M TODOS ESTAD STICOS

2. Revisión de los Conceptos Básicos de Probabilidad Tema 1

3. Contenido programático Espacio muestral y axiomas de probabilidad Probabilidad condicional e independencia Variables aleatorias discretas y continuas Medidas de tendencia central y dispersión Principales distribuciones discretas y continuas Variables aleatorias bidimensionales

4. Términos básicos Experimento: es el proceso de obtener una observación Eventos Simples: Cualquier resultado básico de un experimento. Un evento simple no se puede descomponer en resultados más simples. Ej.: ¿Cuáles son los eventos simples asociados al lanzamiento de un dado? ¿Cuáles al lanzamiento de dos dados? En la mia se inicia por espacio muestral, como está aquí se habla de el e. muestral sin definirlo. Cambiar.el orden.En la mia se inicia por espacio muestral, como está aquí se habla de el e. muestral sin definirlo. Cambiar.el orden.

5. Términos básicos Espacio Muestral: Es la colección de todos los eventos simples de un experimento. Ej.: ¿Cuál sería el espacio muestral asociado al lanzamiento de un dado? ¿Cuál al lanzamiento de dos dados? Evento: Conjunto de eventos simples. Subconjunto del espacio muestral. Ej.: Un evento de lanzar un dado puede ser: A : {1,3,5} Donde A sería el evento “obtener un número impar.”

6. Diagramas de Venn Los diagramas de Venn son útiles para representar probabilidades. Ej.: Probabilidad de pertenecer a uno cualquiera de tres conjuntos.

7. Operaciones elementales Unión El evento Unión (A ? B) consiste de todos los eventos simples que estan contenidos en A o B y en ambos. A ? B puede ser descrito como que ocurre por lo menos uno de los dos eventos A o B.

8. Operaciones elementales Intersección El evento Intersección (A n B) consiste de todos los eventos simples comunes de A y B. A n B puede ser descrito como que ocurren ambos eventos A y B.

9. Operaciones elementales Complemento El evento A’, llamado complemento de A, consiste de todos los eventos simples que no están en A. A’ significa que el evento A no ocurra.

10. Eventos Disjuntos Eventos disjuntos: Dos eventos son disjuntos si no pueden ocurrir al mismo tiempo, en otras palabras, ellos no tienen eventos simples en común. A y B son disjuntos si A n B = Ø En el siguiente diagrama de Venn A y B son disjuntos porque su intersección es el conjunto vacío. B y C no son disjuntos.

11. Interpretación frecuentista de Probabilidad Generalmente, la probabilidad de un evento puede pensarse como la proporción de veces que se espera que el evento ocurra.

12. Axiomas de la probabilidad Para cada evento A, se asigna la probabilidad del evento tal que: Axioma 1: 0 = P(A) = 1 Axioma 2: P(S ) = 1 Axioma 3: Si A1, A2, A3, ..., An son disjuntos dos a dos: P(A1 ? A2 ? A3 ?...An) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + … P(An) Caso particular: Dos eventos disjuntos cualesquiera A y B, P(A ? B ) = P(A) + P(B) Caso particular: Dos eventos disjuntos cualesquiera A y B, P(A ? B ) = P(A) + P(B)

13. Eventos complementarios Si el evento A no ocurre, decimos que su complemento A’ ha ocurrido y viceversa. Las probabilidades de A y A’ estan relacionadas por la fórmula: P(A’) = 1 – P(A)

14. Regla general de la suma La probabilidad de la unión de dos eventos es: P(A ? B) = P(A) + P(B) - P(A n B) Para 3 conjuntos: P(A ? B ? C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A n B) - P(A n C) - P(B n C) +P(A n B n C)

