第四章 齿轮机构及其设计

1. 第四章 齿轮机构及其设计 提示：本章介绍齿轮传动的概况；齿廓啮合基本定律、 渐开线的形成及其性质、一对渐开线齿轮啮合传 动的基本理论、齿轮的切削加工理论及齿轮的基 本参数和几何尺寸的设计计算等基本理论和概念。 重点：渐开线标准直齿圆柱齿轮外啮合传动的基本理论 及设计计算；变位齿轮、斜齿轮、锥齿轮及蜗轮 蜗杆啮合传动及设计计算的特殊点。 难点：一对齿轮传动的啮合过程；斜齿轮及锥齿轮的当 量齿轮的当量齿数的概念。

2. §4—1 概述 一、用于平行轴间传动的齿轮机构 内啮合直齿轮（avi) 外啮合直齿轮（avi)

3. 人字齿圆柱齿轮（avi) 斜齿圆柱齿轮（avi)

4. 齿轮齿条传动 （avi)

5. 二、用于相交轴传动的齿轮机构 （avi)

6. 三、用于交错轴间传动的齿轮机构 （avi) （avi)

7. 3 ω1 P13 o1 1 n k p (P12) 2 n ω2 Vp=1o1p=2o2p o2 P23 §4—2 齿轮齿廓设计 一、齿廓啮合基本定律 如图所示，点p是两齿 轮廓在点K接触时的相对速 度瞬心，则：

8. 3 P13 o1 ω1 1 n k p (P12) 2 n ω2 o2 P23 由此可见：两 轮瞬时传动比都与 其连心线O1O2被其 啮合齿廓在接触点 处的公法线所分成 的两段成反比。

9. 3 P13 o1 ω1 1 n k k1 (P12) p 2 n ω2 o2 P23 结论： 1、要使两齿轮的 瞬时传动比为一常数， 则不论两齿廓在任何 位置接触，过接触点 所作的两齿廓公法线 都必须与连心线交于 一定点p。

10. 3 P13 o1 ω1 1 n k k1 (P12) p 中心距 2 n ω2 o2 P23 2、定点p称为节 点，以o1和o2为圆心， 过节点p作的两相切 圆称为节圆，其半 径用、r1‘和r2‘表示。 两齿轮的啮合传动 可以视为两轮的节 圆作纯滚动。

11. 二、齿廓曲线的选择 凡能满足齿廓啮合 基本定律的一对齿廓称为 共轭齿廓，理论上有无穷 多对共轭齿廓，其中以渐 开线齿廓应用最广。

12. K 渐开线 发生线 K0 rk 渐开线k0k 的展角 rb 向径 N k O 基圆 三、渐开线的形成 及其特性 当直线沿一圆周作纯滚动时，直线上任一点K轨迹k0k，称为该圆的渐开线。

13. 发生线 K 渐开线 ） ρk rk (1)NK = N K0 (2) 渐开线上任意一 点的法线必切于基圆， 曲率半径 K0 N 渐开线k0k 的展角 与基圆的切点Ｎ为渐 开线在K点的曲率中心， O 曲率中心 基圆 而线段NK是渐开线在 点K处的曲率半径ρk。 渐开线性质如下：

14. 发生线 Vk K 渐开线 ρk Pk rk 曲率半径 K0 N rb 渐开线k0k 的展角 O 曲率中心 基圆 NOK= (３)渐开线齿廓上 各点的压力角不同。 点Ｋ离基圆中心Ｏ 愈远，压力角愈大。

15. Σ3 Σ2 Σ1 K KO1 α 1 N1 rb1 KO1 o1 N2 α 2 r b2 o2  (4) 渐开线的形状取决 于基圆的大小，基圆越 大，渐开线越平直，当 基圆半径趋于无穷大时， 渐开线成为斜直线，它 就是齿条的齿廓。 (5) 基圆内无渐开线。

16. K 渐开线 发生线 K0 rk 渐开线k0k 的展角 rb 向径 N k O 基圆 ( 四、渐开线方程式及渐开线函数 以O为中心，以OK0为极轴 的渐开线上K点的极坐标方程：

17. З 1 ' r1 o1 rb1 N1 k1 P k2 N2 rb2 ' r2 o2 З 2 五、渐开线齿廓啮的合特性 1、渐开线齿廓能保证定传 动比传动 由渐开线质知，法线N1N2 必同时与两轮的基圆相切，即 N1N2为两基圆的—条内公切线。 两轮的基圆为定圆，其在 同一方向的内公切线只有—条 切必为一定线，与连心线的交 点P必为一定点。

18. З 1 ' r1 o1 rb1 N1 k1 P k2 N2 rb2 ' r2 o2 З 2 故渐开线齿廓齿轮，其 传动比为常数，即： 因此渐开线齿轮齿 廓的啮合传动满足齿廓 啮合基本定律。

