第 3 章控制系统的时域分析

第3章控制系统的时域分析 控制系统在典型输入信号作用下的动态过程的品质及稳态性能直接表征了系统的优劣。系统的时域响应可定性或定量分析系统的动态性能。系统的稳定性是系统正常工作的首要条件，系统的稳定性完全由系统自身的结构和参数决定，而与系统的输入无关，它是系统的固有特性。介绍了如何用MATLAB和SIMULINK进行瞬态响应分析。内容提要

线性定常一阶、二阶系统的时域响应及动态性能的计算，高阶系统的主导极点，偶极子及高阶系统的降阶。系统稳定的定义，稳定的充分必要条件及代数判据。系统稳态精度的衡量及降低稳态误差的途经。线性定常一阶、二阶系统的时域响应及动态性能的计算，高阶系统的主导极点，偶极子及高阶系统的降阶。系统稳定的定义，稳定的充分必要条件及代数判据。系统稳态精度的衡量及降低稳态误差的途经。知识要点

目录 • 3.1 时域响应及典型输入信号 • 3.2 一阶系统的时域响应 • 3.3 二阶系统的时域响应 • 3.4 高阶系统的瞬态响应 • 3.5 线性系统的稳定性分析 • 3.6 线性系统的稳态误差计算 • 3.7 用MATLAB和SIMULINK进行瞬态响应分析

3.1 时域响应及典型输入信号 对于一单输入单输出n阶线性定常系统，可用一n阶常系数线性微分方程来描述。

系统在输入信号r(t)作用下，输出c(t)随时间变化的规律，即式(3-1)微分方程的解，就是系统的时域响应。系统在输入信号r(t)作用下，输出c(t)随时间变化的规律，即式(3-1)微分方程的解，就是系统的时域响应。由线性微分方程理论知，方程式的解由两部分组成，即 c(t)=c1(t)+c2(t) c1(t)——对应齐次微分方程的通解 c2(t)——非齐次微分方程的一个特解

对于一个实际系统其输入信号往往是比较复杂的,而系统的输出响应又与输入信号类型有关。因此,在研究自动控制系统的响应时,往往选择一些典型输入信号,并且以最不利的信号作为系统的输入信号,分析系统在此输入信号下所得到的输出响应是否满足要求。对于一个实际系统其输入信号往往是比较复杂的,而系统的输出响应又与输入信号类型有关。因此,在研究自动控制系统的响应时,往往选择一些典型输入信号,并且以最不利的信号作为系统的输入信号,分析系统在此输入信号下所得到的输出响应是否满足要求。常采用的典型输入信号有： 3.1.1 阶跃函数它的数学表达式为：

它表示一个在时出现的，幅值为的阶跃变化函数，如图所示。在实际系统中，如负荷突然增大或减小，流量阀突然开大或关小均可以近似看成阶跃函数的形式。它表示一个在时出现的，幅值为的阶跃变化函数，如图所示。在实际系统中，如负荷突然增大或减小，流量阀突然开大或关小均可以近似看成阶跃函数的形式。

A=1的函数称为单位阶跃函数，记作1(t)。因此，幅值为 A 的阶跃函数也可表示为出现在时刻的阶跃函数，表示为

它的数学表达式为 斜坡函数从t =0时刻开始，随时间以恒定速度增加。如图所示。A=1时斜坡函数称作单位斜坡函数。 3.1.2 斜坡函数（等速度函数）斜坡函数等于阶跃函数对时间的积分，反之，阶跃函数等于斜坡函数对时间的导数。

它的数学表达式为 曲线如图所示。当A=1时，称为单位抛物线函数。抛物线函数是斜坡函数对时间的积分。 3.1.3 抛物线函数（等加速度函数）

它的曲线如图所示，数学表达式为 其面积为A。即 3.1.4 脉冲函数面积A表示脉冲函数的强度。的脉冲函数称为单位脉冲函数，记作，即

于是强度为A的脉冲函数可表示为。 表示在时刻出现的单位脉冲函数，即单位脉冲函数是单位阶跃函数的导数.

它的数学表达式为 式中A为振幅，ω为角频率，正弦函数为周期函数。 3.1.5 正弦函数当正弦信号作用于线性系统时，系统的稳态分量是和输入信号同频率的正弦信号，仅仅是幅值和初相位不同。根据系统对不同频率正弦输入信号的稳态响应，可以得到系统性能的全部信息。

3.1.6 控制系统时域响应的性能指标 1 .稳态性能指标采用稳态误差ess来衡量，其定义为：当时间t 趋于无穷时，系统输出响应的期望值与实际值之差。即

2.动态性能指标 1)．上升时间tr：从零时刻首次到达稳态值的时间,即阶跃响应曲线从t=0开始第一次上升到稳态值所需要的时间。

2). 峰值时间tp：从零时刻到达峰值的时间，即 阶跃响应曲线从t=0开始上升到第一个峰值所需要的时间.3).最大超调量Mp：阶跃响应曲线的最大峰值与稳态值的差与稳态值之比，即

4). 调整时间ts：阶跃响应曲线进入允许的误差带(一般取稳态值附近±5%或±2%作为误差带)并不再超出该误差带的最小时间，称为调整时间(或过渡过程时间)。5). 振荡次数：在调整时间ts内响应曲线振荡的次数。

