גלגול, פיתול ותנע זוויתי

1. גלגול, פיתול ותנע זוויתי בשנת 1897 ביצעלוליין אירופאי בפעם ראשונה סלטה משולשת, מנדנדה לידי שותפו .במשך שנים ניסו לוליינים לבצע סלטה מרובעת, ורק בשנת 1982 הצליח מיגל וזקז מקרקס Barnum & Bailey להתגלגל ארבע פעמים באוויר לידי שותפו - ושניהם נדהמו. מדוע כל כך קשה לבצע סלטה מרובעת, ומהו הסוד הפיסיקלי לביצוע?

2. גלגול כל גלגול הוא שילוב של תנועה קווית של מרכז המסה, וסיבוב סביב מרכז המסה. נקודה על היקף גלגל מתגלגל מציירת עקומה הנקראת ציקלואידה. אם רדיוס הגלגל הוא R, מהירות מרכז המסה שלו היא v0 ומהירות הסיבוב הזוויתית שלו היא , אזי העתק הנקודה הינו

3. גלגול הוא צרוף של סיבוב והחלקה. סיבוב + החלקה = גלגול אפשר להיווכח שנקודת המגע P בין הגלגל והמשטח נמצאת במנוחה רגעית ואילו הנקודה העליונה T נעה במהירות גדולה פי 2 ממהירות מרכז המסה.

4. ולכן תצלום של תנועת גלגל אופניים נראה כך:

5. נקודת המגע של הגלגל עם המשטח נמצאת במנוחה רגעית. כך שיש נקודת מבט משלימה: הגלגול מסתובב סביב ציר העובר בנקודת המגע. מהירות מרכז המסה vcm= R מהירות נקודה בקצה העליון v = (2R) = 2vcm

6. אנרגיה קינטית של גלגול ביחס לנקודה P, האנרגיה הקינטית של הגלגל היא כאשר IPהוא מומנט ההתמד ביחס לנקודה P. ולפי משפט הצירים הקבילים, אנרגיה קינטית של תנועת מרכז המסה האנרגיה הקינטית של סיבוב סביב מרכז המסה

7. כוח חיכוך על גלגל כדי שגלגל יגדיל את מהירות סיבובו חייב לפעול עליו כוח. רוכב האופניים מסובב את הדוושות כדי להאיץ, אבל אם הגלגל יסתובב על קרח, הסיבוב לא יאיץ את האופניים. מסקנה: דרוש כוח חיכוך בין הגלגל למשטח! כיוונו חייב להיות בכיוון תאוצת מרכז המסה. כיון שהנקודה P נמצאת במנוחה רגעית, החיכוך הוא כוח חיכוך סטטי.

8. גליל שמסתו M ורדיוסו R מתגלגל במורד מישור משופע בזווית . מהי תאוצת מרכז המסה? (אילו הגוף היה מחליק ולא מתגלגל תאוצתו הייתה acm = g sin). הכוחות הפועלים הם משקל הגוף, הכוח הנורמלי בין הגלגל והמישור וכוח החיכוך: הפיתול לגבי מרכז המסה:

9. acmשלילית (שמאלה) ואילו התאוצה הזוויתית  היא חיובית (גלגול נגד כיוון השעון). לכן מציבים במקום  את– acm / R : ופותרים ניתן לחשב מה צריך להיות מקדם החיכוך כדי שהגוף יתגלגל ללא החלקה:

10. שתי דיסקות זהות, A ו- B, מתגלגלות על הרצפה באותה מהירות. דיסקה A מתחילה לעלות על מישור משופע ומגיעה לגובה h. דיסקה Bעולה על אותו מישור משופע אך ללא חיכוך. האם הגובה אליו מגיעה Bהוא גדול, קטן או שווה ל-h?

11. פיתול (ביקור שני) הגדרנו פיתול  עבור גוף קשיח שיכול להסתובב סביב ציר נתון. נרחיב את ההגדרה: הפיתול הפועל על חלקיק בנקודה r ביחס לנקודת ייחוס מסוימת הוא  O r F כאשר על החלקיק פועל כוח F. 

12. תנע זוויתי לכל גוף יכול להיות תנע זוויתי, גם גוף הנע בקו ישר במהירות קבועה. בנקודה r נמצא גוף שיש לומסהm ותנע p. התנע הזוויתי מוגדר l O חלקיק בעל מסה mנע בקו ישר במהירות v. התנע הזוויתי של החלקיק ביחס לנקודהO הואl=mrv sin f. p r  r r sin f  m v o

13. l = rmv sin = rp sin O O p r p r p  r  l = r(p sin) = rp l = p(r sin ) = pr

14. חמישה חלקיקים זהים נעים על מסלולים לפי שני השרטוטים. לכל חלקיק אותו גודל מהירות. למעגל החיצוני רדיוס כפול הרדיוס של הפנימי. סווג את החלקיקים לפי סדר יורד של גודל התנע הזוויתי שלהם סביב O. למי מהם תנע זוויתי שלילי?

15. חוק II של ניוטון בצורה זוויתית המכפלה הוקטורית של וקטורים זהים מתאפסת. בהשוואה ל-

16. נגדיר אלLכסכום כל הטנעים הזוויתיים ואז או אם נפרש את tnet כסכום כל הפיתולים, אזי כאשר פיתולים פנימיים מתקזזים.