19. З 1 ' r1 o1 rb1 N1 k1 P k2 N2 rb2 ' r2 o2 З 2 2、渐开线齿廓之间的正压 力方向不变 啮合线（N1N2））———两 齿廓啮合点在机架相固连 的坐标系中的轨迹。 啮合线与齿廓接触点的 公法线，正压力方向线都是 两基圆的一条内公切线。

20. З 1 o1 rb1 N1 ' P N1 p' a N2 ' a rb2 rb2 o2 З 2 o'2 3、渐开线齿轮传动具 有可分性 当两齿轮制成后，基 圆半径便已确定，以不同 的中心距(a或a‘)安装这对 齿轮，其传动比不会改变。

21. 分度圆 齿距pi 齿厚si 齿槽宽ei 基圆 齿顶圆（da 和 ra） 齿根圆（df 和 rf） 齿顶圆 分度圆（d 和 r） r ri 基圆（db 和 rb） rb 齿距pi 齿顶高ha 齿根圆 齿厚si ra rf 齿槽宽ei 齿根高hf 齿顶高ha o 齿根高hf 齿全高h §4—3齿轮各部分名称及几何尺寸计算 一、齿轮各部分的名称和代号

22. 分度圆 齿顶圆 基圆 齿根圆 ra rf r ri rb o 二、渐开线直齿圆柱齿轮的基本参数 1 齿数（Z）：齿轮整个圆周上轮齿的总数。 2 模数（m ) 任一圆直径为di， 齿距为pi，则： 人为地把 mi=pi /  规定为简单的有理数， 该比值称为模数。 一个齿轮在不同直径的圆周上，其模数的大小是不同的。

23. 3 分度圆压力角 分度圆是齿轮上一个人为约定的轮齿计 算的基准圆。 规定分度圆上的模数和压力角为标准值。 国标压力角的标准值为=20° 模数的标准系列见国标。 齿数，模数，压力角是决定渐开线形状 的三个基本参数。

24. 4 齿顶高系数 和顶隙系数C* 其标准值为： 正常齿：h*a =1；C*=0.25 短 齿：h*a =0.8；C*=0.3 三、渐开线齿轮各部分几何尺寸 渐开线标准直齿圆柱齿轮传动几何 尺寸的计算见公式。

25. o1 o1 o1 N1 N1 N1 ' ' k k1 k k k2 N2 N2 k N2 ' k1 o2 o2 o2 法节：齿轮上两相邻轮齿同侧齿廓在法线上的距离。用pn表示。 欲使两齿轮正确啮合，两轮的法节必须相等。 §4—4 渐开线标准直齿圆柱齿轮的啮合传动 一、正确啮合条件

26. 一、正确啮合条件 欲使两齿轮正确啮合，两轮的法节必须相等。 一对渐开线直齿圆柱齿轮的正确啮合条件是： 两轮的模数相等，两轮的压力角相等。

27. ' r1 a a' P b' b r2 ' 二、齿轮传动中心距及啮合角 确定中心距时，应满足： 1、无侧隙啮合传动 一个齿轮在节圆上的 齿厚与另一个齿轮在节圆 上的齿槽称为齿侧间隙。 无侧隙啮合传动条件： 一齿轮轮齿的节圆齿厚必 须等于另一齿轮节圆齿槽宽。

28. o1 ' r1 c ' a r2 ' o2 2、标准顶隙（也称径向间隙） 顶隙 ——一对相互啮合 的齿轮中，一个齿轮的齿 根圆另一个齿轮的齿顶圆 之间在连心线上度量的距 离，用C 表示。 C= ca*m

29. o1 ' r1 c ' a r2 ' 即：s1=e1,s2=e2 , s1=e2,s2=e1 o2 则：标准中心距 一对无侧隙标准齿轮传动， 其分度圆与节圆重合。 啮合角等于分度圆压力角。

30. З 1 o1 ' r1 rb1 ' N1 ' P N1 t t ' t p' ' a ' t N2 ' ' a rb2 ' r2 rb2 o2 З 2 o'2 3、啮合角与中心距的关系 当a≠a’时，两轮的分度圆将不再相切，即节圆和分度圆不重和。 d≠d’ α≠α’。

31. o1 1 ra1 rb1 B1 N1 B2 N2 ra2 rb2 2 o2 B2点—— 啮合起始点。 B1点——啮合终止点。 B1 B2实际啮合线， N1N2理论啮合线。 三、连续传动的条件 1、一对渐开线轮齿的啮合过程 （avi)

32. 1 1 1 N1 N1 N1 B2 B2 B1 B1 N2 B1 B2 N2 N2 B1B2>Pn B1B2=Pn B1B2<Pn 三、连续传动的条件 2、重合度及连续传动条件

