第８章：流れの不安定擾乱について

1. 重力波に伴う温度勾配が乾燥断熱減率より大きい重力波に伴う温度勾配が乾燥断熱減率より大きい -不安な雲のうかび出て ふたたび明るく晴れるのは- 第８章：流れの不安定擾乱について 東向き擾乱 波数1 断熱線 重力波不安定 -傾圧不安定- 順圧不安定 65km PV- 慣性不安定- Kelvin-Helmholz不安定 重力波生成にKH不安定が関係しているらしい 慣性不安定のシグナル

2. ８ー１：中層大気中の傾圧不安定で起こっている例８ー１：中層大気中の傾圧不安定で起こっている例 東西波数３の２日波、南半球の夏の中間圏界面付近の擾乱かPlumb(1983, J. Atmos. Sci.), Plumb et al. (1987) 振動数 20S 高度 １月 西向き伝播 波数 Wu et al., 1996, J. Atmos. Sci. による、MLS温度衛星データからの、s=3, 2-day wave、これは西方伝播である。 アデレード（35S, 138E）でのレーダー観測（１点観測）で、東方向、北方向の風の成分

3. 温度 時間 ０．０４６ｍｂ シグナルの各高度での時間-緯度断面図 Wu et al., 1996, J. Atmos. Sci. 92年12月-93年3月（南半球夏）、構造が夏半球で赤道域まで広がっている 温度振幅の緯度-高度断面図、DAY 502は１月終わり

4. 境界条件をあたえる： 南北には壁をおく事にする。剛体壁で南北風がないとすれば擾乱について、 大気擾乱の生成メカニズムの１つの傾圧不安定を線形不安定論で考える。　 -大気にとってはかき混ぜ過程みたいなものか --＞物質分布にも絡むであろう？- 方程式は準地衡風方程式を用い、基本の場（高さと緯度の関数）が擾乱を成長させるか？を議論してみる。ここで Plumb(1983)はこの擾乱を傾圧不安定で理解： 鉛直方向は、地表ではw=0にしよう。ただしPVの式はwを含んでいないので、熱力学の式を変形する。 前に熱力学の式は の式をもちいる。ここで、 であった。これの線形での流線関数表現では、 これまでたびたびおこなってきたように、東西平均量（基本の場）とそれからのずれを考える。 擾乱についての線形の方程式は以下のようになる。 この式でw=0とおいて、 ここで、 である。　無限遠では　　　が有限というような境界条件をおこう。 Ψ’を上の境界条件のもとに解くこと（例えば固有値問題にする）が仕事になる。 ７章の前半では下端での強制問題であった。

5. 境界条件を使うと 擾乱について ここで地球流体力学の復習：不安定問題の必要条件 の形を仮定すれば、方程式は 下部境界条件　　　　　　　　　　　　　　を代入して ただし　　　である。境界条件　　　　　　　　 で、無限では が有限の境界条件。 南北は　　　がゼロ。 上式にpsi *をかける（擾乱の２次の量をつくる） となる。不安定の必要条件として（不安定なら cが復素になるからそのときみたすべき式は）、 左辺は実だから上式の虚部は 部分積分をして変形する これが不安定の必要条件である。不安定のとき　　　はnot zeroだから［ ］内がゼロにならないといけない。z＝０での境界条件が関係しないとき（内部jetの不安定と呼ばれる、中層大気の不安定）、基本場のPVの南北微分が符号を変えることが、不安定の必要条件になっている。 鉛直と南北に積分し（ dydzを省いてある ）、

6. その時の固有関数として、下図のような構造の波が不安定になっている。波長9400ｋｍ（波数３程度）、南北には5000ｋｍのsinモードを仮定してある。Geopotential振幅は80kmあたりが最大になっている。熱フラックスの大きいところは、PVの南北微分が符号を変えているところに対応している（ｃ図）。その時の固有関数として、下図のような構造の波が不安定になっている。波長9400ｋｍ（波数３程度）、南北には5000ｋｍのsinモードを仮定してある。Geopotential振幅は80kmあたりが最大になっている。熱フラックスの大きいところは、PVの南北微分が符号を変えているところに対応している（ｃ図）。 Plumb(1983)による固有値問題での説明 東西風の鉛直分布と　　　　　　　　　　 を示す。Potential Vorticity 勾配が符号を変える（不安定の必要条件はみたしている）。 位相 Height場 温度 夏半球の中層大気では東風になっている。

