Динамические эконометрические модели

1. Динамические эконометрические модели

2. Стохастические регрессоры Рассмотрим модель yt = a + bxt + et(1) Предположение:ytи xt – стационарные временные ряды, т.е. случайные величины ytимеют одно и то же распределение (аналогично и xt ). 3 случая: • Регрессоры xtи случайные члены etне коррелируют: Cov(xs, et) = 0  s, t = 1, …,n. • Значения регрессоров xtне коррелированы с et(т.е.в данный момент времени), но коррелируют с ошибками в более ранние моменты времени. Пример: yt = a + b1xt + b2yt-1 +et 3. Значения регрессоров xt коррелированы с ошибками et .

3. Теорема Пусть xtимеет конечное мат.ожидание и дисперсию. Тогда: оценки параметра b по методу наименьших квадратов являются: • в случае 1 – несмещёнными и состоятельными; • в случае 2 –состоятельными, но смещёнными; • в случае 3 – смещёнными и несостоятельными. Замечание 1.Для случая 2 в выборках большого объёма корреляция регрессора со случайным членом стремится к 0 и асимптотически есть несмещённость оценок. Замечание 2.Аналогичное утверждение верно и для множественной регрессии. Причины коррелированности: а) На случайныйчлен и нарегрессоры воздействуют одни и те же факторы; б) Ошибки при измерении регрессоров

4. Причина а): Вместо модели yt = a + bxt + gut + nt xt = l + dut + zt рассматриваем модель yt = a + bxt + et Пример 1. В пункте А производится сырьё двух видов. Сырьё перевозится в пункт В, где на заводе производится полуфабрикат, который продаётся на завод по цене x. На заводе изготавливается конечный продукт, который перевозится в пункт С и реализуется по цене y. Цены на сырьё меняются и образуют временные ряды z1 и z2.

5. Причина б): Пусть мы имеем искажённые, а не истинные значения x xt* = xt + ut Рассматриваем модель yt = bxt + et = b(xt* - ut) + et = bxt* + (et – but)  Cov(xt*, (et – but)) = -bCov(ut, ut)  0.

6. Опр. Динамическая эконометрическая модель – в момент времени t учитываются значения переменных как текущих, так и за предыдущие моменты времени. Опр. Лаг – константа, характеризующая величину запаздывания в воздействии фактора на результат. Опр. Лаговая переменная – факторная переменная, сдвинутая на несколько моментов времени. Типы динамических эконометрических моделей • явные модели • ARIMA (autoregressiveintegrated moving average) модели (метод Бокса-Дженкинса) • ADL (autoregressive distributed lags) модели • неявные модели • неполной корректировки • адаптивных ожиданий • рациональных ожиданий

7. Явные модели модель авторегрессии p-го порядка AR(p) yt = b0 + b1yt-1 + b2yt-2 + … + bpyt-p + et модель скользящей средней q-го порядка MA(q) yt = et + g1et-1 + g2et-2 + … + gqet-q авторегрессионная модель скользящей средней порядков p и q соответственно ( ARMA(p,q) модель ) yt = b0 + b1yt-1 + b2yt-2 + … + bpyt-p + et + g1et-1 + g2et-2 + … + gqet-q модель с распределенным лагом p ( DL(p) ) yt = a + b0xt + b1xt-1 + … + bpxt-p + et авторегрессионная модель с распределёнными лагами порядков p и q ( ADL(p,q) модель ) yt = a + b0xt + b1xt-1 + … + bpxt-p + с1yt-1 + с2yt-2 + … + сqyt-q + et

8. Модель с распределённым лагом (интерпретация параметров) b0-краткосрочный мультипликатор b = b0 + b1 + … + bl - долгосрочный мультипликатор

9. Преимущества и недостатки моделей ARIMA • Преимущества • охватывают широкий спектр временных рядов • не используются независимые переменные • проверка на адекватность проста и доступна • прогнозы и интервалы предсказания следуют прямо из модели • Недостатки • необходимо достаточно большое количество данных (для несезонных данных более 40 наблюдений) • при включении новых данных требуется перестройка всей модели • достаточно большие затраты времени и ресурсов

