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离散数学教学交流 ( 集合论、组合数学、初等数论 )

离散数学教学交流 ( 集合论、组合数学、初等数论 ). 北京大学信息科学技术学院 屈 婉 玲 qwl@pku.edu.cn 2009.08. 主要内容. 知识框架 教学设计 克服“散、满、死、快、灌” 讲什么？怎么讲？ 如何与计算机应用相结合 怎样选择典型的实例 如何运用这些例子 如何强化能力的培养 教学积累与教学资源. 集合论的知识框架. 函数性质 的证明. 集合的等势 可数集与不可数集 基数算术 相关的证明技术. 函 数. 函数定义 函数性质 复合函数 逆函数. 归纳定义 证明技术. 集合基数. 集合表示 基本运算 幂集

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离散数学教学交流 ( 集合论、组合数学、初等数论 )

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  1. 离散数学教学交流(集合论、组合数学、初等数论)离散数学教学交流(集合论、组合数学、初等数论) 北京大学信息科学技术学院 屈 婉 玲 qwl@pku.edu.cn 2009.08

  2. 主要内容 • 知识框架 • 教学设计 • 克服“散、满、死、快、灌” • 讲什么？怎么讲？ • 如何与计算机应用相结合 • 怎样选择典型的实例 • 如何运用这些例子 • 如何强化能力的培养 • 教学积累与教学资源

  3. 集合论的知识框架 函数性质 的证明 集合的等势 可数集与不可数集 基数算术 相关的证明技术 函 数 函数定义 函数性质 复合函数 逆函数 归纳定义 证明技术 集合基数 集合表示 基本运算 幂集 基本证明 关系等式的证明 关系性质的证明 序偶与笛卡儿积 二元关系的概念与表示 二元关系的运算 二元关系的性质 二元关系的闭包 *集合的覆盖与相容关系 等价关系与划分 序关系 集合 关 系 可选知识单元 推荐知识单元 核心知识单元

  4. 组合数学的知识框架 高级计数 组合存在性 生成函数及应用 指数生成函数及应用 Catalan数与Stirling数 Ramsey定理 鸽巢原理 加法与乘法原理 基本排列组合公式 二项式定理 多重集的组合计数 递推关系 的求解 递推关系 的应用 基本 计数 可选知识单元 推荐知识单元 容斥原理 Polya计数定理 核心知识单元 计数定理

  5. 初等数论的知识框架 数论的应用 欧拉定理与 费马小定理 同余与一次同余式 可选知识单元 整除与素数 最大公约与最小公倍数 推荐知识单元 核心知识单元

  6. 教学设计：克服散、满、死、快、灌 • 散——抓重点、抓关联 • 满——有取舍、讲要点 • 死——讲思想、讲方法 • 快——有节奏、有实例 • 灌——多交流、重启发

  7. 讲什么？怎么讲？ • 重点与难点 • 知识点关联 • 学科思想与分析方法 • 习题分析 • 典型的应用实例 • 新进展

  8. 元素为 有序对 或者空集 单值性 domf A ranf B domf =A ranf B domf=A 单值 一对一 ranf=B A=B 实例 特殊关系 知识点的关联 集 合 关系f 函数f 单射 f:AB 从A到B 的关系f 双射 f:AB f:AB 满射 f:AB A上的关系 IA,特征函数B, 自然映射g 单调函数 IA, EA, DA, LA, , R

  9. 讲思想讲方法：启发式教学 • 提出问题讲解方法推广应用 • 若干实例——问题 • 讲解思路——建模 • 求解——方法与理论 • 应用——典型实例 • 总结——适用条件、一般化推广

  10. n-1位长的八进制串 x x=0,1,2,3,4,5,6 含偶数个7 an-1 y=7 y 含奇数个78n-1an-1 启发式教学——提出问题 解 设所求的有效码字为an个 an=7an1+8n1 an 1 化简an=6an1+8n1, a1=7 解得 an=(6n+8n)/2 方法： 问题的归约

  11. 提出问题 例 Hanoi 塔问题 A B C 解得T(n) = 2n1 T(n) = 2 T(n1) + 1，T(1) = 1， 1秒移1个，64个盘子要多少时间？（5000亿年） 思考：是否存在更好的解法？ Reve难题：Hanoi 塔变种，柱数增加，允许盘子相等. 其他变种：奇偶盘号分别放置

  12. 提出问题

  13. 解决问题、总结提高 • 递推方程的定义 • 求解方法 • 公式法 • 迭代归纳法 • 递归树方法 • Master定理 • 应用实例 • 编码系统、Hanoi塔、排序算法分析 • 总结