7. Harris and Vincent, 1993, JGRでは赤道域2N,157W, Chrismas島で２日波を解析している。かれらによると、このシグナルは東西波数k＝３のRossby-重力波と言っている。MFレーダーによる観測 観測の別例：　 ２日 南北風の２日あたりにシグナル

8. 波数３の２日波と思われるモードのprimitive方程式による計算。Salby, 1981, J. Atmos. Sci.、 equinoxでは見えない 計算のためのsolstiseでの基本場 計算された s=3 のRossby重力波、夏半球中間圏あたりに大きな振幅がある。自由振動として計算されたが、基本風のために不安定になっているのであろう。　Intrinsic frequency,振幅、位相の図 計算されたエネルギー応答の大きさ(solstice->dash)

9. 温度 南北風 GCMの中の２日波 波数３の擾乱の緯度-高度断面図、RG波のように、赤道で南北風が大きい（b）、夏半球で振幅が大きい UGAMP GCM (T21) の７月１日の東西平均風、Norton and Thuburn, 1996, G. R. L. 約65km（3000K), 85km(7000K)で、波数３の構造が見える 北半球 ２日波の赤道v振幅の時間変化、実線が波数３でdottedが４

10. 最近の観測から：Garcia et al., 2005, JAS 2002, 1-2月, 40Sで夏、k=3, 2日のところに（西向きに対応）温度シグナル、Garcia et al., 2005, JAS、赤線はc=70m/s 鉛直緯度の構造、夏6-7月、2002 北半球（40N）夏6-7月、2002年のスペクトル

11. Nimbus 4 and 5 のradianceから求めた s=1 波のシグナル。南半球の冬で東方伝播（E）の４日あたりのところにシグナルが見える（７０Sあたり）。Venne and Stanford, J. Atmos. Sci., 1982 ８−２：成層圏における順圧不安定の例（４日波） 西方伝播 東方伝播 4日波の鉛直位相（△印）、位相がたっているようである。（stationary惑星波のような鉛直伝播性ではないよう）。 1979年8月（南半球の冬）の平均東西風とPotential Vorticity の緯度勾配、Hartmann, 1983, J. Atmos. Sci. 高度45kmあたりの70S近傍にpotential vorticity gradientの負の領域がみえる。 順圧線形不安定で擾乱生成と言われているよう

12. 4日波解析の別例（Lawrence and Randel, 1996, JGR） 高度場の振幅 影は負のpotential vorticity gradientの領域 ４日波 運動量輸送が南北的 平均東西風の様子、４日波の高度振幅、南北運動量フラックスs、EP-fluxと発散、1977年9月

13. 最近の４日波の衛星観測、Garcia et., 2005, JAS 東進４日波に対応した温度波の振幅と位相の緯度高度図、2004年1-2月（北半球の冬の解析） 東向き 波数１のスペクトル、東進4.3日にピーク、2004.1-2月

14. 順圧傾圧不安定の補足：アフリカ波動、Hall et al., JAS, 2006 解析によるアフリカ波動の水平構造 1979-2003, JJA, 15S-15N平均、OLR対称成分 線形primitiveの計算で求められてモード、dampingがない時の成長率は0.25/d、下層のdampingを入れると中立、周期5.5days, 水平波長3500km、順圧傾圧不安定のみではinitiationとかintermittenceは説明できない、有限振幅の初期擾乱が必要と書いてある。 平均的なOLRと700mbの東西風

15. potential vorticityとして以下のような式を書いた。 ８−３：中緯度での対流圏界面の高さについて （１つの考え）　　　準地衡風PVの混合を使って 基本場のPVとしては（圧力座標で、しかも基本の風としては鉛直成分しかないとすると）、 である。ここで、 基本のPVの南北勾配が０になるように、対流圏中緯度の擾乱が運動をすると仮定（線形不安定の必要条件であるQが符号を変えることと関係しているであろう）　ー＞不安定擾乱ができ、それが平均場をかき混ぜ、結果としては平衡としてそのようになると思う または 地表からtropopauseまでp（圧力）で積分すると、上の式から 基本場についての温度風の式