3.2一阶系统的时域响应 3.2.1 数学模型能够用一阶微分方程描述的系统为一阶系统，其传递函数为其中T——一阶系统的时间常数

3.2.2 单位阶跃响应 当r(t)=1(t)时，一阶系统的输出c(t)称为单位阶跃响应，记作h(t)。

时间增长，无稳态误差

(t0) 性质： 1）T 暂态分量 瞬态响应时间 极点距离虚轴 2）T 暂态分量瞬态响应时间 极点距离虚轴

3）斜率: t=T c(t)=63.2% 实验法求T t=3T c(t)=95% 允许误差 5% 调整时间ts=3T t=4T c(t)=98.2% 允许误差 2% 调整时间ts=4T

3.2.3 性能指标 1.调整时间ts经过时间3T～4T，响应曲线已达稳态值的95%～98%，可以认为其调整过程已完成，故一般取ts=(3～4)T。 2. 稳态误差ess系统的实际输出h(t)在时间t趋于无穷大时，接近于输入值，即 3. 超调量Mp一阶系统的单位阶跃响应为非周期响应，故系统无振荡、无超调，Mp=0。

3.2.4 一阶系统的单位脉冲响应 当输入信号r(t)=δ(t)时，系统的输出称为单位脉冲响应，记为g(t)。当r(t)=δ(t)，即R(s)=1时，有

一阶系统的单位斜坡响应 (t0)

性质： 1）经过足够长的时间(≥4T)，输出增长速率近似与输入相同； 2）输出相对于输入滞后时间T； 3）稳态误差=T。

线性定常系统的一个性质 对于一阶系统输入信号微分响应微分输入信号积分响应积分积分时间常数由零初始条件确定。

典型二阶系统结构图 3.3 二阶系统的时域响应 3.3.1 二阶系统的数学模型典型二阶系统的结构图如图所示，其闭环传递函数为或

其中ζ ——系统的阻尼比 ωn——系统的无阻尼自然振荡角频率 ——系统振荡周期系统的特征方程为特征根为

3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应 1.当ζ>1时，系统有两个不相等的负实根，称为过阻尼状态。两个不相等的负实根为单位阶跃响应

当时， 当时，系统的过渡过程时间可近似为系统的超调量过阻尼二阶系统单位阶跃响应

2. 当0<ζ<1时，系统有一对实部为负的共轭复根，称为欠阻尼状态。在欠阻尼状态下，系统的两个闭环极点为一对共轭复极点，即其中，称为阻尼振荡角频率。

单位阶跃响应 也可写成式中

(t0) 衰减系数：

(t0) 无稳态误差；含有衰减的复指数振荡项: 其振幅衰减的快慢由ξ和ωn决定振荡幅值随ξ减小而加大。

欠阻尼状态下系统 单位阶跃响应 • 上升时间tr • 其中 • (2) 峰值时间tp

(3) 最大超调量Mp (4) 调整时间ts 误差带范围为±5% 误差带范围为± 2% (5) 振荡次数N

临界阻尼系统阶跃响应 3. 当阻尼比ζ=1时，系统的特征根为两相等的负实根，称为临界阻尼状态。此时系统在单位阶跃函数作用下，单位阶跃响应为，系统的超调量Mp=0，调节时间 (对应误差带为5%)

4. 当阻尼比ζ=0时，系统特征根为一对纯虚根，称为无阻尼状态。系统特征根单位阶跃响应为

几点结论 1）二阶系统的阻尼比ξ决定了其振荡特性： ξ < 0时，阶跃响应发散，系统不稳定； ξ = 0时，出现等幅振荡 0<ξ<1时，有振荡，ξ愈小，振荡愈严重，但响应愈快， ξ≥ 1时，无振荡、无超调，过渡过程长；

2）ξ一定时，ωn越大，瞬态响应分量衰减越迅速，系统能够更快达到稳态值，响应的快速性越好。2）ξ一定时，ωn越大，瞬态响应分量衰减越迅速，系统能够更快达到稳态值，响应的快速性越好。 3) 当时，系统的超调量，调节时间也最短，即平稳性和快速性最佳，故称为最佳阻尼比。 4）系统的超调量和振荡次数仅仅由阻尼比决定，他们反映了系统的平稳性。 5）工程中，二阶系统多设计成欠阻尼情况，并且经验取之间。

3.3.3 二阶系统的单位脉冲响应 1.脉冲响应及脉冲响应函数当系统输入信号为单位脉冲函数δ(t)时，系统的响应为单位脉冲响应，记为g(t)。

2. 脉冲响应与阶跃响应的关系 系统的单位阶跃响应是该系统单位脉冲响应的积分，或系统的单位脉冲响应是该系统单位阶跃响应的导数。即或

3. 二阶系统的单位脉冲响应 当ζ>1时当0<ζ<1时当ζ=1时当ζ=0时

(t0) 欠阻尼：0< <1 无阻尼：=0 临界阻尼：=1 过阻尼：>1

(a) (b) 例原控制系统如图(a)所示，引入速度反馈后的控制系统如图(b)所示，已知在图(b)中，系统单位阶跃响应的超调量Mp%=16.4%，峰值时间tp=1.14s，试确定参数K和Kt，并计算系统在(a) 和(b)的单位阶跃响应h(t)。

解对于系统(b)，其闭环传递函数为 与典型二阶系统相比较，有而已知Mp=16.4% tp=1.14s 根据求得

求得将代入其单位阶跃响应为

对于系统(a)，其闭环传递函数为 与典型二阶系统比较有系统的最大超调量峰值时间其单位阶跃响应为

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