６三平方の定理

６三平方の定理 １章　三平方の定理 §１　三平方の定理　　　　　　　　（４時間）

§１三平方の定理 三平方の定理三平方の定理の逆 A 　直角三角形の直角をはさむ２辺の長さを a , b ,斜辺の長さを cとすると、次の関係が成り立つ。 c b a2＋b2＝c2 B a C A 　△ABC で、 BC＝a , CA＝b , AB＝c とするとき、次のことがいえる。 c b a2＋b2＝c2ならば、 ∠C＝90° B a C

《三平方の定理の証明１》 E D c2 A c b2 b F B a C a2 a2＋b2＝c2

《三平方の定理の証明１》 E D c2 A c b F B a C c2 a b ＝四角形EFCD－△ABC×4 b a 1 ＝(a＋b)2－―ab×4 2 ＝a2＋2ab＋b2－2ab a ＝a2＋b2 よって、 a2＋b2＝c2 b

《三平方の定理の証明２》 D E c2 A c b2 b B a C a2 a2＋b2＝c2

《三平方の定理の証明２》 D E c2 A c b B a C c2(青枠の四角形DEBA) ＝赤枠の四角形＋△ABC×4 1 ＝(a－b)2＋―ab×4 2 b ＝a2－2ab＋b2＋2ab a-b a ＝a2＋b2 よって、 a2＋b2＝c2

《三平方の定理の逆の証明》 『△ABCで、a2＋b2＝c2ならば、∠C＝90º 』 A 【証明】右の図の △ABC に対して、 B’C’＝a , C’A’＝b , ∠C＝90º であるような △A’B’C’をかき、 c b A’B’＝xとする。 B a C △A’B’C’は、∠C’＝90ºの直角三角形であるから、三平方の定理によって、 A’ a2＋b2＝x2 ･･････① x b また、仮定から、 a2＋b2＝c2 ･･････② ①、②から、 x2＝c2 B’ a C’ x , cは、ともに正の数だから、 x＝c したがって、AB＝A’B’ , BC＝B’C’ , CA＝C’A’となるから、 △ABC≡△A’B’C’ よって、 ∠C＝90º

《問題１》 　下の表には、直角三角形(ア)～(オ)の３辺の長さ a , b ,cが示されている。この表の空らんをうめなさい。ただし、cは斜辺の長さとする。 (ア) (イ) (ウ) (エ) (オ) a ３８ 10 b ５ 10 ５ c ５ 13 17 10

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