Teorie čísel Nekonečno

1. Teorie číselNekonečno

2. Opakování z minulé přednášky • Jak je definována podmnožina, průnik, sjednocení, rozdíl? • Jak je definována uspořádaná dvojice a kartézský součin? • Co je to relace? Jaké vlastnosti mohou mít relace na množině? • Co je to zobrazení? Jaké může mít vlastnosti? • Formulujte alespoň 3 axiomy teorie množin

3. Teorie čísel • Odvětví matematiky zabývající se čísly • Definice číselných množin • Definice operací na číselných množinách • Vlastnosti (zejm. dělitelnost) • Souvislost s algebrou • Číselné množiny N – přirozená čísla Z – celá čísla Q – racionální čísla I – iracionální čísla R – reálná čísla C – komplexní čísla

4. Přirozená čísla (N) • Množina spolu se zobrazením succ • Peanovy axiomy • (!x)(y)(xsucc(y)) … toto číslo značíme 0 • (x,y)(succ(x) = succ(y)  x = y) • (x)(x+0 = x) • (x,y)(x+succ(y) = succ(x+y)) • (x)(x*0 = 0) • (x,y)(x*succ(y) = x*y + x) • Je-li U  N taková, že 0U a (x)(xUsucc(x)U), potom U = N.

5. Přirozená čísla a nula • Axiomatická definice vyžaduje, aby 0N • Všeobecně platí, že 0N • zejména z historických důvodů • Nadále tedy nulu nebudeme považovat za přirozené číslo • rozlišujeme tedy N a N0. • Pouze pro potřeby axiomatické výstavby nulu do N zahrneme.

6. Celá čísla (Z) • K množině N „připojíme“ všechny rozdíly přirozených čísel, které v ní dosud nejsou • Na množině NN zavedeme relaci  • (a,b)  (c,d)  a+d = b+c • Tato relace je ekvivalencí • Množinu celých čísel definujeme jako rozklad příslušný této ekvivalenciZ = NN/ • Teprve nyní lze zavést operaci rozdílu!

7. Racionální čísla (Q) • Racionální čísla lze vyjádřit jako podíl dvou celých čísel • na přirozených ani celých číslech podíl nelze definovat • Konstrukce založená na kartézském součinu Z  (Z-{0}) • Na něm definujeme relaci  • (a,b)  (c,d)  a*d = b*c • Místo (a,b) píšeme a/b • Q = Z  (Z-{0})/ • Operace jsou definovány • a/b + c/d = (a*d+c*b)/(b*d) • a/b * c/d = (a*c)/(b*d)

8. Reálná čísla(R) • Na množině Q definujeme řez jako dvojici množin A, B  Q, značíme (A/B), které jsou neprázdné, disjunktní a platí ( aA, bB)(a<b) • Nastávají 3 možnosti • A obsahuje největší číslo, B neobsahuje nejmenší číslo • např. ({xQ|x5}/{xQ|x>5}) • A neobsahuje největší číslo, B obsahuje nejmenší číslo • např.({xQ|x<5}/{xQ|x5}) • A neobsahuje největší číslo, B neobsahuje nejmenší číslo • např. ({xQ|x22}/{xQ|x2>2}) • Množina reálných čísel je množina všech řezů na QR = {(A/B)}

9. Komplexní čísla (C) • Motivace k zavedení C: Výpočet odmocnin ze záporných čísel • C = R  R • Místo (a,b) píšeme a+bi • Operace: • (a+bi) + (c+di) = (a+c)+(b+d)i • (a+bi) * (c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i • Imaginární jednotka i • (0+1i) * (0+1i) = -1+0i

10. Nekonečné množiny 

11. O pojmu nekonečno • Bouřlivý historický vývoj • Potenciální x aktuální nekonečno • Zenon z Eleje a jeho paradox o Achillovi a želvě • Aproximativní výpočty – Eudoxos, Archimédes • Integrální počet – Newton, Leibniz

12. Kardinalita • U konečných množin máme počet prvků • U nekonečných množin používáme pojem mohutnost (též kardinalita) • Kdy jsou dvě množiny stejně mohutné? • Když mezi nimi existuje bijekce • Množiny, které mají stejnou mohutnost jako N, se nazývají spočetné • Spočetné jsou tedy ty množiny, jejichž prvky lze uspořádat do posloupnosti • Ostatní nekonečné množiny jsou nespočetné

13. Spočetné množiny • Označme S množinu všech sudých čísel • S = {2, 4 ,6, …} • Zobrazení f: N S, f(n) = 2*n je bijekce N na S. Množina S je tedy spočetná. • Sudých čísel je tedy stejný počet jako všech přirozených čísel • Celek je stejně velký jako jeho část! • Podobně ukážeme, že Z je spočetná množina • Jak definovat bijekci mezi N a Z?

14. Stejný problém jako spočetnost NN Dvojice N čísel uspořádáme do posloupnosti podle obrázku Důsledek: Nn je spočetná pro každé přirozené n Spočetnost racionálních čísel

15. Nespočetnost reálných čísel • Reálná čísla tvoří nespočetnou množinu • Nelze je uspořádat do posloupnosti • Důkaz G. Cantora (1891) • Metoda diagonalizace • Ukážeme dokonce, že reálná čísla v intervalu <0,1) tvoří nespočetnou množinu

16. Cantorův důkaz I. • Důkaz sporem • R čísla z (0,1) – nekonečná posloupnost nekonečných posloupností číslic desetinných částí • Zapíšeme do matice M • Pokud takto skutečně vyjádříme všechna čísla, dokážeme spočetnost • Vezmeme posloupnost číslic na úhlopříčce a zkonstruujeme číslo d • di = 2, pokud mi,i2, di = 3, pokud mi,i=2

17. Cantorův důkaz II. • Zkonstruovali jsme reálné číslo d. • To však v matici evidentně není, protože n-tá posloupnost má v n-tém sloupci jinou číslici • Našli jsme tedy nové reálné číslo • Reálná čísla tedy nelze bezezbytku seřadit do nekonečné posloupnosti • Reálná čísla jsou tedy nespočetná

18. Kardinální čísla I. • Mohutnost množiny označuje kardinální číslo • Mohutnost spočetné množiny (N) je o • čteme „alef nula“ • Mohutnost R je dána jako mohutnost množiny všech podmnožin spočetné množiny, nazývá se mohutnost kontinua a značí se c • 2o≤ c

19. Kardinální čísla II. • Cantorův důkaz ukazuje, že o< 2o • Aritmetika kard. čísel2o 2o= 2o • Z Cantorova důkazu (věty) plyne neexistence největšího kardinálního čísla • Potenční množina má vždy větší mohutnost • Kardinální čísla netvoří množinu • díky axiomu sjednocení by existovalo největší kardinální číslo

20. Kardinální čísla III. • Neexistuje množina všech množin • její potenční množina by byla nejvýše tak velká jako ona sama • Známá kardinální čísla jsou konečná (přirozená čísla) a nekonečná (nejmenší je o, větší je např. c) • Nevíme, zda je c nejmenší nespočetné kardinální číslo • nerozhodnutelný problém teorie množin