DERET TAK HINGGA

1. DERET TAK HINGGA RETNO ANGGRAINI

2. BARISAN • Barisan adalah fungsi yg domainya himpunan bilangan asli Contoh : a1,a2,……,an ditulis {an} • Barisan dikatakan konvergen jika : - Limit an = ada n ~ • Barisan yang divergen jika Limit an = ~ n ~

3. DERET • Deret adalah jumlah dari barisan ~ ∑ an disebut deret n=1 • Jumlah parsial ke n dari deret (Sn) merupakan jumlah deret hingga suku ke n Sn = a1 + a2 +a3+……+an

4. DERET TAK BERHINGGA • Deret tak berhingga adalah jumlah dari suatu barisan dengan suku ke n adalah sampai pada batas yang tak terhingga ~ ∑ an disebut deret tak berhingga n=1 karena suku ke n yang diinginkan sampai batas tidak terhingga

5. Deret konvergen dan divergen • Deret konvergen jika barisan {Sn} dari jumlah parsial ke n adalah konvergen • Deret divergen jika barisan {Sn} dari jumlah parsial ke n adalah divergen • a1 + a2 + …+ an = S jika {Sn} divergen ke ~ maka deret divergen ke ~ jika {Sn} konvergen ke S maka deret konvergen ke S atau jumlahnya sama dengan S

6. DERET GEOMETRI • Deret Geometri = a + ar + ar2+….+arn konvergen jika a=0 atau jika lrl < 1 jika a = 0 dan lrl < 1 maka ~ ∑ ar n-1 = 1 / (1-r) n=1 jika a = 0 dan lrl > 1 maka DERET ADALAH DIVERGEN

7. DERET “P” • DERET P ADALAH 1 + 1/2P + 1/3P + ….+1/NP • Deret akan konvergen jika p > 1 • dan deret akan divergen ke ~ jika p < 1 • jika p =1 deret menjadi 1+1/2+1/3+1/4+…+1/n maka deret disebut sebagai deret harmonis dan akan divergen ke ~

8. DERET EKSPONEN • Deret eksponen adalah 1+ r/1! +r2/2!+…+ r n-1/(n-1)! • Dimana deret akan konvergen untuk setiap nilai r • Jika r = 1 deret menjadi 1+1/1!+1/2!+1/3!+….+ 1/(n-1)!

9. SIFAT DASAR DERET ~ ~ Jika ∑ an dan ∑ bn merupakan dua deret n=1 n=1 yg konvergen dan k konstanta maka: • ∑ (an + bn ) konvergen 2. ∑ k an konvergen ~ n=1 ~ n=1

10. TES KONVERGENSI • Test Deret ∑ an akan divergen jika lim an = 0 n=1akan konvergen jika lim an=0 2. Test Leibnitz Deret berayun : a1–a2+a3-…+(-1)n-1 a + …. dgn an semuanya pos / neg konvergen jika : i. an ≥ a n+1 utk setiap n ii. Lim an = 0 n ~

11. Test Perbandingan Deret Positif : ∑ an konvergen jika ada Konvergen positif ∑ bn sedemikian hingga an ≤ bn Divergen positif sede,ikiam hingga an ≥ bn

12. Test rasio utk deret positif Pada deret positif ∑ an Jika : Lim an+1 < 1, konvergen an > 1, divergen = 1 test gagal

13. Test Rasio Umum Pada sembarang deret tk berhingga : ∑ an dgn an ≠ 0, utk setiap n Maka jika Lim an+1 < 1, deret konvergen mutlak ~ an > 1, deret divergen = 1 , atau tdk ada, test gagal

14. Test Integral Andaikan : f(x) continu, tdk negatif dan turun utk 1≤x≤~ Maka deret: ∑ f(n) konvergen Jika ∫ f(x) dx konvergen

15. Test akar ke n Jika: Lim √ lunl = A Maka : ∑ un • Konvergen mutlak kalau A < 1 • Divergen kalau A> 1 • Tak dpt disimpulkan kalau A=1 n

16. Konvergensi mutlak Deret : a1+a2+…+an+… disebut konvergen mutlak jika Deret : a1 + a2 + …. + an konvergen Theorama : Jika suatu deret konvergen mutlak maka deret tersebut juga konvergen. Suatu deret yg konvergen tetapi tdk konvergen mutlak disebut konvergen bersyarat