33. B1B2与Pn的比值——齿轮传动的重合度。 即 为保证连续定角速比传动的条件为： B1B2>Pn 三、连续传动的条件 2、重合度及连续传动条件

34. o1 1 ra1 rb1 B1 N1 B2 ' a1 N2 ra2 rb2 P 而 a2 2 ' o2 3、重合度与基本参数的关系

35. 同理 又由于 从上式可知,a与m无关,而与齿数有关。 z1, z2，a，在直齿圆柱齿轮中max = 1.98。

36. ) 例 Pn 0.3Pn 0.7Pn 0.3Pn 4、重合度的物理意义( 双对齿 啮合区 双对齿 啮合区 单对齿啮合区 B1 B2 K' K Pn 1.3Pn 许用重合度 实际应用中，

37. §5—5 渐开线齿轮的变位修正 一、变位修正齿轮的切制 范成法：利用一对齿轮啮合原理来加工齿廓， 其一个齿轮（或齿条）作为刀具，另一个齿轮则为 被切齿轮毛坯，刀具相 对于被切齿轮毛坯固联的 坐标系上切出被加工齿轮的齿廓。即根据一对齿轮 啮合传动时，两轮的齿廓互为共轭曲线的原理来加 工的。 刀具：齿轮型刀具(如齿轮插刀)、齿条型刀具 (如齿条插刀和齿轮滚刀等)两大类。

39. 主要危害： 降低齿轮根部强度； 齿轮根切现象 缩短渐开线长度； 影响齿轮传动平稳性。 齿廓根切 —— 用范成 法切制齿轮时，有时刀具会 把轮齿根部已切制好的渐开 线齿廓再切去一部分，这种 现象称为齿廓根切。

40. 0 r rb 齿顶线 N p B 节线 1 Ⅱ 刀刃 在范成法切制 齿轮时，若刀具齿 顶线超过了啮合线 与基圆上的切点， 即啮合极限点N， 则被切齿轮的齿廓 将发生根切。

41. 分度圆 中线 （节线） s = e刀， e = s刀 ， 节线上： p s 齿条形刀具的安装位置 标准安装：刀具中线和节线重和。 加工出来的齿轮为标准齿轮。

42. 节 线 xm 中线 中线 分度圆 e刀↑，s刀↓。 此时节线上： p s 正移距安装：刀具远离轮坯中心xm距离。 加工出来的齿轮节圆上s ↑、e ↓，称为正变位齿轮。

43. xm 节 线 中线 中线 分度圆 p s e刀 ↓，s刀↑。 此时节线上： 负移距安装：刀具靠近轮坯中心xm距离。 加工出来的齿轮节圆上s ↓ 、e ↑ ，称为负变位齿轮。

44. 基圆 分度圆 节线 P 分度线 xm  m xmtg xmtg 2 二、变位齿轮的几何尺寸 被切齿轮分度圆齿厚等于齿条刀节线上的齿槽宽

45. 又由于P = πm不变，则有： 此时：ha = (ha* + x )m； hf = (ha* + c* - x)m ； h = ha + hf 。 ra = r+ (ha* + x )m； 负变位齿轮，公式中的变位系数为负。

46. 无侧隙啮合条件： 啮合齿轮的节圆齿距相等 (a) 则 而 (b) 三、变位齿轮传动 1、变位齿轮传动的中心距

47. 其中 (c) 而 将(b)、(c)代入（a）并化简后可求得无侧隙啮合方程为

48. 保证标准顶隙的条件 （1）中心距变动系数Y 设两轮作无侧隙啮合时的中心距为á，其与标 准中心距之差为ym。 ym = a’- a = (r1+r2)cosα/cosα’- (r1+r2) = m(z1+z2)( cosα/cosα’-1)/2 则：y= (z1+z2)( cosα/cosα’-1)/2 当两轮作无侧隙啮合时，其中心距á 等于 a’= a+ ym= m(z1+z2) /2 +ym

49. （2）齿顶缩短系数K 为了保证两轮具有标准顶隙C＝C*m，则两 轮的中心距a˝ 应等于: a’’=ra1+c+rf2=r1+ha1+c+r2-hf2 =r1+r2+(ha*+x1)m+c*m - (ha*+c*-x2)m =m(z1+z2)/2+( x1+x2)m a’’=a+( x1+x2)m=m(z1+z2)/2+( x1+x2)m

50. 由分析可知，满足无侧隙啮合和标准顶隙时的 中心距分别是： a’= a+ ym= m(z1+z2) /2 +ym a’’=a+( x1+x2)m =m(z1+z2)/2+( x1+x2)m 如果既要满足无侧隙啮合，又要保证标准顶隙， 则应使á = a˝，即y＝x1十x2。 实际上只要x1十x2≠0，则x1十x2＞y，即a˝ ＞á 。