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第四章 级 数

第四章 级 数. By 付小宁. a. a. {. }. 也称复数列. 收敛于. n. 第一节 复数项级数. 一、复数列的极限. 复数列收敛等同于极限存在. 1.定义. 记作. 2. 复数列收敛的条件. 证. 那末对于任意给定的. 就能找到一个正数 N ,. 从而有. 所以. 同理. 反之, 如果. 定理一说明 : 可将复数列的敛散性转化为判别两. 个实数列的敛散性. 从而有. [证毕]. 二、级数的概念. 1.定义. 表达式. 称为复数项无穷级数. 部分和. 其最前面 n 项的和. 称为级数的部分和.

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第四章 级 数

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  1. 第四章 级 数 By 付小宁

  2. a a { } . 也称复数列 收敛于 n 第一节 复数项级数 一、复数列的极限 复数列收敛等同于极限存在 1.定义 记作

  3. 2.复数列收敛的条件 证 那末对于任意给定的 就能找到一个正数N,

  4. 从而有 所以 同理 反之, 如果

  5. 定理一说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两 个实数列的敛散性. 从而有 [证毕]

  6. 二、级数的概念 1.定义 表达式 称为复数项无穷级数. 部分和 其最前面 n项的和 称为级数的部分和.

  7. 收敛与发散 与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散性的基本方法是: 说明:

  8. 2.复数项级数收敛的条件 定理二 证 因为

  9. 复数项级数的审敛问题 (定理二) 实数项级数的审敛问题 判断 所以原级数发散.

  10. ? 启示: 判别级数的敛散性时, 可先考察 必要条件 重要结论: 级数发散; 应进一步判断.

  11. 3. 绝对收敛与条件收敛 定理三 注意 应用正项级数的审敛法则判定.

  12. 证 由于 而 根据实数项级数的比较准则, 知

  13. 由定理二可得 [证毕]

  14. 如果收敛, 那末称级数为绝对收敛.   + + 2 2 2 2 a a b b a b ≤ ≤ n n n n n n 定义 非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数. 由于

  15. 三、典型例题 例1 下列数列是否收敛, 如果收敛, 求出其极限. 解 而

  16. 解 所以数列发散.

  17. 例2 级数满足必要条件, 解 但 Note: 级数收敛与数列收敛不同

  18. 例3 解 因为 所以由正项级数的比值判别法知: 故原级数收敛, 且为绝对收敛.

  19. 例4 解 故原级数收敛. 所以原级数非绝对收敛.

  20. 思考题 思考题答案 否.

  21. = { f ( z )} ( n 1 , 2 , ) 为一复数序列 L n 0 第二节 幂级数 一、幂级数的概念 1.复变函数项级数 定义 其中各项在区域D内有定义.表达式 称为复变函数项级数, 记作

  22. 级数最前面n项的和 称为这级数的部分和. 和函数

  23. 如果级数在D内处处收敛, 那末它的和一定 称为该级数在区域D上的和函数.

  24. 当 或 2. 幂级数 函数项级数的特殊情形 或 这种级数称为幂级数.

  25. 如果级数 在 那末对 收敛, 满足 在 的 如果 级数必绝对收敛, 的 级数发散, 那末对满足 级数必发散. 二、幂级数的敛散性 1.收敛定理 (阿贝尔Abel定理)

  26. 证 由收敛的必要条件, 有 因而存在正数M, 使对所有的n,

  27. 而 收敛. 由正项级数的比较判别法知: 另一部分的证明用反证法. [证毕]

  28. 2. 收敛圆与收敛半径 对于一个幂级数, 其收敛半径的情况有三种: (1) 对所有的正实数都收敛. 据阿贝尔定理， 级数在复平面内处处绝对收敛. 例如, 级数 总有 对任意固定的z, 从某个n开始, 于是有 故该级数对任意的z均收敛.

  29. 例如,级数 (3) 既存在使级数发散的正实数, 也存在使级数收 敛的正实数. (2) 对所有的正实数除 z=0 外都发散. 此时, 级数在复平面内除原点外处处发散. 通项不趋于零, 故级数发散. 如图:

  30. 幂级数 的收敛范围是以原点为中心的圆域. 收敛圆 收敛半径 . .

  31. 问题1: 幂级数 的收敛范围是何区域? 答案: 问题2: 幂级数在收敛圆周上的敛散性如何? 在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出一般的结论, 要对具体级数进行具体分析. 注意

  32. 例如, 级数: 收敛圆周上无收敛点; 在收敛圆周上处处收敛.

  33. 对幂级数 成立。 3. 收敛半径的求法 方法1: 比值法(定理二): 那末收敛半径 方法2: 根值法(定理三) 那末收敛半径 如果 (与比值法相同) 说明： 公式

  34. 三、幂级数的运算和性质 1.幂级数的有理运算

  35. 如果当 又设在 时, 内 那末当 解析且满足 时, 2. 幂级数的代换(复合)运算 说明: 此代换运算常应用于将函数展开成幂级数.

  36. 定理四 设幂级数 的收敛半径为 那末 (1) 是收敛圆 内的解析函数 . 在收敛圆 内的导数可将其幂 (2) 级数逐项求导得到, 3. 复变幂级数在收敛圆内的性质

  37. (3) 在收敛圆内可以逐项积分, 即 简言之: 在收敛圆内, 幂级数的和函数解析; 幂级数可逐项求导, 逐项积分. (常用于求和函数)

  38. 四、典型例题 例1 求下列幂级数的收敛半径 解

  39. (1) 解 (1) (并讨论在收敛圆周上的情形) 例2 求下列幂级数的收敛半径: (2) (并讨论 时的情形) 因为 或

  40. 所以收敛半径 即原级数在圆 内收敛, 在圆外发散, 在圆周 级数 上, 收敛的 级数 所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.

  41. 原级数成为 原级数成为 (2) 收敛. 交错级数, 调和级数， 发散. 说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点, 也有 级数的发散点.

  42. 例3 求 的收敛半径. 解 所以

  43. 把函数 表成形如 的幂 例4 级数, 其中 是不相等的复常数 . 把函数 写成如下的形式: 凑出 代数变形 , 使其分母中出现 解

  44. 级数收敛, 且其和为

  45. 例5 求级数 的收敛半径与和函数. 解 利用逐项积分,得: 所以

  46. 例6 计算 解

  47. 定理 设 在区域 为 内解析, 内的一 为 到 的边界上各点的最短距离, 那末 点, 当 成立, 时, 其中 第三节 泰勒级数 一、泰勒定理 能否用幂级数来表达解析函数？ 泰勒展开式 泰勒级数

  48. 说明: 1.复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多; (想一想, 为什么?) 4.任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的. (为什么?)

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