17. תנע זוויתי של גוף קשיח סביב ציר קבוע z גוף בעל מסה M מסתובב סביב ציר קבוע במהירות זוויתית .  ri כדי לחשב את התנע הזוויתי נחלק את הגוץ לחלקיקים בעלי מסות m iשכל אחד מהם נע סביב ציר z במסלול מעגלי שרדיוסו הוא ri. mi pi i ri y התנע הזוויתי של כל החלקיקים הינו x

18. F F F דיסקה חישוק כדור נתונים כדור חישוק ודיסקה בעלי אותו רדיוס ואותה מסה. כל אחד מסובב סביב צירו בגלל חבל הכרוך סביבו. החבל יוצר אותו כוח משיקי F הפועל על כולם לאותו פרק זמן. דרג את הגופים א. לפי התנע הזוויתי סביב הציר המרכזי. ב. המהירות הזוויתית שלהם.

19. F F F דיסקה חישוק כדור

20. חוק שימור התנע הזוויתי בנוסף לחוק שימור האנרגיה וחוק שימור התנע קיים גם חוק שימור התנע הזוויתי. ואם לא פועל פיתול על הגוף המתנדב המסתובב

21. כשקופצת למים מבצעת סיבוב וחצי, מרכז המסה שלה נע בתנועה פרבולית. בנוסף יש לה תנע זוויתי סביב מרכז המסה. התנע הזוויתי נשמר כיון שאין שום פיתול עליה. ע"י קיפול הרגליים והידיים וקירובם למרכז המסה, מקטינה הקופצת את מומנט ההתמד ולכן מגדילה את מהירות סיבובה סביב מרכז המסה. לפני הכניסה למים, היא מתיישרת מחדש; דבר זה מאפשר לה כניסה חלקה למים.

22. בציור ספינת חלל יחד עם גלגל תנופה. כאשר ספינת החלל וגם גלגל התנופה הם במנוחה, התנע הזוויתי הוא אפס. כאשר גלגל התנופה מסובבשמאלה, הספינה פונהבכיוון הפוך כך שהתנע הזוויתי הכללי נשאר אפס. ניתן לכוון ספינת חלל כך, אבל Voyager 2 שנשלחה לאורנוס נכנסה לסיבוב לא רצוי כל פעם שהופעל רשמקול. צוות הקרקע נאלף להפעיל את מנועי הדחף לקזז כל הפעלה של הרשמקול.

23. כוכב מתכווץ כשליבה של כוכב מתחילה לכלות את חומר הדלק הגרעיני, הכוכב מתחיל להתמוטט פנימה. ההתמוטטות יכולה לכווץ את הרדיוס מסדר גודל של רדיוס השמש עד לכמה קילומטרים. הכוכב הופך לכוכב נויטרונים בעל צפיפות עצומה של גז של נויטרונים. בתהליך התמוטטות זה נשמרהתנע הזוויתי. מומנט ההתמד קטן בכמות עצומה והכוכב מסתובב במהירות עצומה, 600 עד 800 סיבובים לשניה. להשוואה, סיבוב השמש סביב צירה הוא סיבוב אחד לחודש.

24. סטודנט יושב במנוחה על שרפרף היכול להסתובב על צירו. הסטודנט מחזיק בידו גלגל אופניים אופקי בעל מומנט התמד Iwhסביב מרכזו. לגלגל מהירות זוויתית wh. התנע הזוויתי של הגלגל Lwh מכוון כלפי מעלה. הסטודנט הופך את הגלגל. התנע הזוויתי הוא כעת -Lwh.ההיפוך גורם לסטודנט, לשרפרף ולגלגל להסתובב ביחד סביב ציר הסיבוב של השרפרף עם מומנט התמד Ib. מהי מהירות הסיבוב הזוויתית של השרפרף ובאיזה כיוון הוא מסתובב?

25. שימור התנע הזוויתי Lb -Lwh Lwh = +

26. ארבעה מוטות שמסת כל אחד M ואורכו d מחוברים לציר אנכי ומסתובבים סביבו בכיוון השעון במהירות זוויתית i. כדור בוץ שמסתו M / 3 ומהירותו viנעבמסלול שיוצר זווית בת º60 לאחת הזרועות ונדבק לקצה הזרוע. מהי המהירות ציר סיבוב i כדור 60º d הזוויתית הסופית fלאחר ההתנגשות? אין שימור אנרגיה קינטית. אין שימור תנע קווי.

27. יש שימור של תנע זוויתי. (הכוח על הציר אינו יוצר פיתול.) לכן יש לחשב את Its: fיכולה להיות חיובית או שלילית( i< 0 ).

28. שחזור של תאונה בה נפגעת מכונית נייחת מהצד: נתיחס למכונית כמוט שמסתו M ואורכו l במנוחה על משטח חסר חיכוך. מתקף Ft פועל במאונך למכונית במרחק l/3 מקצה המכונית. מה תהיה תנועת המכונית? תנועת המכונית מפורקת לתנועת מרכז המסה והסיבוב סביב מרכז המסה. תנועת מרכז המסה:

29. סיבוב סביב מרכז המסה: המכונית נעה ימינה במהירות vf ומסתובבת סביב מרכז המסה במהירות זוויתית 2vf/l.

30. פיתול על גלגל גלגל בעל מומנט התמד I מסתובב במהירות זוויתית ωבקצה ציר שאורכו l. קצהו השני של הציר נשען על תמיכה. N בזמן t = 0 התנע הזוויתי L = Iω הוא לאורך ציר x. כוח הכובד Mg פועל במרכז המסה. הפיתול על הגלגל כתוצאה מכוח הכובד הוא ותוספת התנע הזוויתי היא בכיוון ציר y.

31. התנע הזוויתי של הגלגל אחרי פרק זמן t יהיה אם t הוא קצר, זווית הנקיפה תהיה מהירות הסיבוב של הגלגל סביב צירו נשארת קבועה. המהירות הזוויתית של הנקיפה: חלק מתנועת הסביבון מתואר ע"י תופעת הנקיפה.