15. Operaciones elementalesEjercicio

16. Ejercicio Quitar o cambiarQuitar o cambiar

17. Ejercicio

18. Ejercicio

19. Probabilidad Condicional Sean A y B dos eventos y P(B) > 0. La probabilidad condicional de A con respecto a B es la probabilidad de que ocurra A sabiendo que ocurre B: Hay ocasiones en las que nos interesa alterar nuestra estimación de la probabilidad de un evento cuando poseemos información adicional que podría afectar el resultado. Esta probabilidad modificada se denomina probablidad condicional del evento. (Mendenhall) En ocasiones, el conjunto de todos los resultados posibles puede constituir un subconjunto del conjunto universal. En otras palabras, la población de interés se puede reducir mediante algun subconjunto de condiciones no aplicables a la población total. Cuando se calculan las probabilidades con un subconjunto del conjunto universal como denominador, eñ resultado es una probabilidad condicional.Hay ocasiones en las que nos interesa alterar nuestra estimación de la probabilidad de un evento cuando poseemos información adicional que podría afectar el resultado. Esta probabilidad modificada se denomina probablidad condicional del evento. (Mendenhall) En ocasiones, el conjunto de todos los resultados posibles puede constituir un subconjunto del conjunto universal. En otras palabras, la población de interés se puede reducir mediante algun subconjunto de condiciones no aplicables a la población total. Cuando se calculan las probabilidades con un subconjunto del conjunto universal como denominador, eñ resultado es una probabilidad condicional.

20. Probabilidad Condicional

21. Ejercicio

22. Probabilidad Condicional Hay ocasiones en las que nos interesa alterar nuestra estimación de la probabilidad de un evento cuando poseemos información adicional que podría afectar el resultado. Esta probabilidad modificada se denomina probablidad condicional del evento. (Mendenhall) En ocasiones, el conjunto de todos los resultados posibles puede constituir un subconjunto del conjunto universal. En otras palabras, la población de interés se puede reducir mediante algun subconjunto de condiciones no aplicables a la población total. Cuando se calculan las probabilidades con un subconjunto del conjunto universal como denominador, eñ resultado es una probabilidad condicional.Hay ocasiones en las que nos interesa alterar nuestra estimación de la probabilidad de un evento cuando poseemos información adicional que podría afectar el resultado. Esta probabilidad modificada se denomina probablidad condicional del evento. (Mendenhall) En ocasiones, el conjunto de todos los resultados posibles puede constituir un subconjunto del conjunto universal. En otras palabras, la población de interés se puede reducir mediante algun subconjunto de condiciones no aplicables a la población total. Cuando se calculan las probabilidades con un subconjunto del conjunto universal como denominador, eñ resultado es una probabilidad condicional.

23. Eventos independientes Dos eventos A y B son independientes si la probabilidad de que ocurra uno no afecta la ocurrencia del otro

25. Eventos independientes

26. Encuesta encubierta Se desea determinar el porcentaje de homosexuales en el Zulia. Dado que el ser homosexual no es ampliamente aceptado en la sociedad no podemos hacer preguntas directas, para ello utilizamos ítems del tipo: Es homosexual o es fumador, de manera que la persona conteste con honestidad. Por ejemplo: Si Ud. fuma o es homosexual responda la siguiente pregunta … Es importante que el evento de interés, en este caso ser homosexual, sea relacionado con eventos independientes de él, tales como ser fumador, hacer deporte, etc.

27. Encuesta encubierta P(F) Probabilidad de ser fumador (Conocida) P(H) Probabilidad de ser homosexual (Buscada) F y H son eventos independientes P(F ? H) = P(F) + P(H) – P(F n H) [Unión] P(F ? H) = P(F) + P(H) – P(F)*P(H) [F y H Independientes] Despejamos P(H) y resulta:

30. Teorema de Probabilidad Total A1, A2,…, A6, forman una partición del espacio muestral.

31. Teorema de Bayes. Ejercicio Cambiar por uno que tenga más sentidoCambiar por uno que tenga más sentido

32. Teorema de Bayes Por definición de probabilidad condicional se tiene: Hacer notar que el denominador es P(B) y viene de la lámina anteriorHacer notar que el denominador es P(B) y viene de la lámina anterior

