1 / 26

ВИСОКА ПОСЛОВНА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА ВАЉЕВО

ВИСОКА ПОСЛОВНА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА ВАЉЕВО. ШКОЛСКА 2011/12. ГОДИНА ПРОЛЕЋНИ СЕМЕСТАР НАСТАВНИ ПРЕДМЕТ: КВАНТИТАТИВНЕ МЕТОДЕ ТЕМА 3. ДИФЕРЕНЦИЈАЛНИ РАЧУН ВАЉЕВО, 20.0 2 .2012. НАСТАВНА ТЕМА 3. ИЗВОД ФУНКЦИЈЕ. ПРИМЕНА ИЗВОДА ФУНКЦИЈЕ: МОНОТОНОСТ И ЕКСТРЕМНЕ ВРЕДНОСТИ ФУНКЦИЈЕ И.

Télécharger la présentation

ВИСОКА ПОСЛОВНА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА ВАЉЕВО

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. ВИСОКА ПОСЛОВНА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА ВАЉЕВО ШКОЛСКА 2011/12. ГОДИНАПРОЛЕЋНИ СЕМЕСТАРНАСТАВНИ ПРЕДМЕТ:КВАНТИТАТИВНЕ МЕТОДЕТЕМА 3.ДИФЕРЕНЦИЈАЛНИ РАЧУНВАЉЕВО, 20.02.2012.

  2. НАСТАВНА ТЕМА 3. ИЗВОД ФУНКЦИЈЕ. ПРИМЕНА ИЗВОДА ФУНКЦИЈЕ: МОНОТОНОСТ И ЕКСТРЕМНЕ ВРЕДНОСТИ ФУНКЦИЈЕ И

  3. 1.1. ПРИРАШТАЈ ФУНКЦИЈЕ у Прираштај аргумента (у ознаци х) је вредност за коју се повећа аргумент (независно променљива х). Прираштај функције(у ознаци у) је вредност за коју се промени вредност функције док се аргумент повећа за х. y = f(x) f(а+Δx) y y f(a) Δx a а+Δx Δx х

  4. 1.2. ПОЈАМ ИЗВОДА ФУНКЦИЈЕ • Ако постоји (коначна) гранична вредност онда кажемо да је функција f диференцијабилна у тачки хо, а добијену граничну вредност називао изводом функције f у тачки хо и означавамо

  5. 1.2. ПОЈАМ ИЗВОДА ФУНКЦИЈЕ • Пример 1: Одредити по дефиницији извод следећих функција:

  6. 1.3. ТАБЛИЧНИ ИЗВОДИ ФУНКЦИЈА

  7. 1.6. ПРАВИЛА ДИФЕРЕНЦИРАЊА • Ако су f (х) и g(х) диференцијабилне функције у тачки х и ако су f ’(х) и g’(х) изводи датих функција, онда је:

  8. 1.6. ПРАВИЛА ДИФЕРЕНЦИРАЊА • Пример 2: Одредити изводе следећих функција:

  9. 1.7. ИЗВОД СЛОЖЕНЕ ФУНКЦИЈЕ • Ако је у сложена функција, тј. у = f(g(x)), тада је y’x = f ’g· g’x . • Пример 3: Одредити изводе следећих функција:

  10. 1.8. ДОМАЋИ ЗАДАТАК • Одредити изводе следећих функција:

  11. 1.8. ДОМАЋИ ЗАДАТАК • Одредити изводе следећих функција:

  12. 1.9. ПОЈАМ ДИФЕРЕНЦИЈАЛА ФУНКЦИЈЕ • Ако је функција у = f(x) диференцијабилна у тачки а, онда се линерана функција f ’(а)·(х – а) = f ’(a)x назива диференцијалом функције f(x) у тачки а и обележава dy = df(x) = f ’(a)x, тј. dy = df(x) = f ’(a)dx, или

  13. 1.10. ГЕОМЕТРИЈСКО ТУМАЧЕЊЕ ИЗВОДА И ДИФЕРЕНЦИЈАЛА у y = f(x) f(а+Δx) y y dy f(a) Δx a а+Δx Δx х

  14. Пример 4: Одредити диференцијал следећих функција:

  15. ПРИМЕНА ДИФЕРЕНЦИЈАЛА Како је то је . Пример 5. Користећи чињеницу да је f(x) = f’(x) = ex, као и једнакост eo = 1, израчунати е0,2.

