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Astrogebra. l'orbite de Mars par Kepler. La détermination de l’orbite elliptique de Mars par Kepler. Contexte historique. Le Soleil, la Lune et les planètes appelés « astres errants » ont attiré l’attention des hommes qui ont élaboré divers modèles pour interpréter leurs mouvements.

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    Presentation Transcript
    1. Astrogebra l'orbite de Mars par Kepler La détermination de l’orbite elliptique de Mars par Kepler

    2. Contexte historique • Le Soleil, la Lune et les planètes appelés « astres errants » ont attiré l’attention des hommes qui ont élaboré divers modèles pour interpréter leurs mouvements. • Le système de PTOLEMEE (IIème siècle de notre ère) a prévalu jusqu’au XVIIème siècle et consistait à placer la Terre au centre du monde et à en faire un corps fixe. • L’astronome polonais Nicolas COPERNIC (1473–1543) proposa une représentation héliocentrique du système solaire montrant le double mouvement des planètes sur elles-mêmes et autour du Soleil, théorie condamnée par le Pape comme contraire aux Ecritures. • Un siècle plus tard, l’astronome allemand Jean KEPLER (1571-1630) , convaincu que la distribution, la forme et les dimensions des orbites n’étaient pas dues au hasard mais régies par des lois, entreprit de les découvrir à partir des observations précises de TYCHO BRAHE dont il avait été le disciple. C’est ainsi qu’il établit une très belle théorie concernant l’orbite de Mars et qu’il énonça les trois lois dites lois de Kepler. L'orbite de Mars par Kepler

    3. Principe de la méthode de Kepler • Pour un objet inaccessible, la méthode des parallaxes, qui consiste le viser à partir de deux sites différents, permet de déterminer la distance qui le sépare de l’observateur. • Kepler a utilisé cette méthode pour situer Mars par rapport à la Terre, la planète étant beaucoup plus près de nous que le fond du ciel avec les étoiles constituant le décor. • Cependant la distance de Mars à la Terre est telle que, même en se plaçant en deux points diamétralement opposés de la Terre, on ne pourrait voir Mars sous deux angles sensiblement différents. Il a alors imaginé de viser Mars depuis deux positions différentes de la Terre sur son orbite, ce qui permet d'avoir des lieux d'observation assez éloignés. • Pour faire ces mesures, il faut que Mars soit dans les deux cas à la même place dans le repère héliocentrique de Copernic. • Or Mars comme la Terre se déplace constamment ; il faut donc que les deux mesures soient faites à un intervalle de temps égal à la durée que met Mars pour faire un tour complet et que l'on appelle « révolution sidérale de Mars ». L'orbite de Mars par Kepler

    4. Au temps t1 L'orbite de Mars par Kepler

    5. Au temps t2 = T1 + 1 période de Mars Mars est revenu à la même place et la Terre a fait un tour de plus L'orbite de Mars par Kepler

    6. Période synodique La méthode de Kepler demande la connaissance de la période sidérale de Mars. La révolution sidérale ne peut pas être déterminée directement, mais elle peut être calculée à partir de la révolution synodique observable depuis la Terre. Celle-ci est calculée par la période synodique qui, elle, est directement observable. Pour sauter le calcul de la période synodique période sidérale passer à Tracé de l’orbite de Mars L'orbite de Mars par Kepler

    7. Révolution sidérale et révolution synodique La révolution sidérale ne peut pas être déterminée directement, mais elle peut être calculée à partir de la révolution synodique observable depuis la Terre. Révolution synodique : intervalle de temps qui s'écoule entre deux passages successifs d'une planète dans une situation déterminée par rapport au Soleil et à la Terre. Cette période est calculable à partir d’observations de positions de planètes à des dates déterminées. relation période synodique – période sidérale Pour une planète extérieure Pour une planète intérieure L'orbite de Mars par Kepler

    8. Mesure de la période synodique Observation des temps d’opposition La mesure de la période synodique de Mars consiste à repérer les dates successives de ses oppositions. On en déduit la période synodique. Les orbites de la Terre et surtout de Mars sont elliptiques. Les intervalles de temps entre plusieurs oppositions successives peuvent être assez différentes. La période synodique est une moyenne sur une période assez grande des intervalles de temps entre oppositions successives. L'orbite de Mars par Kepler

    9. Mesure de la période synodique Observation des temps d’opposition On peut utiliser l’observations des configurations Mars – Soleil soit avec : • un planétarium (Skyglobe ou autre) en repérant les moments des alignements lors des oppositions ou conjonctions lorsque l’on fait défiler le temps. • Les temps observés peuvent être imprécis. • un calculateur d’éphémérides (ICE ou serveur de l’IMCCE) et chercher par interpolation soit • le moment où les longitudes géocentriques de la planète et du Soleil sont égales pour la conjonction • le moment où elles sont déphasées de 180° pour les oppositions. • et inversement si l’on utilise les longitudes héliocentriques. L'orbite de Mars par Kepler

    10. Mesure de la période synodique Temps des oppositions : • Temps des oppositions avec Skyglobe • configuré à Londres, • face au Sud, • à minuit en hiver ou 1 heure en été. Sans toucher à l’heure, avancer ou reculer le temps de mois en mois d’abord, puis de jour en jour à l’approche de l’opposition jusqu’à ce que Mars soit dans le méridien. Comme le Soleil ne passe pas tous les jours de l’année rigoureusement à minuit dans le demi-méridien nord l’indication de date est légèrement approchée. On peut l’obtenir avec plus de précision en recherchant par petits sauts l’instant où les ascensions droites des deux astres diffèrent exactement de 12 heures. L'orbite de Mars par Kepler