  14. 习题课的设计 • 习题课的必要性 • 对知识点进行总结 • 讲解典型的解题思路和方法 • 分析作业或测验试卷中的典型错误 • 教学交流 • 习题课安排：灵活掌握

  15. 习题课实例组合数学解题技巧1：一一对应 33 3的立方体至少需要多少次才能切 成27个小立方体？ 解： 6次 切割  中心立方体的面 次数至少等于面数 n个选手两人一组比赛决出冠军，需要多少 次比赛？ 解： n -1次，比赛  淘汰，比赛次数=淘汰人数

  16. 计数模型与一一对应 • 计数方法：计数模型与实际问题的对应 • 主要的计数模型： • 选取问题 • 不定方程非负整数解问题 • 非降路径问题 • 整数拆分问题 • 放球问题等等 • 各模型的使用条件及典型实例

  17. 组合数学解题技巧2：上下界逼近 确定某个值（或阶） 步骤 证明这个值的上界 证明这个值的下界 如果上界与下界相等，则结束 否则改进上界或者下界，使得它们逐渐逼近

  18. 实例：最少连接缆线问题 条件：15台工作站和10台服务器. 每个工作站可以用一条电缆直接连到某个服务器. 同一时刻每个服务器只能接受一个工作站的访问. 目标：任何时刻,任意选一组工作站 W1, W2, … , Wk, k10. 保证这组工作站可以同时访问不同的服务器. 问题：达到这个目标需要的最少缆线数目N是多少？ 方案1：每个工作站都连到每个服务器，需要 1015=150 缆线数N  150. 150是一个上界

  19. 方案2：上界为60 工作站记为W1,W2, …, W15, 服务器记为S1, S2, …, S10. 对于k = 1,2,…,10，连接Wk-Sk, 剩下W11－W15每个都连到10个服 务器，总共60条直接连线. W1 W2 W3 W4 W5 W11 W12 W13 W14 W15 W6 W7 W8 W9 W10 S1 S2 . . . . . . S10 任取10个工作站. 若是W1,W2,…,W10，Wi访问Si，i=1,…10, 满足要求; 若W1-W10中只选k个工作站，k<10, 剩下的10k个工作站恰好与10k个空闲服务器连线。结论：N60.

  20. 方案的最优性 证明 N60.下界为60. 假设在工作站和服务器之间缆线至多59条. 那么某个服务器将至多连接 59/10 = 5工作站.如果选择剩下的10个工作站作为一组，那么只有9个空闲的服务器，根据鸽巢原理，必有2个工作站连接同一服务器. 与题目要求矛盾. W1 W2 W3 W4 W5 W11 W12 W13 W14 W15 W6 W7 W8 W9 W10 S1 S2 . . . Si . . . S10

  21. 新进展：小Ramsey数的值http://mathworld.wolfram.com/RamseyNumber.html新进展：小Ramsey数的值http://mathworld.wolfram.com/RamseyNumber.html

  22. 一般性Ramsey数的上下界

  23. 典型的教学实例 • 目标明确 • 与相关的定义、定理密切结合（必要） • 有计算机科学与技术应用背景 • 与其他课程教学内容相关 • 适合教学 • 问题描述清晰、简单（必要） • 有启发性、有趣、有知名度

  24. 系统建模：集合、关系、函数 • 关系数据库—— n元关系 • 集合的聚类划分——等价关系 • 流程的拓扑排序—— 偏序关系 • 计划评审技术PERT—— 偏序关系 • 算法的时间复杂度——函数 • 网格的副本定位——集合、关系与函数

  25. 实例1 网格副本定位 • 副本定位：根据数据对象标识找到该对象的物理存储位置（从多个副本位置中找一个） • 副本位置选择：从备选位置集合中确定存放副本的位置子集，使得访问代价最小 • 问题： • 副本少，过高的时间复杂度、网络拥塞 • 副本多，过高的副本一致性维护代价

  26. 副本定位问题建模 • 最优设备放置问题 • P-中值问题 • 0-1线性规划问题 • 按簇复制问题

  27. 最优设备放置问题 实例：给定集合V，|V|=n，vV，d(v)表示访问请求. u,vV，访问代价 c(u,v)>0，c(u,v)=c(v,u) u,v,wV，满足 c(u,v)  c(u,w) + c(w,v) FV是放置设备的备选位置集, uF，放置代价 f(u)0 求：放置设备的位置集F’F，满足目标函数