33. Teorema de Bayes Hacer notar que el denominador es P(B) y viene de la lámina anteriorHacer notar que el denominador es P(B) y viene de la lámina anterior

34. Teorema de Bayes Para el caso de una partición en dos conjuntos A y AC: Hacer notar que el denominador es P(B) y viene de la lámina anteriorHacer notar que el denominador es P(B) y viene de la lámina anterior

35. Teorema de Bayes. Ejercicio

36. Teorema de Bayes. Ejercicio

37. Teorema de Bayes. Ejercicio

39. Variables Aleatorias Ejemplos de variables aleatorias son: Número de años que un recién nacido va a vivir Número de hembras en familias de 3 hijos Con frecuencia el interés recae en resumir con un número el resultado de un experimento aleatorio. … Ya que el resultado de un experimento no se conoce con anticipación, sucede lo mismo con el valor de la variable. Por esta razón, la variable que asocia un número con el resultado de un experimento aleatorio se conoce como variable aleatoria.Con frecuencia el interés recae en resumir con un número el resultado de un experimento aleatorio. … Ya que el resultado de un experimento no se conoce con anticipación, sucede lo mismo con el valor de la variable. Por esta razón, la variable que asocia un número con el resultado de un experimento aleatorio se conoce como variable aleatoria.

40. Variables Aleatorias Las variables aleatorias tienen asociada una estructura de probabilidad que se caracteriza por la distribución de probabilidad Con frecuencia el interés recae en resumir con un número el resultado de un experimento aleatorio. … Ya que el resultado de un experimento no se conoce con anticipación, sucede lo mismo con el valor de la variable. Por esta razón, la variable que asocia un número con el resultado de un experimento aleatorio se conoce como variable aleatoria.Con frecuencia el interés recae en resumir con un número el resultado de un experimento aleatorio. … Ya que el resultado de un experimento no se conoce con anticipación, sucede lo mismo con el valor de la variable. Por esta razón, la variable que asocia un número con el resultado de un experimento aleatorio se conoce como variable aleatoria.

42. Variables Aleatorias Discretas Una Variable Aleatoria X es Discreta si el conjunto de valores que toma es finito o, si es infinito, puede ordenarse en una secuencia que se corresponda con los números naturales. Ejemplo: El número de artículos defectuosos en una selección de 4 artículos de entre 240 El número de trabajos recibidos por un centro de cómputo en un día

43. Variables Aleatorias Discretas Ejemplo: Una pareja decide tener hijos hasta que nazca un varón o 5 hembras. Sea la variable aleatoria número de hembras

44. Variable aleatoria número de hembras

45. Variable aleatoria número de hembras

46. Eliminar los requisitos no dependen de que sea discretaEliminar los requisitos no dependen de que sea discreta

53. Probabilidades Si la Variable X es discreta: Prob( X = k ) = F(k) Prob( h = X = k )= F(k) - F(h-1) Prob( X > k ) = 1 - F(k) Prob( X = k )= F(k) - F(k-1) Prob( X < k ) = F(k-1)

54. Variables Aleatorias Continuas Una Variable aleatoria X es continua si el conjunto de valores que toma es uno o más intervalos de la recta real. Su distribución de probabilidad está caracterizada por la función de densidad f:

56. Distribución de Probabilidad Con el propósito de calcular probabilidades, se tabula esta Función de Distribución Acumulada.

59. Función de Distribución Acumulada Si f(x) es la función de densidad su distribución acumulada está dada por:

63. Probabilidades Si la Variable es X continua: Prob( X = a ) = F(a) Prob( a < X = b )= F(b) - F(a) Prob( X > a ) = 1 - F(a)

64. Medidas de Tendencia Central Para una Variable Aleatoria X es necesario establecer su valor medio, (Valor Esperado), y cómo se dispersa respecto de su valor medio (Varianza).

