Quinta Lezione

1. Quinta Lezione Espansione in momenti di dipolo, Metodo delle immagini, definizione e calcolo capacità

2. Riassunto della lezione precedente • Circuitazione del campo elettrico • Gabbia di Faraday • Potenziale di un guscio/conduttore carico • il generatore di Kelvin • effetto delle punte e parafulmine • calcolo del potenziale per alcune distribuzioni

3. L’approssimazione di dipolo per distribuzione arbitraria di cariche P • Distribuzione arbitraria di cariche: il potenziale in P in prima approssimazione, a grande distanza: ri r di r’ • Ma se ci sono cariche positive e negative in ugual quantità? L’approssimazione è chiaramente insufficiente

4. L’approssimazione di dipolo per distribuzione arbitraria di cariche • Approssimiamo meglio ri P ri r di • Per cui il potenziale diventa r’

5. L’approssimazione di dipolo per distribuzione arbitraria di cariche • Se definiamomomento di dipolo per una distribuzione di cariche • Vediamo che il secondo termine dell’espansione è • Cioè esattamente il potenziale di dipolo calcolato nella scorsa lezione • Questo è importante in quanto stabilisce che qualunque distribuzione di cariche, globalmente neutra, ad una certa distanza ha un potenziale (e quindi un campo) che dipende dal momento di dipolo

6. Esempio: approssimazioni a grande distanza • Supponiamo di avere una distribuzione di cariche piuttosto complicata: Q3= 12nC in R3 (0.01,0.03,0.02)m Q1= 1nC in R1 (0.01,0.01,0.02)m Q4= 8nC in R4 (0.03,0.03,0.02)m Q2= 3nC in R2 (0.02,0.02,0.02)m • Qual è il potenziale in P (3,0,4) m? P

7. Esempio: approssimazioni a grande distanza • Le cariche sono tutte vicine all’origine, da cui P dista circa 5m • Sappiamo quindi che il risultato sarà con buona approssimazione • Se avessimo fatto il conto in modo esatto avremmo ottenuto • ….la distanza in questo caso non è poi così grande...

8. Esempio2: approssimazioni a grande distanza • Modifichiamo lievemente i dati (le cariche) del problema precedente: Q3= -4nC in R3 (0.01,0.03,0.02)m Q1= 1nC in R1 (0.01,0.01,0.02)m Q4= -2nC in R4 (0.03,0.03,0.02)m Q2= 5nC in R2 (0.02,0.02,0.02)m • Qual è il potenziale in P(3,0,4) m? P

9. Esempio 2: approssimazioni a grande distanza • Le cariche sono ancora tutte vicine all’origine, da cui P dista circa 5m • Però se calcoliamo come prima • Ovvero l’approssimazione è insufficiente: conta il contributo di dipolo (che sappiamo decrescere come r2) • Calcoliamo il termine di dipolo:

10. Esempio 2: approssimazioni a grande distanza • Se avessimo calcolato in modo “rigoroso” avremmo ottenuto

11. Metodo delle Immagini • Se sostituiamo una superficie equipotenziale con una superficie conduttrice (o un conduttore pieno) avente il corretto potenziale, il campo rimane identico! • IDEA: studiare i campi di distribuzioni di cariche in prossimità di conduttori rimpiazzando i conduttori con distribuzioni di carica appropriate, o viceversa, a seconda della difficoltà del problema

12. Metodo delle Immagini • Tale procedura, ovvero sostituire ad un problema, un problema equivalente più semplice, è molto generale • Ovviamente il problema è equivalente per tutto quanto è al di fuori del conduttore equivalente • Il caso più semplice: un conduttore piano a potenziale zero (massa) in prossimità di una carica. Basta sostituire con un dipolo.

13. Carica in prossimità di un piano conduttore - - - - - - - - P • Il campo dovuto alla carica sola è r r a • Sul piano, il campo è tutto ortogonale, con direzione -x, e la componente di r lungo x di r è -a, ovvero • Aggiungiamo l’effetto della carica immagine raddoppiando il campo

14. Carica in prossimità di un piano conduttore - - - - - - - - P • La densità di carica indotta (Gauss) è r r a • Notate che, se integriamo su tutto il piano (nota: (r,q) individuano un punto in coordinate polari) • Come deve essere. La forza che subisce la carica è ovviamente (forza tra due cariche uguali e opposte…) • Lo stesso risultato poteva essere ottenuto integrando i contributi di forza dovuti a s (molto più laborioso!!)