  28. 10 5 5 1 2 3 25 4 1 4 3 6 20 10 实例 V={1,2,3,4}, F={1,2,3}, d(1)=d(2)=5, d(3)=20，d(4)=10 f(1)=f(2)=8, f(3)=f(4)=5 F’={1}, W=8+510+2025+104=598 F’={2}, W=8+510+201+103=108 F’={3}, W=5+525+51+106=195 F’={1,2}, W=8+8+201+103=66 F’={1,3}, W=8+5+51+104=58 F’={2,3}, W=8+5+510+103=93 F’={1,2,3}, W=8+8+5+103=51

  29. P-中值问题 实例：给定集合V, |V|=n, vV，d(v)表示访问请求. u,vV，访问代价 c(u,v)>0，满足 c(u,v)=c(v,u)，c(u,v)c(u,w)+c(w,v) 求P-中值集合V’V，|V’|=P，满足

  30. 10 5 5 1 2 3 25 4 1 4 3 6 20 10 实例 V={1,2,3,4}, d(1)=d(2)=5, d(3)=20，d(4)=10 P=2 F’={1,2}, W=201+103=50 F’={1,3}, W=51+104=45 F’={1,4}, W=53+206=135 F’={2,3}, W=510+103=80 F’={2,4}, W=54+201=40 F’={3,4}, W=54+51=25

  31. 系统分析：组合计数 • Ipv4协议的网址计数——排列组合 • 单调函数计数——基本组合计数 • 栈输出的计数——基本组合计数 • 递归算法的分析技术——递推关系 • 逆序计数 • Fibonacci 数计算 • 多项式求值

  32. 实例2：Ipv4协议网址计数 • 32位地址表达：网络标识netid+主机标识hostid • 分类： • A类：最大网络；B类：中等网络；C：最小网络； • D：多路广播；E：备用 • 限制条件： • 1111111在A类中的 netid 部分无效 • hostid 部分不允许全0或全1

  33. Ipv4协议网址计数（续） netid hostid A类：0+7位，24位 B类： 10+14位，16位 C类：110+21位，8位 限制条件：1111111不是A类中的netid，hostid部分不允许全0或全1 A类：netid 271, hostid 2242， 地址数：12716777214=2130706178 B类：netid 214, hostid 2162， 地址数：1638465534=1073709056 C类：netid 221, hostid 282, 地址数：2097152254=532676608 |A|+|B|+|C|=3737091842. Ipv6 改为128位

  34. (n,f(n)) (2,f(2)) (3,f(3)) (1,f(1)) (1,1) 实例3：单调函数计数 (n+1,n)

  35. 实例4：栈输出的计数 将1, 2, … , n 按照顺序输入栈，有多少个不同 的输出序列？ 分析：将进栈、出栈分别记作 x, y, 操作序列是 n个x，n个y 的排列， 排列中任何前缀的 x 个数不少于y 的个数， 等于从(0,0)到 (n,n) 的不穿过对角线的非降路径数

  36. 栈输出的计数（续） 输入： 1,2,3,4,5 输出：3,2,4,1,5 进,进,进,出,出,进,出,出,进,出 x, x, x, y, y, x, y, y, x, y 3 2 2 2 4 1 1 1 1 1 1 1 5 输出 3 2 4 1 5

  37. (n,n) (-1,1) (-1,0) (0,0) 栈输出的计数（续）

  38. 实例5:计数排列L的逆序, n=2k • 初始排列：1 2 … n 排列L=i1 i2 … in含有逆序(ik,il)当且仅当ik>il, k<l 排列含有的逆序总数称为它的逆序数 • 例如：2 5 7 3 4 8 1 6存在逆序: (2,1), (5,3), (5,1), (5,4), (5,1), (7,3), (7,4), … • 通过逆序数来量度两个排列的差异度 • 问题：给定排列 L=i1 i2 … in，计算L的逆序数

  39. 计数排列L的逆序, n=2k 算法：基于二分归并排序的算法 1.将L划分成L1与L2/*L1[1..n/2], L2[n/2+1..n] 2.递归处理L1与L2 3.如果L1的首元素大于L2的首元素，增加n1个逆序，n1为L1的元素数，移走L2的首元素 4. 否则移走L1的首元素 5. 如果L1或L2为空，将剩下的元素接到后面 6. 将排好序的全体元素放回到 L中 910151820 56132631 p q T(n)=2T(n/2)+n-1，T(n)=O(nlogn)

  40. 实例6:Fibonacci数的计算 设a为实数，n为正整数且恰好是2的幂. 下述算法Power 是计算an的算法. • Power (a,n) • if n=1 then return a • else xPower(a,n/2) • return x*x 1.如果以两个数相乘1次作为1次基本运算，那么对于给定的n，算法Power总共做的乘法次数为T(n)，计算T(n).

