kalkulus

1. Kalkulus I Oleh : Dina Rahmi Darman

2. FUNGSI Definisi • Fungsi f adalah suatu aturan korespodensi yang menghubungkan tiap obyek x dalam suatu himpunan (daerah asal) dengan sebuah nilai unik (tunggal) f(x) dari himpunan kedua yaitu himpunan nilai yang disebut daerah hasil fungsi tersebut.

3. Misalkan f adalah suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka fungsi f dilambangkan dengan: • f: A B (f memetakan A ke B) • Himpunan A dinamakan domain atau daerah definisi atau daerah asal, • Himpunan B dinamakan kodomain atau daerah kawan fungsi f. • Himpunan semua anggota B yang mempunyai kawan di A dinamakan range atau daerah hasil

4. Contoh fungsi A B 1 a i 2 i u 3 e 4 o 5 4

5. Pengertian Fungsi Relasi di bawah ini bukan merupakan fungsi : a mempunyai 2 nilai A B a 1 i 2 u 3 e 4 o 5 Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut jelajah (range) / jangkauan dari f. Perhatikan bahwa jelajah dari f adalah himpunan bagian dari B.

7. Pada gambar 1, dan 4 setiap anggota himpunan A mempunyai pasangan tepat satu anggota himpunan B. Relasi yang memiliki ciri seperti itu disebut fungsi atau pemetaan. • Pada gambar 2 bukan fungsi karena ada anggota A yang punya pasangan lebih dari satu anggota B.

9. Diketahui : • 1. { (-1,2), (-4,51), (1,2), (8,-51) } • 2. { (13,14), (13,5) , (16,7), (18,13) } • 3. { (3,90), (4,54), (6,71), (8,90) } • 4. { (3,4), (4,5), (6,7), (8,9) }5. { (3,4), (4,5), (6,7), (3,9) }6. { (-3,4), (4,-5), (0,0), (8,9) }7. { (8, 11), (34,5), (6,17), (8,19) } • Ditanya : • Carilah yang merupakan fungsi • Jawab : 1, 3, 4,6

10. Domain fungsi dinyatakan dengan notasi Df • Kodomain fungsi dinyatakan dengan notasi Kf • Range dinyatakan dengan Rf • Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut • jelajah (range) / jangkauan dari f. • Contoh Soal : • A = {1, 2, 3, 4} • B = {5, 7, 9, 10, 11, 12} • f: A B dimana f(x) = 2x +3 • Domainnya adalah A = {1, 2, 3, 4}. • Kodomainnya adalah B = {5, 7, 9, 10, 11, 12} • Rangenya adalah C = {5, 7, 9, 11}

11. Diketahui : • 1. { (-1,2), (2, 51), (1, 3), (8, 22), (9, 51) } • 2. { (-5,6), (21, -51), (11, 93), (81, 202), (19, 51) } • Ditanya : • Carilah Domain dan Range • Jawab : • 1. Domain: -1, 2, 1, 8, 9  Range: 2, 51, 3, 22, 51 • 2. Domain: -5, 21, 11, 81, 19 Range: 6, -51, 93, 202, 51 

12. Diketahui : • fungsi f(x) = 2x-4 • Hitunglah : • f(1) • f(-1) • Jawab : • f(1) = 2(1)-4 = -2 • f(-1) = 2(-1)-4 = -6

13. Jelajah/range/jangkauan dinotasikan dengan Rf Contoh : 1. Carilah domain dan range dari fungsi : Jawab : a. Mencari domain

14. Pengertian Fungsi syarat agar fungsi tersebut terdefinisi adalah : Sehingga atau b. Mencari Range atau Hal ini dikarenakan f(x) tidak mungkin bernilai nol

15. Contoh 2. Carilah domain dan range dari fungsi : a. Mencari domain Syarat agar fungsi tersebut terdefinisi adalah : Sehingga

16. Contoh b. Range Syarat fungsi tersebut terdefinisi, Jadi Atau

17. Jadi Contoh 3. Carilah domain dan range dari fungsi : a. Mencari domain Syarat agar fungsi tersebut terdefinisi adalah : ++ -- ++ -3 -2 TP = -2, -3

18. Contoh b. Mencari Range Agar , maka D ≥ 0

19. Contoh -- ++ -- Jadi,

20. Macam-macam Fungsi Macam-macam fungsi : 1. Fungsi polinom • Fungsi konstan, • Fungsi linier, • Fungsi kuadrat,

21. Macam-macam Fungsi 2. Fungsi Rasional Bentuk umum : p(x), q(x) = fungsi polinom dengan q(x) ≠ 0 contoh : 3. Fungsi harga/nilai mutlak Fungsi yang mengandung harga mutlak, contoh :

22. Macam-macam Fungsi 4. Fungsi bilangan bulat terbesar = Bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x 5. Fungsi Genap Disebut fungsi genap jika dan grafiknya simetris terhadap sumbu y

23. Macam-macam Fungsi Contoh : 6. Fungsi Ganjil Disebut fungsi ganjil jika dan grafiknya simetris terhadap titik asal, contoh :

24. Macam-macam Fungsi 7. Fungsi Komposisi Diberikan fungsi dan , komposisi fungsi antara dan Domain dari ditulis adalah himpunan semua bilangan x dengan domain sehingga di dalam Syarat agar dua fungsi bisa dikomposisikan, maka harus terpenuhi

25. KOMPOSISI FUNGSI • Fungsi h dari A ke C disebut fungsi komposisi dan ditulis atau Dimana x adalah daerah asal dari f dan f(x) adalah dareh asal dari g

26. Contoh:Diketahui : f(x) = x² + 1 dan g(x) = 2x – 3. • Ditanya : 1. (f ◦ g)(x) • 2. (g ◦ f)(x) • Jawab : • a. (f o g)(x)= f (g(x)) • = f(2x – 3) • = (2x – 3)² + 1 • = 4x² – 12x + 9 + 1 • = 4x² – 12x + 10 • b. (g o f)(x) = g (f(x)) • = g(x² + 1) • = 2(x² + 1) – 3 • = 2x² - 1 • Jadi pada komposisi fungsi tidak berlaku sifat komutatif.

27. Latihan :Diketahui : f(x) = x² -4 dan g(x) = - 4x +1. • Ditanya : 1. (f ◦ g)(x) • 2. (g ◦ f)(x) • 3. (g ◦ f)(2) • 4. (f ◦ f)(3) • 5. (g ◦ g)(2)

28. Fungsi Komposisi Hal tersebut dapat diilustrasikan sebagai berikut :

29. Fungsi Komposisi Dengan cara yang sama, Syarat agar dua fungsi bisa dikomposisikan, maka harus terpenuhi Domain dari komposisi fungsi f dan g didefinisikan sbb : Sedangkan definisi dari Range komposisi fungsi komposisi atau atau

30. Fungsi Komposisi Sifat-sifat fungsi komposisi : Contoh : Tentukan 1. Jika diketahui dan beserta domain dan range-nya!

31. Contoh Karena = , maka fungsi terdefinisi a. Mencari Domain

32. Contoh b. Mencari Range Jadi

33. Contoh Karena , maka fungsi terdefinisi dengan c.Domain

34. Contoh d. Range

35. Contoh 2. Jika diketahui fungsi Tentukan beserta domain dan range-nya! = , sehingga terdefinisi a. Domain

36. Contoh b. Range