  16. 1.11. ИЗВОДИ ВИШЕГ РЕДА • Нека је дата функција у = f(x) која има извод y’= f ’(x). • Извод дате функције је такође функција y’= f ’(x). • Извод дате функције може имати свој извод који се назива други извод функције и симболички означава са • Други извод функције се може написати и помоћу диференцијала функције другог реда, тј.

  17. Пример 6: Одредити други извод следећих функција:

  18. 1.12. ИЗВОДИ ВИШЕГ РЕДА • Ако се поступак ’’извођења’’ настави, тј. ако се израчуна извод другог извода функције у = f(x) која има први извод y’= f ’(x) и други извод y’’= f ’’(x), онда се добија трећи извод функције • Изложени поступак се може наставити до добијања п – тог извода функције при чему је

  19. Пример 7: Одредити трећи и четврти извод следећих функција: • Пример 8: Одредити п-тиизвод следећих функција:

  20. 1.13. МОНОТОНОСТ ФУНКЦИЈЕ • Нека је у = f(х) реална функција која на интервалу (а, b) има коначан или бесконачан први извод. Да би функција у = f(х) на интервалу (а, b) била * растућа довољно да у свакој тачки интервала (а, b) буде f`(х) >0 ; * опадајућа довољно да у свакој тачки интервала (а, b) буде f`(х) < 0 ; • Пример 1: Функције у = 5х + 7 и у = х3 + 8 су монотоно растуће. • Пример 2: Функције у = - 3х + 5 и у = 1/х су монотоно опадајуће.

  21. 1.14. ЕКСТРЕМНЕ ВРЕДНОСТИ ФУНКЦИЈА • Тачка х = а се назива стационарном тачком функције f (х) ако је f`(а) = 0. • Потребан услов да функција f (х) у тачки а има локални екстремум (минимум или максимим) је да је f`(а) = 0. • Тачка х = а је тачка локалног максимума функције f (х) ако је f`(а) = 0 и ако је функција f (х) лево од тачке а монотоно растућа, а десно од тачке а монотоно опдајућа. • Тачка х = а је тачка локалног минимума функције f (х) ако је f`(а) = 0 и ако је функција f (х) лево од тачке а монотоно опадајућа, а десно од тачке а монотоно растућа.

  22. Пример 9. Одредити монотоност и екстремне вредности функција: а) у = 17 b) y = 4x - 12 c) y = -15x + 6 d) y = x2 - 5 e) y = - x2 + 6x - 8 f) y = x3 – 3х

  23. ПРИМЕНА Пример 10. Добит фабрике аутомобила моделирана је функцијом у = – 0,8х2 + 128х - 100, где је х број произведених аутомобила (у хиљадама комада), а у добит у милионима динара. Када је добит највећа? Пример 11. Функција укупних трошкова фабрике хемијских оловки моделирана је функцијом у = ех(х– 4) + 84, где је х број произведених контејнера хемијских оловки, а у укупни трошкови у милионима динара. Када су укупни трошкови најмањи?

  24. 1.15. КОНВЕКСНОСТ ФУНКЦИЈЕ • Нека је у = f(х) реална функција која је на интервалу (а, b) два пута диференцијабилна • Ако је за свако х из интервала (а, b) f ``(х) >0, онда је функција f(х) је на интервалу (а, b) конвексна • Ако је за свако х из интервала (а, b) f ``(х) < 0, онда је функција f(х) је на интервалу (а, b) конкавна • Ако је у тачки а f ``(а) = 0 и ако у тачки а f```(х) мења знак, онда је (а, f(a)) превојна тачка функције f (х).

  25. Пример 11: Одредити конвексност и превојне тачке следећих функција: • a) у = 2005 • b) y = x + 2 • c) y = x2 – 8x + 12 • d) y = x3 - 3x • e) y = x4 + 1 • e)

More Related