10. Схема метода Бокса-Дженкинса • Выбор исходной модели • анализ графика временного ряда • анализ автокорреляционной функции • анализ частной автокорреляционной функции • Оценка параметров для экспериментальной проверки • Проверка адекватности модели • Использование модели для прогнозирования

11. AR(1)

12. AR(2)

13. MA(1)

14. MA(2)

15. ARMA(1,1)

16. ARMA(1,1)

17. Модели с распределенным лагом • Конечномерная модель • Бесконечномерная модель • Проблемы: • мультиколлинеарность; • уменьшение числа степеней свободы с увеличением величины лага; • автокорреляция остатков. • Структуры лага (зависимость коэффициентов bj от j): • линейная • геометрическая • V – образная • перевернутая V – образная

18. Метод Алмон (конечномерная модель) Опр. Лаги Алмон – лаги, структура которых описывается полиномами.

19. Введем новые переменные ……………………………………………………..

20. Алгоритм метода Алмон • Определяется максимальная величина лага l. • Определяется степень полинома к, описывающего структуру лага. • Рассчитываются значения переменных z0, z1,...,zk. • Определяются параметры уравнения линейной регрессии. • Находятся параметры исходной модели с распределенным лагом. Замечания. • Методы определение величины лага l: - априорная информация; - измерение тесноты связи между результатом и лаговыми переменными; - критерий Шварца.

21. 2. Методы определения степени полинома k - степень полинома k на единицу больше числа экстремумов в структуре лага - построение и сравнение моделей для разных значений k и выбор лучшей модели Достоинства метода Алмон: А) универсальность; Б) при k=2 или k=3 можно построить модель с лагом любой величины. В) мультиколлинеарность факторов z0,…,zk сказывается на оценках параметров b0,...,bl в меньшей степени, чем при применении стандартного МНК к исходной модели

22. Пример.y – объем ВВП США (млрд $),x – внутренние инвестиции (млрд $). • Модель с распределенным лагом l=4 и к=2: • Модель по стандартному МНК:

23. Метод Койка для бесконечномерной модели • Предположение: • лаг имеет геометрическую структуру:

24. Модель Койка(двухфакторная линейная авторегрессия): где ut = et – let-1. Коэффициент b0– характеризует краткосрочное воздействие x на y. Выражение b0/(1-l)- характеризует долгосрочное воздействие x на y. Преимущества: 1)простота метода 2) возможность анализировать и сравнивать краткосрочные и долгосрочные динамические свойства модели

25. Проблема:одна из объясняющих переменных ( yt-1 ) коррелирует со случайным членом  оценки по МНК смещённые и несостоятельные Выход:использоватьнелинейныйМНК для исходного уравнения.

26. Оценивание моделей авторегрессии с распределёнными лагами Модель: yt = a + bxt + g yt-1 + et(2) подставимyt-1 = a + bxt-1+ g yt-2 + et-1 в (2)  yt = a(1+g) + bxt + bgxt-1 + g2yt-2 + et + g et –1  yt = a/(1-g) + bxt + b(gxt-1 + g2xt-2+ g3xt-3+ … ) + (et + g et –1 + g2 et –2 + … ) Вывод: модель авторегрессии с распределёнными лагами (2) можно свести к модели Койка Плюс: устранена коррелированность регрессора с ошибками Минус: а) автокорреляция ошибок имеет сложную структуру б) неидентифицируемость модели Далее: применить нелинейный метод наименьших квадратов

27. Нелинейный метод наименьших квадратов • В множестве возможных значений gвыбираем последовательность gh • Для каждого ghвычисляем xth = xt + (gh xt-1 + gh2 xt-2+ gh3 xt-3+ … ) • МНК оцениваем уравнение yt = a1 + bxth+ ut • Выбираем уравнение с наибольшим R2 Получаем g, a, b.