16. から 　　　　　　　　　　　　　　を思い出し、いまp-座標だから、以下のようになる。 または、 ＜ー圏界面の高度での pTが温位の南北微分に依存 式を用いて中緯度Tropopauseの高度を求めたものが図の中緯度領域の部分（点線）である。Held, 1982, J. Atmos. Sci. GCMでの　　。下層は小さいが、中緯度圏界面あたりは大きな値をもっている。上のはなしはうまくないようである。　Thuburn and Craig, 1997, J. Atmos. Sci.

17. Hayashi et al. (2001)から ８—４　慣性不安定 緯度 経度 赤道域の50kmあたりに鉛直波長10km程度のパンケーキ構造がみえる。これは、慣性不安定でつくられていると言われている。この問題を考察してみよう。 f−平面、静力学平衡、ブシネスク流体で、東西方向には一様と仮定した擾乱についての式は（ただし、基本場の鉛直shearは一定） （赤道β面での議論はDunkerton, 1981, JAS参照） 熱力学の式をy-微分 x-方向の運動方程式を z-微分して fをかける。

18. ２式を足すと、 のようになる。赤道からすこし離れたところで、　　 　　　　　　　　ならば、第３項が負となり、全 体として負になる可能性がある。このとき、不安定になるであろう を用いて、 簡単には： を用いて、 式を用いて、Hayashi et al. (2001)の観測で求められた慣性不安定であろう条件をみてみよう。 最終的に、 上式の第２項の制限がつよい。例えば、f=10-5 N=2x10-2 Λ=10-3 Ly=8000km (半波長 4000km）Lz=5km=30m/s/1000km で負の値をもつ。（N2 l2を小さくして、第３項を大きく） 　　　　　　　　　　　　の波形を仮定すると、 補足：慣性不安定の条件は f (Potential Vorticity) < 0となる

19. GCMでの慣性不安定：Hunt, 1981, JAS、15zonal waves,４０点南北、５４層、モデルで１月の条件である、このモデルは観測に比べ風速が強い 北半球 慣性不安定と２日波との関係 北半球でシグナルあり、ノイズではないと言っている Orsolini et al. の例、QJRMS, 1997 1mbあたりの水蒸気分布、15 Jan, 17 Jan, 25 Jan, 92年、南半球はk=3の２日波。北半球は細かいeddyあり

20. PVの緯度経度分布図、1mb（上）, 0.68mb（下） 1mb,平均東西風の時間変化、各年のDec->Feb、東風の北半球へのpenetration、dash=U=0, 白bold=dQ/dy=0, 赤点が2日波のpeak, greenがinertial eddy 不安定の2日波--＞惑星波動の赤道域への伝播--＞慣性不安定--＞翻って夏の東風で２日波を作りやすいようになっていると書いてはあるが？

21. M1を2に保存的にもっていくと 絶対（慣性系からの）運動量は 補足： M2を1に保存的にもっていくと 絶対渦度なる量は慣性不安定の条件によって重要な量である。 M2, M1をもとの式で表すと上の式は 移動によるzonalな運動エネルギーの変化量は もともともっているzonalな運動エネルギーが減少することで、南北の変位が増加するであろうから（図のようになっている） 図では　　　　　　　　の状況が示してある いま図のように、１、２にある絶対運動量は さてMは保存量として、

22. だからM一定面における傾きは、 一方、温位一定面における傾きは、 この図を使って（pをMに、xをyに置き換える）、 図から、等温位面の傾きが大きいから を使って だから 上の表記を用いると、不安定の条件は以下のよう： 上の不安定の条件をPotential 渦度で表わす、PVが負のとき不安定