  41. 实例6（续） 2. 在Fibonacci 数列1, 1, 2, 3, 5, 8, …的前面加上一 个0，得到数列Fn，那么Fn满足递推公式 Fn=Fn1+Fn2和 初值 F0=0，F1=1. 证明 3. 对于n=2k，k为正整数，如何利用上述公式和算法Power计算Fn？把这个算法与直接利用递推公式计算Fn的算法进行比较，哪个效率更高？为什么?

  42. 实例6（续） 1.递推方程是 2. 对n归纳（略） 3. 令矩阵 用Power算法计算M n1，两个矩阵相乘用O(1)次乘法，因此完成整个计算用O(logn)次乘法，结果矩阵的a11项 就是Fn. 而直接计算需要O(n)次加法. 显然Power算法效率高.

  43. 实例7 多项式求值 问题：给定 对所有1的2n次根 xj= ej/n, j=0,1,…,2n1, 计算 A(xj) 算法1：1. 计算所有的xj，j=0,1,2,…,2n-1 2. 对每个 xj 做下述运算： 依次计算每个项aixji， 对i 求和得到A(xj)， 时间分析： 计算每个A(xj)乘法次数：n-1+…+1=n(n-1)/2 对j=0,1,2,…, 2n-1求和，T1(n)=O(n3)

  44. 算法2：递推计算 递推公式： A1(xj)=an-1 A2(xj)=an-2+ xj A1(xj) A3(xj)=an-3+ xj A2(xj) … A(xj)=An(xj)=a0+ xj An-1(xj) 算法2：计算所有的xj，j=0,1,2,…,2n-1 对每个xj，顺序计算A1(xj), A2(xj), …, An(xj) 时间分析：对每个xj, O(n) 对所有的xj, 总的时间：T2(n)=O(n2)

  45. 算法3：分治算法 实例：A(x)=a0 + a1x + a2x2 + a3x3 Aeven(x)=a0+ a2x Aold(x)=a1 + a3x A(x)=Aeven(x2) + x Aold(x2) x是1的8次方根，那么x2恰好是1的4次方根 计算过程： 1. 对所有的4次方根xj，递归计算Aeven(xj) 2. 对所有的4次方根xj，递归计算Aold(xj) 3. 对所有的8次方根xj，组合1-2步得到A(x)

  46. 算法3：分治算法 Aeven(x)=a0+a2x+a4x2+…an-2x(n-2)/2 Aold(x)=a1+a3x+a5x2+…an-1x(n-2)/2 A(x)=Aeven(x2)+xAold(x2), x2为1的n次根 算法： 1. 计算1 的所有的 2n 次根 2. 递归计算Aeven(x2)与Aold(x2) 3. 利用步2 的结果计算A(x) 复杂度分析： T3(n)=2T3(n/2)+O(n) T3(n)=O(nlogn) 应用：快速FFT变换

  47. 加强能力的培养 • 能力 • 对实际离散系统的形式化描述 基础逻辑、集合、关系、函数、图、树、代数系统 • 离散系统的性质分析 逻辑基础、关系、函数、组合计数、图、离散概率与随机过程、初等数论 • 熟练计算能力 • 证明或者推理能力 基本证明技巧、数学归纳法、构造性证明、组合分析 • 获取知识的能力 • 培养途径 • 习题、课后阅读、考试 • 课题研究

  48. 其他有关问题 • 教学积累 • 国内外的优秀离散数学教材 • 计算机专业其他专业课的教学内容 • 好的应用实例 • 典型的习题及解答 • 有关离散数学的科研成果 • 适合本科学生水平的研究课题 • 参与科研，关心其他课程教学 • 教学交流

  49. 相关教学资源：教材 • Discrete Methematics and Its Applications(sixth Edition), Kenneth H. Rosen，机械工业出版社，2008. • Concrete Mathmatics——A Foundation for Computer Science(Second Edition), Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik, 机械工业出版社， 2002.

  50. 教学资源：网站 • 哈佛大学http://lib.harvard.edu/e-resources/details/d/descmath.html • 普林斯顿大学http://www.math.princeton.edu/~bsudakov/seminar.html • 伯克利大学http://www-inst.eecs.berkeley.edu/~cs70/ • 肯塔基大学 http://www.ms.uky.edu/~math/Research/Margot/DM/ DiscreteMath.html • 离散数学论坛网址 http://mathforum.org/discrete • 布朗大学 http://www.cs.brown.edu/courses/cs022/ • 科罗拉多大学http://www.colorado.edu/education/DMP/ • 数学世界网址 http://mathworld.wolfram.com/topics/DiscreteMathematics.html

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