17. DERET FUNGSI Deret fungsi adalah deret yang suku sukunya adalah suatu fungsi yaitu : ∑ fn(x) = f1(x) + f2(x) + f3(x) +……. Himpunan nilai x utk deret ini konvergensi ke lim L(x) dinamakan daerah konvergensi deret fungsi, dan limit L(x) dinamakan jumlah deret fungsi Sn(x) = f1(x) + f2(x) + f3(x) +……. Utk x dlm daerah konvergensi L(x) =Lim Sn (x) Selisih L & Sn dinamakan sisa Rn (x) = L(x) – Sn(x) N ~

18. DERET PANGKAT/deret kuasa • Adalah deret fungsi yang sukunya fungsi pangkat cnxn ∑ = c0 + c1x + c2x2 + …. • Nilai x utk mana deret ini konvergen dpt diperoleh dgn test rasio umum. • Deret pangkat juga dapat dlm bentuk (x-a) yaitu : co + c1(x-a)+c2(x-a)2+….

19. Daerah konvergensi Daerah konvergensi utk deret pangkat dlm (x-a) dpt diperoleh dgn : -R < x-a < R atau a-R < x < a+R Dimana Lim cn = R Titik x=a adalah pusat konvergensi yg radiusnya R. Dipinggir daerah konvergensi mk deret dpt konvergen atau divergen. Diluar daerah konvergen nilainya dalah Divergen. ~ Cn+1

20. THEORAMA TAYLOR DAN SUKU SISA LAGRANGE Jika suatu f(x) adalah sedemikian hingga : • f(x),f’(x),f’’(x),…f(n-1)(x) adalah kontinu dlm selang {a,a+h} • f(n)(x) ada dlm selang {a,a+h} maka f(a+h)=f(a)+hf’(a)+h2 f’’(a)+…h(n-1)f(n-1)(a)+Rn Dimana Rn = hn/n! f(n) (a+θh) : 0< θ <1 Bentuk sisa Rn ini disebut sisa suku lagrange 2! (n-1)!

21. DERET TAYLOR • Jika f(x) dpt dikembangkan (diekspansikan) menurut deret pangkat dari (x-a) maka : f(x)=f(a)+(x-a)f’(a)+(x-a)2 f’’(a)+(x-a)3f’’’(a)+(x-a)4f’’’’+… • Jika Polinomial f(x) dibagi (x-a) maka sisa : S = f(a) jika polinomial f(x) dibagi (x-a)2 maka sisa : S = f(a)+(x-a) f’(a) • Syarat perlu dan cukup bahwa a adalah akar rangkap k dari persm polinomial f(x) = 0 adalah: f(a)=f’(a)=f’’(a)=f’’’(a)=f(k-1)(a) = 0 dan fk(a) ≠ 0 2! 3! 4!

22. DERET MC LAURIN Merupakan deret khusus dari deret taylor dengan nilai a = 0, Maka : f(x)=f(a)+(x-a)f’(a)+(x-a)2 f’’(a)+(x-a)3f’’’(a)+(x-a)4f’’’’+.. Shg dgn a = 0 maka: f(x)=f(0)+(x-0) f’(0)+(x-0)2/2! f’’(0)+ (x-0)3 /3! f’’’(0)+.. =f(0)+xf’(0)+x2/2! f’’(0)+ x3/3! f’’’(0)+.. 3! 2! 4! 22

23. DERET BINOMIAL Merupakan deret Mclaurin yang khusus dimana untuk f(x) =(1+x)m, dgn m bil riil, shg : f(x) =(1+x)m : f(0) =1 f(x)’ = m(1+x)m-1 : f’(0) = m f(x)’’=m(m-1)(1+x)m-2 : f’’(0) = m(m-1) f(x)’’’=m(m-1)(m-2)(1+x)m-3 : f’’’(0) = m(m-1)(m-2) Maka : (1+x)m = 1+mx+m(m-1)/2! x2+m(m-1)(m-2)/3! x3+.. Dengan x < 1 disebut deret binomial

24. Contoh