65. Valor esperado Si X es discreta se define el Valor Esperado E(X):

68. Mediana La mediana es el número donde la distribución acumulada vale ½. F(mediana)=1/2 Si la distribución es simétrica la media y la mediana coinciden.

69. Medidas de Dispersión

70. Medidas de Dispersión Si X es discreta se define la varianza V(X):

71. Medidas de Dispersión

72. Medidas de Dispersión

73. Distribuciones continuas de distinta Varianza

74. Varianza Distribución Normal Si dos poblaciones tienen una altura promedio de 1,7 m., pero la primera presenta una desviación estándar de 0,5 y la segunda de 1,5. ¿Qué diferencia se observaría entre una y otra población? ¿En cuál esperaríamos encontrar un mayor porcentaje de personas de menos de 1,6 m?

78. Ejemplo de Distribuciones Discretas Una pareja decide tener hijos hasta que nazca un varón o 5 hembras. Si esta conducta es adoptada por todos los marabinos, ¿se altera el orden natural acerca del equilibrio entre hombres mujeres? ¿Cuál sería el número promedio (valor esperado) de hembras y varones de cada pareja?

79. Solución del Ejemplo

80. Solución del Ejemplo

82. Valor Esperado Decisiones: Inversiones Riesgo y Ganancia Lotería Seguro

83. Distribuciones Discretas

85. Distribución Binomial Características: Hay n ensayos independientes. El resultado de cada ensayo es éxito (E) o fracaso (F). La probabilidad p de éxito es constante en los ensayos. Distribución asociada al muestreo con reemplazo.

86. Distribución Binomial Parámetros: n, p. Variable aleatoria: Número x de éxitos en los n ensayos. Valor esperado: ¿? Varianza:

87. Distribución Binomial Parámetros: n, p. Variable aleatoria: Número x de éxitos en los n ensayos. Valor esperado: E(X)= n p Varianza: V(X)= n p (1-p)

88. Gráfica de Distribución Binomial

90. ocultarocultar

91. ocultarocultar

93. Cambiar por enfermeras que se presentan al hospital del sur como asistentes de cirugía. Y la probabilidad en 0.05 Cambiar por enfermeras que se presentan al hospital del sur como asistentes de cirugía. Y la probabilidad en 0.05

97. Cambiar por enfermeras que se presentan al hospital del sur como asistentes de cirugía. Y la probabilidad en 0.05 Cambiar por enfermeras que se presentan al hospital del sur como asistentes de cirugía. Y la probabilidad en 0.05

98. Ejemplo de Hipergeométrica ¡El KINO! NP = 25 Favorables = K = 15 Se elige una muestra de 15 ¿Cuál es la probabilidad de que x sea 12, 13, 14, 15?

99. Distribución Hipergeométrica Características: Población de tamaño NP, K de ellos son ”especiales”. Si se selecciona una muestra aleatoria de n elementos ¿?cuál es la probabilidad de que en ésta se hallen x elementos ”especiales”? Muestreo sin reemplazo.

100. Distribución Hipergeométrica

101. Distribución Hipergeométrica Sea p= K/NP la proporción de elementos favorables en la población: Valor esperado: E(X) = ? Varianza:

102. Distribución Hipergeométrica Sea p= K/NP la proporción de elementos del tipo A en la población: Valor esperado: E(X)= n p Varianza: Cuando la fracción de muestreo n/NP es “pequeña”, la hipergeométrica se puede aproximar por la binomial con parámetros p y n.

106. Distribución de Poisson Eventos que ocurren con cierta velocidad en el tiempo (número de casos semanales de Dengue en el hospital del sur), o en el espacio (número de camarones por m3 en el Lago de Maracaibo).

107. Distribución de Poisson Parámetros: ? promedio de ocurrencias del suceso por unidad de tiempo o espacio. Variable aleatoria: Número x de ocurrencias del suceso en la unidad de tiempo o espacio (x = 0, 1, 2, ...). Valor esperado: E(X)= ? Varianza: V(X)=

108. Distribución de Poisson Parámetros: ? promedio de ocurrencias del suceso por unidad de tiempo o espacio. Variable aleatoria: Número x de ocurrencias del suceso por unidad de tiempo o espacio (x = 0, 1, 2, ...). Valor esperado: E(X)= ? Varianza: V(X)= ?

