimento e reinvesti gli interessi maturati • Un’operazione di questo tipo prende il nome di “capitalizzazione degli interessi” => gli interessi vengono trasformati in capitale

Interesse semplice • Abbiamo visto che per una operazione di durata t il montante prodotto è dato da C(1+it) • Supponiamo di interrompere l’operazione in un istante s<t, incassare il montante C(1+is) e reinvestirlo per il tempo residuo t-s =>

Interesse semplice Capitalizzazione degli interessi nel punto s<t M C s t

Interesse semplice • E quindi conviene fermare l’operazione e reinvestire il “nuovo” capitale a disposizione • Possiamo verificare che conviene dividere il tempo in intervalli uguali s=t/2 trovando il massimo della funzione

Interesse semplice • Se è possibile dividere l’intervallo di tempo n-1 volte il vantaggio maggiore si ha per n intervalli uguali =>

Interesse semplice • Se considero n molto grande fino a prendere il limite per n che tende ad infinito ottengo: • Quando n tende ad infinito il montante M(t)=eit=> cresce esponenzialmente. • Prende il nome di capitalizzazione continua

Sconto commerciale • Consideriamo il regime finanziario in cui d(t) = d t Con d(1) tasso di sconto periodale costante • D(t)=K d t • v(t) = 1 – dt • P(t)= K v(t) = K (1-dt) In analogia con il caso precedente questo regime finanziario è anche detto dello “sconto semplice” o “interesse anticipato semplice” o “sconto commerciale”

Sconto commerciale • Notiamo che in questo caso è lo sconto ad avere un andamento lineare con il tempo D=D(t)=Kdt K P=P(t)=K(1-dt) 0 t Avendo posto P(t)>0 esite un limite di applicabilità di questo regime => t≤1/d

Sconto commerciale • Dalle definizioni appena date possiamo trovare il fattore di capitalizzazione r, il tasso d’interesse i =>

Sconto commerciale • Allo stesso modo troviamo montante M(t) e interesse I(t) => Situazione simmetrica rispetto a quella dell’interesse semplice => legge di capitalizzazione iperbolica

Sconto commerciale M=M(t) I=I(t) C 0 t 1/d

Sconto commerciale • Capitalizzazione degli interessi • In questo caso la capitalizzazione degli interessi maturati è svantaggiosa per l’investitore, vediamo perché: • Questa volta la seconda equazione è minore della prima, infatti invertendo

Sconto commerciale • I tassi equivalenti si ottengono da d(t)= d t esattamente come nel caso dell’interesse semplice

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