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第十二章 力法

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第十二章 力法

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  1. 第十二章 力法 沈阳建筑大学 侯祥林

  2. 第十二章 力法 §12—1 力法的基本概念 §12—2 力法的典型方程 §12—3 用力法计算超静定刚架 §12—4 对称性的利用 §12—5 等截面单跨超静定梁的杆端内力

  3. §12-1 超静定结构的概念和超静定次数的确定 1. 静定结构与超静定结构 静定结构: 全部反力和内 力只用平衡条件便可确定的结构。 超静定结构: 仅用平衡条件不能确定全部反力和 内力的结构。 外力超静定问题 内力超静定问题 ×

  4. 2 . 超静定结构在几何组成上的特征 是几何不变且具有“多余”约束(外部或内部)。 此超静定结构有一个多余约 束,即有一个多余未知力。 此超静定结构有二个多余约 束,即有二个多余未知力。 多余约束: 这些约束仅就保持结构的几何不变 性来说,是不必要的。 多余未知力: 多余约束中产生的力称为多余未 知力(也称赘余力)。 多余约束与多余未知力的选择。(基本结构) ×

  5. 3. 超静定结构的类型 (1)超静定梁; (2)超静定桁架; (3)超静定拱; ⑶ (4)超静定刚架; (5)超静定组合结构。 ⑷ 4. 超静定结构的解法 求解超静定结构,必须 综合考虑三个方面的条件: (1)平衡条件; (2)几何条件; (3)物理条件。 ⑸ 具体求解时,有两种基本(经典)方法—力法和位移法。 ×

  6. 超静定梁 超静定刚架 超 静 桁 架 ×

  7. 超静定拱 超静定组合结构 超静定排架 ×

  8. 6. 力法解超静定结构的思路 首先以一个简单的例子,说明力法的思路和基本概 念。讨论如何在计算静定结构的基础上,进一步寻求计 算超静定结构的方法。 EI 1. 判断超静定次数: n=1 〓 原体系(原结构) 2. 选择基本体系(结构) 基本体系(基本结构) 3写出变形(位移)条件: 〓 (a)  根据叠加原理,式(a) 可写成 (b) ×

  9. (b) 4 .建立力法基本方程 11x1 将 ∆11= 代入(b)得 (12—1) 此方程便为一次超静定结 构的力法方程。 5. 计算系数和常数项 2L 1 L 2 = 2 EI 3 2 qL 1 _ 1 3L = ( ) L 3 2 EI 4 6. 将11、 ∆11代入力法方程式(12-1),可求得 和MP图按叠加法绘M图。 M1图

  10. 超静定结构计算的总原则: 欲求超静定结构先取一个基本体系,然后让基本体系在受力方面和变形方面与原结构完全一样。 力法的特点: 基本未知量——多余未知力; 基本体系——静定结构; 基本方程——位移条件 (变形协调条件)。 位移法的特点: 基本未知量—— 基本体系—— 基本方程—— ×

  11. §12—2 力法的典型方程 一、超静定次数与基本结构: 用力法解超静定结构时,首先必须确定多余约束 或多余未知力的数目。 1. 超静定次数: 多余约束或多余未知力的个数。 2 .确定超静定次数的方法: 采用解除多余约束的方法。 解除多余约束的方式通 常有以下几种: (1)去掉或切断一根链杆,相当于去掉一个约束。 (2)拆开一个单铰或撤去一个固定铰支座,相当于去掉两个约束。 ×

  12. (3)在刚结处作一切口, 或去掉一个固定端,相当 于去掉三个约束。 (4) 将刚结改为单铰联 结,相当于去掉一个约束。 应用上述解除多余 约束(联系)的方法,不难 确定任何 超静定结构的 超静定次数。 ×

  13. 3.基本体系的选择 去掉多余约束使超静定结构成为静定结构,可以有多种不同的方式。 图12-11 如何选择基本体系----有利于系数和自由项的图乘计算。 图12-10 ×