110. Distribución de Poisson

111. Ejemplo de Distribución de Poisson Si la media del número de casos semanales de Dengue en un hospital es 1.3, ¿Cuál es la probabilidad de que en una semana se presenten 5 o más casos de Dengue? ? = 1.3 x = 4 = 5-1

112. Ejemplo de Distribución de Poisson Si la media del número de casos semanales de Dengue en un hospital es 1.3, ¿Cuál es la probabilidad de que en una semana se presenten 5 o más casos de Dengue? ? = 1.3 1 – F(4) = 1 – (P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4))

113. Distribución de Poisson Características: Se utiliza como aproximación al modelo binomial cuando n es grande y p pequeño (ley de los sucesos raros). p < 0.1 np < 5, tomando como parámetro ? = np También se conoce como “la distribución de los sucesos raros”

114. Distribuciones Continuas

115. Distribución Normal Importancia La distribución Normal es indudablemente la distribución continua fundamental, tanto por sus aplicaciones como por el rol que juega dentro de la Teoría Estadística. Es la piedra angular de la Inferencia ya que muchas estadísticas muestrales tienden hacia la distribución Normal cuando el tamaño de la muestra crece. Enfoque original: Moivre, ca. 1738-1756 Posteriormente: Karl Gauss, 1855 También es conocida como distribución Gaussiana

116. Distribución Normal Características Tiene forma de campana Es simétrica con respecto a la media Es Continua Las dos colas (extremos) de una distribución normal de probabilidad se extienden de manera indefinida y nunca tocan el eje horizontal.

117. Distribución Normal Función de Densidad Se afirma que una variable aleatoria X es Normal N(µ,s2) si su función de densidad está dada por:

118. Normal Estándar

119. Gráfica de Distribución Normal

121. Normal Estándar Si X es N(µ,s2) entonces: Z = (X-µ)/s es N(0,1) se designa como Normal Estándar. Esta propiedad permite relacionar la función de distribución acumulada de X con la de Z, ya que: Prob( X = w ) = Prob ( Z = (w-µ)/s ).

124. Normal Estándar P(Z < 0) = ? P(Z > 0) = ?

125. Normal Estándar

127. ocultar? a) 0.3415 b) < 0,11 c) 0.9938 d) 0.383ocultar? a) 0.3415 b) < 0,11 c) 0.9938 d) 0.383

128. a) 0.1525 b) a) 0.1525 b)

129. c) 1.14 umc) 1.14 um

130. Distribución Gamma Características Valores positivos Asimetría hacia la derecha Muy versátil, dependiendo del valor de los parámetros adopta formas muy distintas Dos distribuciones fundamentales son casos particulares de ella: Exponencial y Chi-cuadrado. “Se utiliza en problemas de líneas de espera para representar el intervalo total para completar una reparación, si esta se lleva a cabo en subestaciones”. “Existen algunos ejemplos que no siguen el patrón anterior, pero que se aproximan de manera adecuada mediante el empleo de la distribución gamma, como los ingresos familiares y la edad del hombre al contraer matrimonio por primera vez” “Se utiliza en problemas de líneas de espera para representar el intervalo total para completar una reparación, si esta se lleva a cabo en subestaciones”. “Existen algunos ejemplos que no siguen el patrón anterior, pero que se aproximan de manera adecuada mediante el empleo de la distribución gamma, como los ingresos familiares y la edad del hombre al contraer matrimonio por primera vez”

131. Distribución Gamma Parámetros ?: Parámetro de escala a: Parámetro de forma Función de Densidad:

132. Distribución Gamma

133. Distribución Gamma

135. Distribución Exponencial Parámetro T Función de Densidad: ELIIMINAR o escoger una de las dos formulaciones alternativasELIIMINAR o escoger una de las dos formulaciones alternativas