15. ATTENZIONE • L’equivalenza è valida solo per la regione al di fuori del conduttore equivalente: es. appello luglio 2007 • Flusso attraverso la sfera? NON E’ ZERO come potreste immaginare mettendo la carica immagine • Usiamo il teorema della immagini per calcolare la carica sul piano • Integrata nel cerchio di 1 m • Quindi per Gauss:

16. Q R Capacità di un conduttore • Per una sfera conduttrice isolata caricata con carica Q, i punti della superficie sono equipotenziali Definiamo tale quantità Capacità [F]=[C]/[V] Se il conduttore non è sferico, nelle stesse condizioni il rapporto resta invariante

17. Capacità di un sistema di conduttori Vc3 Vc1 Vc2 • Se i conduttori sono più di uno, ricordando che Avremo in generale Dove pij si definiscono coefficienti di potenziale

18. Capacità di un sistema di conduttori • Quindi, un legame lineare (matrice) lega anche nel caso di più conduttori potenziali e cariche. Possiamo invertire tale matrice I coefficienti sono scritti in minuscolo perché, per convenzione, non sono ancora le capacità, ma coefficienti di capacità. Per definire le capacità conviene valutare quali siano i coefficienti che legano le cariche alle differenze di potenziale tra i conduttori (vedremo poi perché)

19. Sistema di conduttori • Riscrivendo i coefficienti in modo da far comparire differenze di potenziale tra i conduttori, si ha • in pratica una matrice capacità, in cui i coefficienti sulla diagonale si definisco autocapacità e gli altri coefficienti, mutue capacità

20. +q -q Sistema di 2 conduttori • consideriamo il caso di 2 conduttori • tale sistema prende il nome di condensatore

21. + - + - + - - + + - + - - + d x Condensatore piano • Applicando il Teorema di Gauss: • Calcoliamo la capacità per il caso di due lamine affacciate, di area S e distanziate d

22. Sb a Sa d b Capacità tra due sfere metalliche concentriche

23. a b Capacità di un tratto di cavo coassiale l • Consideriamo un tratto di coassiale di lunghezza l • Avevamo calcolato (lezione 2) che • Considerando che Q=ll otteniamo

24. V Conduttore 2 Conduttore 1 Note e notazioni • Di qui in poi userò delle frecce per indicare differenze di potenziale • tali frecce ovviamente non servono ora ad indicare dei vettori • userò frecce, che vanno da un punto (potenziale di riferimento) ad un altro punto (potenziale) per evidenziare qual è il potenziale di riferimento • Per esempio: V indica il potenziale del conduttore 2 rispetto al conduttore 1

25. 2 V21 1 V32 V13 3 Legge di Kirchhoff alle maglie • Tale notazione consente di riscrivere la conservatività del campo elettrostatico in una forma molto utile che prende il nome di Seconda legge di Kirchhoff: • Prendiamo una serie di punti, o una serie di conduttori, immersi in un campo • Avevamo definito la ddp tra due punti come: • Se quindi calcoliamo • Ovvero: la somma algebrica delle differenze (o cadute) di potenziale lungo una maglia è nulla

26. C B A Note • Anche la scelta dei versi delle tensioni è arbitraria purché si adotti la stessa scelta per tutto il tempo (percorrere tutta la maglia nello stesso verso) • La scelta della “maglia” è arbitraria • Consente di legare le tensioni tra loro, ovvero ricavare una in funzione delle altre: per es

27. --------------- +q V=V1+V2 V1 +++++++++ -q +q V2 -q Connessione condensatori: Serie +++++++++ ----------------- La carica totale non cambia Le differenze di potenziale si sommano • Il sistema si comporta come un unico condensatore con capacità

28. +q1 +q2 -q1 -q2 Vtot Connessione condensatori: Parallelo La carica totale è la somma delle cariche La differenza di potenziale è la stessa

29. a d c e Cac b Ccb Esercizio Due elettrodi sferici come da figura. L’elettrodo più interno è rivestito di dielettrico. Capacità? Possiamo pensare alla struttura come composta da due condensatori in serie: aggiungere un guscio metallico lungo la superficie di separazione non cambierebbe nulla (superficie equipotenziale)

30. Esercizio Una sfera di raggio R1= 1m e carica Q= 1nC viene collegata con un filo conduttore ad una sfera, lontana dalla prima, di raggio R2=0.3 m e inizialmente scarica. Quali cariche possiedono le due sfere a collegamento avvenuto?

31. Esercizio (cont.) Conosciamo le capacità delle sfere Al collegamento la carica si ridistribuisce ed i conduttori finiranno per assumere lo stesso potenziale Ma la carica totale resta la stessa (principio di conservazione della carica) Dal sistema troviamo le quantità richieste

32. +dq +q V q(V) L V Energia di carica di un condensatore Caricando un condensatore compiamo un lavoro: il campo contro cui compiamo il lavoro crescerà con il crescere della carica sul conduttore