  14. 基本结构的形式虽然不同,但基本结构必须是几何不变的。为了保证其几何不变性,有时有些约束是绝对不能去掉的。如: 图12-14 图12-15 图12-14中的水平支座链杆就不能去掉,否则将成为几何可变体系。图12-15所示两铰拱,其任一竖杆也绝对不能去掉,否则将成为瞬变体系。 ×

  15. 4. 例题:确定图示结构的超静定次数(n)。 n=6 对于具有较多框格的结构,可 按 框格的数目确定,因为一个封 闭框格,其 超 静定次数等于三。 当结构的框格数目为 f ,则 n=3f 。 n=3×7=21 ×

  16. 二、力法典型方程: 用力法计算超静定结构的关键,是根据位移条件建立力法方 程以求解多余未知力,下面首先以三次超静定结构为例进行推导。 1. 三次超静定问题的力法方程 首先选取基本结构(见图b) 基本结构的位移条件为: △1=0 △2=0 △3=0 设当 和荷载 P 分别作用在结构上时, 和△1P ; 沿X1方向: 11 、12 、13 A点的位移 沿X2方向: 21、22、23和△2P ; 沿X3方向: 31、32、33和△3P 。 据叠加原理,上述位移条件可写成 +△1P 11X1 +13X3 =0 +12X2 △1= △2=21X1+22X2+23X3+△2P=0 △3=31X1+32X2+33X3+△3P=0 ×

  17. △1=0 △2=0 △3=0   〓   ×

  18. 11X1+12X2+13X3+△1P=0 21X1+22X2+23X3+△2P=0 31X1+32X2+33X3+△3P=0 2. n次超静定问题的力法典型(正则)方程 对于n次超静定结构,有n个多余未知力,相应也有 n个位移条件,可写出n个方程 11X1+ 12X2+ …+ 1iXi+ …+ 1nXn+△1P=0 …………………………………………………………… i 1X1+ i 2X2+ …+ i iXi+ …+ i nXn+△iP=0 (12—2) …………………………………………………………… n1X1+ n2X2+ …+ niXi+ …+ nnXn+△nP=0 这便是n次超静定结构的力法典型(正则)方程。式中 Xi为多余未知力, i i为主系数,i j(i≠j)为副系数, △iP 为自由项(又称常数项)。 ×

  19. 3. 力法方程及系数的物理意义 (1)力法方程的物理意义为: 基本结构在全部多余 未知力和荷载共同作用下,基本结构沿多余未知力方向 上的位移,应与原结构相应的位移相等。 (2)系数及其物理意义: 下标相同的系数 i i 称为主系数(主位移),它是单位 多余未知力 单独作用时所引起的沿其自身方向上 的位移,其值恒为正。 系数 i j(i≠j)称为副系数(副位移),它是单位多余未知力 单独作用时所引起的沿 Xi方向上的位移, 其值可能为正、为负或为零。据位移互等定理,有 i j= j i △i P称为常数项(自由项)它是荷载单独作用时所引起 的沿Xi方向的位移。其值可能为正、为负或为零。 上述方程的组成具有规律性,故称为力法典型方程。 ×

  20. 4. 力法典型(正则)方程系数和自由项的计算 典型方程中的各项系数和自由项,均是基本结构在 已知力作用下的位移,可以用第四章的方法计算。对于 平面结构,这些位移的计算公式为 对不同结构选取不同项计算。系数和自由项求得后, 代入典型方程即可解出各多余未知力。 ×

  21. 的物理意义; 1) ; 2)由位移互等定理 主系数 3) 表示柔度,只与结构本身和基本未知力的选择有关,与外荷载无关; 副系数 n次超静定结构 位移的地点 产生位移的原因 对称方阵 4)柔度系数及其性质 系数行列式之值>0 5)最后内力

  22. §12—3 用力法解超静定刚架 1. 示例 n=2(二次超静定) 选择基本体系如图示 力法典型方程为: 11X1 +△1P=0 + 12X2 (a) 21X1 + 22X2+△2P=0 计算系数和常数项,为 此作 计算结果如下 a2 1 2a a3 = 3 2EI1 2 6EI1 1 a2 a3 a = 2EI1 2 4EI1 ×