136. Distribución Exponencial Parámetro ? Función de Densidad: ELIIMINAR o escoger una de las dos formulaciones alternativasELIIMINAR o escoger una de las dos formulaciones alternativas

137. Distribución Exponencial Función de Densidad (alternativa):

138. Distribución Exponencial Función de Probabilidad Acumulada:

139. Distribución Exponencial Función de Probabilidad Acumulada:

140. Exponencial media = 40

141. Exponencial media = 40

142. Ejemplo de Distribución Exponencial Si la Esperanza de vida de un suazi es de 40 años ¿Cuál es la probabilidad de vivir más de 60 años?

150. Distribución Beta Características: Se la utiliza para representar variables aleatorias cuyos valores se encuentran restringidos a intervalos de longitud finita.

151. Distribución Beta Parámetros : a y ß ambos parámetros de forma. Función de densidad : Es 0 en todas partes salvo en el intervalo [0,1] donde está definida por:

152. Distribución Beta Valor esperado: a/(a + ß) Varianza : a ß/(a + ß)2(a + ß + 1) Función de distribución acumulada: Es la función de distribución acumulada definida para todo x en (0,1). MATLAB: betacdf(x, a, ß)

153. Gráfica de Distribución Beta

155. Distribución Uniforme Continua Características: La distribución uniforme o rectangular tiene densidad constante en un intervalo [a, b] y vale 0 fuera del mismo. 

156. Parámetros: a y b Función de densidad: f(x)= ? en [a, b] 0 en el resto Valor esperado: ? Varianza: Distribución Uniforme Continua

157. Parámetros: a y b Función de densidad: f(x)= 1/(b-a) en [a, b] 0 en el resto Valor esperado: (a + b)/2 Varianza: (b – a)2/12 Distribución Uniforme Continua

158. Distribución Uniforme Continua Poner un ejemplo después lo elegimos que sea de saludPoner un ejemplo después lo elegimos que sea de salud

159. Distribución Uniforme Continua

160. Distribución Uniforme Continua

161. Distribuciones de Probabilidad Conjuntas

168. Covarianza

171. Covarianza

177. Sean X y Y dos variables aleatorias que representan el volumen de ventas en dólares de los productos A y B, respectivamente. Por hipótesis: E(X)=10000 desv (X)=2000 E(Y)=8000 desv(Y)=1000 De esta forma se tiene: E(0.1X + 0.15Y) = 0.1*E(X) + 0.15*E(Y) = $2.200 Var(0.1 X + 0.15 Y) = 0.01Var(X) + 0.0225 Var(Y) = 62500 (Esto porque Var(aX)=a2Var(X)) Luego, la desviación estándar es de $250. (Libro de Canavos)Sean X y Y dos variables aleatorias que representan el volumen de ventas en dólares de los productos A y B, respectivamente. Por hipótesis: E(X)=10000 desv (X)=2000 E(Y)=8000 desv(Y)=1000 De esta forma se tiene: E(0.1X + 0.15Y) = 0.1*E(X) + 0.15*E(Y) = $2.200 Var(0.1 X + 0.15 Y) = 0.01Var(X) + 0.0225 Var(Y) = 62500 (Esto porque Var(aX)=a2Var(X)) Luego, la desviación estándar es de $250. (Libro de Canavos)

180. Correlación Positiva Si la correlación es 1, todas las observaciones se encuentran alineadas en una recta.

182. Algunos resultados sobrevalores esperados y varianzas Si X e Y son variable aleatorias y k es una constante entonces: E(k X)= k E(X) V(k X)= k2 V(X) E(X+Y)= E(X) + E(Y) Además si X e Y son independientes: V(X + Y) = V(X - Y) = V(X) + V(Y)

187. Correlación y Causalidad

188. FIN DE PROBABILIDAD