23. でおきる不安定 Kelvin-Helmholtz 不安定の線形問題を解いてある例： 赤道レーダ( 0.2S, 100.32E)で観測されたK-H不安定、Yamamoto et. al., GRL, 2003, 熱帯圏界面、2001年11月。不安定の条件は満たしているが、結果がごちゃごちゃでよく分からない。上から鉛直流、東西、shear, Ri。せまい範囲でシグナルが強い、ゆっくり時間的にゆれている＜ーケルビン波の存在のよう ８ー５：K-H不安定 11月 Dash:東西風dot-dash:シアー 天気、１９９２、No. 1の巻頭にのっていたものである。Takayabuによる。きれいな波状の雲パターンが見える。水平スケールは３０００ｍ程度。この波動擾乱はKelvin-Helmholtz不安定によって生じたらしい、１９９０年１２月２３日　

24. K-H不安定が起こったときの風と温位の鉛直分布。実線が風で破線が温位である。Takayabu, 1992, J. Met. Soc. Japanより。 K-H不安定が起こったときの大気状況 地表天気図(KH書かれたところに発生） 高層天気図（stipple領域はcold frontの西側の冷たい空気を示す）、35Nでの経度-高度図 Richardson数（実線）とshearの鉛直分布（2.5kmあたりにRi＜0.25のところがある）

25. ３つのモードの特徴 線形の方程式（２次元）を解いてみる： z=0 z=5000mで鉛直流=0の境界条件で固有値問題をとく。 線形解析の結果：Takayabu(1992, J. Met. Soc. Japan) 、（基本流が複雑なので数値解に頼らざるを得ない）。 最も成長率の大きい３つの不安定解を求めている。しかし実際の擾乱によく似ている解は２番目のmode らしい。なぜ１番目でないのかわからない。とにかく２番目のmodeについて、波長が１６２０ｍ（観測では２７００ｍ）、位相速度１６ｍｓー１（観測でも１６ｍｓー１）、最大振幅の高さは２５５０ｍ（観測で２５６０ｍ）、振幅が e -倍になる時間は３４０秒である。 第２モードの鉛直分布

26. Ferretti et al. (1988, Met. Atmos. Phys.) 別例：K-H不安定によって生成された重力波の観測 圧力偏差のパターンの時間変化、波波している（１時間ごとの図） 1979, Aprilの地表、850mb, 300mbの大きな場の様子

27. 固有値問題も解いてある。 ２００ｋｍ水平スケールで３時間くらいの周期の波、この場合スケールが大きい？ 基本場の状態（10ｋｍくらいの高度でRiの小さいところあり） モードの鉛直構造、鉛直変位と鉛直速度

28. 重力波： ８ー６：重力波のbreakingのはなし を考える。ここでWKB的に表現すると、 と表される（西風の中で相対的に東の時）。ここで、 を用いると、 のようになる。 　　は　　　　　　　の振幅を表す。 波が鉛直伝播して、波の振幅が大きくなり（　 　　　　　　　　　　　の形になっているので）、対流不安定を起こすようになるであろう。そのとき、断熱温度勾配 Lindzen, 1981, J. G. R.から をみたすとき、対流不安定が起きるであろう。左辺の始め２項が平均状態であり、第３項が波にともなう温度勾配を示している。ここで、 重力波に関する熱力学の式から、 と表しておこう。

29. 温度擾乱は 鉛直微分して だから（mの方が効くとする、そんな波がよく観測されている）、対流の起こる高度は をみたすから、　　 の式で波が壊れる高度、breaking levelが決める。 この考え方の１つの特徴は拡散係数が内部的に決まることであろう。 z＞zbでは波のbreakingにより拡散されるであろうから、以下のような形になるであろう。 ここで （c tilde の中にdampingの項が入っている） また前のように（WKB 的に）、 だから のように表されるであろう。

30. z＞zbで miの２つの式から拡散係数はz＞zbで で前のzbの式を用いると上式は、 ｚで微分すると、 整理すると -> 物質の拡散にもつかう  mi が（対流不安定的に） のようになる。（数100kmの波長が仮定）

31. 補足例：赤道域、中間圏温度逆層の上の乱流：Lehmacher et al., GRL, 2006 Marshall Island, Kwajalein Atollでのロケット観測、2004年9月19日　 断熱減率 重力波のbreakingで乱流が起きるのであろうと提案されている。　 93-102Kmの範囲でN2がゼロに近い 電子密度の鉛直スケールスペクトル