  23. 将以上各系数代入方程(a) 并消去(a3/EI1)得 最后内力图的绘制用叠加法 解联立方程得 3P 4P Pa . MAC= a a( + ) 88 11 2 多余未知力求得后其余反力、内力的计算便是静定问题。 ×

  24. 2 .力法的计算步骤 (1)确定原结构的超静定次数。 (2)选择静定的基本结构(去掉多余约束, 以多余未知力代替)。 (3)写出力法典型方程。 (4)作基本结构的各单位内力图和荷载内力 图,据此计算典型方程中的系数和自由项。 (5)解算典型方程,求出各多余未知力。 (6)按叠加法作内力图。 (7)校核。静力平衡校核+位移条件校核 ×

  25. 3 .超静定结构的位移计算 超静定结构的位移= 基本体系的位移 因此,可将超静定结构 的位移计算在其基本体 系上进行 如:校核B点的水平位移----单位荷载法 虚拟状态是静定的,计算比较简单 ×

  26. §12—4 对称性的利用 用力法分析超静定结构,结构的超静定次数愈高, 计算工作量就愈大,主要工作量是组成(计算系数、常数 项)和解算典型方程。利用结构的对称性可使计算得到简 化。简化的原则是使尽可能多的副系数、自由项等于零。 它们不仅杆件轴线所构成的几何图形对称,而且杆件的刚度及支承情况也对称。 对称结构: 例如: ×

  27. 荷载的对称性: ①正对称荷载——绕对称轴对折后,对称轴两边的荷载等值、作用点重合、同向。在大小相等、作用点对称的前提,与对称轴垂直反向布置的荷载、与对称轴平行同向布置的荷载、与对称轴重合的集中力是正对称荷载。如图(b)所示。 ②反对称荷载——绕对称轴对折后,对称轴两边的荷载等值、作用点重合、反向。在大小相等、作用点对称的前提下,与对称轴垂直同向布置的荷载、与对称轴平行反向布置的荷载、垂直作用在对称轴上的荷载、位于对称轴上的集中力偶是反对称荷载。如图(c)所示。 ×

  28. 1. 选取对称的基本结构 多余未知力X1、X2是 正对称,X3是反对称的。 基本结构的各单位弯 矩图(见图)。 、 是正对称, 是反对称。 则 13= 31= 23= 32=0 于是, 力法典型方程简 化为 11X1+12X2+△1P=0 21X1+22X2+△2P=0 33X3+△3P=0 下面就对称结构作进一步讨论。 ×

  29. (1)对称结构作用对 称荷载 11X1+12X2+△1P=0 21X1+22X2+△2P=0 33X3+△3P=0 MP图是正对称的,故△3P=0。 则 X3=0 。 这表明:对称的超静定结构,在对称的荷载作用下, 只有对称的多余未知力,反对称的多余未知力必为零。 (2)对称结构作用反 对称荷载 MP图是反对称的,故 △1P= △2P=0 则得 X1=X2=0 这表明:对称的超静定结构,在反对称的荷载作用下, 只有反对称的多余未知力,对称的多余未知力必为零。

  30. 正对称荷载作用下的奇数跨和偶数跨刚架 ×

  31. 反对称荷载作用下的奇数跨和偶数跨刚架 ×

  32. 对称刚架受任意荷载作用,可现将其分解为正对称和反对称两组,然后利用上述方法分别取半刚架计算,最后再将两者叠加,即得原结构内力。 ×

  33. 最后弯矩: 例:试用力法计算图示连续梁结构,并绘出弯矩图。 解:将梁中间改为铰接,加多余未知力X1得基本体系如图(B)所示。 建立力法典型方程: 求系数和自由项: 代入典型方程得: ×

  34. ×

  35. 对称结构 反对称荷载 根据弯矩图反对称 弯矩图为 ×

  36. 练习题:(选择与判断) • 1、没有荷载就没有内力这个说法对任何结构都是成立的。( ) 2、n次超静定结构,任意去掉n个多余约束均可作为力法基本结构。( ) • 3、在条件下,图示结构各杆弯矩等于零。 • 3题图 • 4、力法的基本未知力是通过(  )条件确定的,而其余未知力是通过(  )条件确定的 。 A.平衡 B.物理 C.图乘 D.变形协调 ×

  37. 5、图示结构横梁无弯曲变形。( ) • 5题图 6、图示超静定结构,当支座A发生位移时,构件CD不会产生内力。( ) • 7题a图 • 6题图 • 7、a图示结构取图b为基本体系,EI=常数,△1P为 (  ) 。 • 7题 b图 ×

  38. §12—5等截面单跨超静定梁的杆端内力 用位移法计算超静定刚架时,每根杆件均视为单跨超静定梁。 计算时,要用到各种单跨超静定梁在杆端产生位移(线位移、角位 移)时,以及在荷载等因素作用下的杆端内力(弯矩、剪力)。为了应 用方便,首先推导杆端弯矩公式。 P t1 A B 如图所示,两端固定的等截 面梁, t2 EI L 除受荷载及温度变化外,两支座还发生位移:转角 A、 B及侧移△AB 。 A  转角A、 B顺时针为正, △AB则以整个杆件顺时针方向转动为正。  AB B A′ △AB  B′ 在位移法中,为了计算方便,弯矩的符号规定如下:弯矩是以对杆端顺时针为正(对结点或对支座以逆时针为正)。 MAB MBA  A  B   杆端剪力符号规定不变。 ×

  39. 单跨超静定梁仅由于荷载作用所产生的杆端弯矩,通常称为固端弯矩,并以 和 表示,相应的杆端剪力称为固端剪力,以 和 表示。统称为固端力。 P     A B 固端力、三种类型的等截面单跨超静定梁 三种类型的等截面单跨超静定梁。 一端固定 一端定向支座 一端固定一端铰支 两端固定 ×

  40. 一、受集中荷载作用的两端固定梁 三次超静定,去掉固定支座B得图示悬臂梁。基本体系, X3可略去不计。 力法典型方程: 做出 ×

  41. 代入力法典型方程整理得: 解联立方程组得: ×

  42. AB梁B端的弯矩和剪力: AB梁A端的弯矩和剪力: 最后弯矩图、剪力图为: ×

  43. 二、支座位移的影响 固定端A顺时针转动角度φA,取基本体系如图所示, 写出力法典型方程。 力法典型方程: 做出 ×

  44. 各系数与前同,自由项计算如下: 代入力法典型方程整理得: 解联立方程组得: ×

  45. AB梁B端的弯矩和剪力: AB梁A端的弯矩和剪力: 最后弯矩图、剪力图为: ×

  46. 三、梁两端垂直于轴向发生发生相对线位移的影响 等截面两端固定梁两支座再垂直于梁轴方向发生相对线位移△AB,可看作支座A向上或支座B向下发生竖向位移△AB 。同样可以用力法计算,并作出其弯矩图、剪力图。 对于一端固定另一端铰支及一端固定另一端定向支承的等截面梁,同样可以用力法计算其杆端力。为方便应用,将等截面梁在常见外因(荷载作用、支座转动和支座移动)影响下的杆端内力列于表12-1中。 ×

  47. 形常数表 ×

  48. 载常数表 ×

  49. 式中: 是AB杆抗弯刚度与其跨度之比,称为AB杆的线抗弯刚度或者简称线刚度。 四、一端固定另一端定向支承的等截面梁: 由对称性从图b所示梁中取一半,就得到图a所示梁。 AB梁两端的弯矩分别为: ×

  50. 是此梁两端的固端弯矩。 五、转角位移方程 将前述计算按叠加原理叠加得: MAB= 4iA+2i B- MBA= 4i B +2i A- 两端固定的等截面梁的转角位移方程 是此梁两端的固端剪力。 ×