    11. Mesure de la période synodique Temps des oppositions avec les éphémérides On peut chercher à tâtons la date précise où les longitudes du Soleil et de Mars sont exactement opposées. Méthode fastidieuse et longue. Il est plus facile de faire calculer aux alentours de l’opposition les longitudes de Mars et du Soleil sur quelques jours et par un graphique ou un calcul formel d’interpolation, de trouver la date. programme ICEou autres ou http://www.imcce.fr/page.php?nav=fr/ephemerides/formulaire/form_ephepos.php Ce travail peut être fait soustableur Excelet l’utilisation duprogramme ICE. L'orbite de Mars par Kepler

    12. Mesure de la période synodique Temps des oppositions avec les éphémérides Heliocentric Coordinates of MARS Date Time Long Lat Dist Julian Date Year Mon Da h m s ø ' " ø ' " AU 2453685.50000 2005 Nov 11 0 00 00 47 05 22.2 - 0 04 51.9 1.4654601 2453686.50000 2005 Nov 12 0 00 00 47 39 10.1 - 0 03 46.5 1.4666980 2453687.50000 2005 Nov 13 0 00 00 48 12 54.5 - 0 02 41.1 1.4679400 2453688.50000 2005 Nov 14 0 00 00 48 46 35.6 - 0 01 35.9 1.4691859 2453689.50000 2005 Nov 15 0 00 00 49 20 13.2 - 0 00 30.7 1.4704357 Heliocentric Coordinates of EARTH Date Time Long Lat Dist Julian Date Year Mon Da h m s ø ' " ø ' " AU 2453685.50000 2005 Nov 11 0 00 00 48 42 06.5 + 0 00 00.4 .9900451 2453686.50000 2005 Nov 12 0 00 00 49 42 26.1 + 0 00 00.3 .9898078 2453687.50000 2005 Nov 13 0 00 00 50 42 47.1 + 0 00 00.2 .9895744 2453688.50000 2005 Nov 14 0 00 00 51 43 09.6 0 00 00.0 .9893453 2453689.50000 2005 Nov 15 0 00 00 52 43 33.6 - 0 00 00.1 .9891206 Il reste à interpoler pour trouver le moment précis de l’opposition. Ici égalité des longitudes en coordonnées écliptiques géocentriques. Ce travail peut être fait soustableur Excelet l’utilisation duprogramme ICE. L'orbite de Mars par Kepler

    13. Période synodique La mesure de la période synodique demande à calculer des intervalles de temps entre deux dates. Rien de plus simple en utilisant un calendrier avec années bissextiles et des mois irréguliers ! Exercice : nombre de jours écoulés entre le jour de la rentrée scolaire et le dernier jour de cette année scolaire. 1er septembre 2004 et 1er juillet 2005 Les astronomes (et autres) utilisent une datation qui consiste simplement à compter les jours un à un. Le jour julien L'orbite de Mars par Kepler

    14. Utilisation de ICE Trouver les coordonnées écliptiques d’une planète ou du Soleil à une date • Entrer la date (F1/F1) • Donner le nom du fichier de sortie (F2) • Faire faire le calcul (F3/F3) L'orbite de Mars par Kepler

    15. Utilisation de ICE Trouver les coordonnées écliptiques d’une planète ou du Soleil à une date • Entrer la date (F1) : ouverture du menu : • Entrer la date (F1) avec le format exact (décimales non obligatoire) • Donner le nombre de ligne de calcul (F5) • Sortir du menu (F7) L'orbite de Mars par Kepler

    16. Utilisation de ICE Trouver les coordonnées écliptiques d’une planète ou du Soleil à une date • Faire le calcul en coordonnées héliocentriques (F3) / (F3) : Mars Terre (earth) • Sortir (F10) • Récupérer le fichier de données • pour les insérer dans le fichier excel oppositions_mars.xls L'orbite de Mars par Kepler

    17. Utilisation de ICE 782,26 jours On obtient pour la période synodique : et la période sidérale : 685,17 jours Valeurs officielles de l’UAI : 779,936 jours et 686,980 jours L'orbite de Mars par Kepler

    18. Tracé de l’orbite de Mars Observations de Mars utilisées par Kepler Données dans le fichier excel : data_kepler.xls Classement par couples pour le tracé géométrique ? Résultats fichier excel : data_kepler_res.xls L'orbite de Mars par Kepler

    19. Tracé de l’orbite de Mars Couples d’observations de Mars utilisées par Kepler Tracé des points des orbites de la Terre et de Mars ? L'orbite de Mars par Kepler

    20. Mars O Méthodes Manuelle Analytique Semi manuelle (IRIS) Geogebra L'orbite de Mars par Kepler

    21. lSoleil LTerre = lSoleil-180 Tracé d’un couple d’observations L’orbite de la Terre est prise circulaire, r = 60 mm. • Sur une feuille blanche ou millimétrée, on trace : • - le centre (O), emplacement du Soleil • la direction Og, origine des directions Terre On utilise le rapporteur pour placer la Terre aux première et deuxième positions. LTerre = lSoleil +/- 180° Mars Avec le rapporteur, on trace la direction Terre Mars, angle lMars De même pour la deuxième observation. O Le point de l’orbite de Mars est à l’intersection des deux directions. On recommence pour les autres couples d’observations. L'orbite de Mars par Kepler

    22. Tracé d’un couple d’observations L’orbite de la Terre est prise circulaire, r = 60 mm. • Sur une feuille blanche ou millimétrée, on trace : • - le centre (O), emplacement du Soleil • la direction Og, origine des directions Terre On utilise le rapporteur pour placer la Terre aux première et deuxième positions. LTerre = lSoleil +/- 180° Mars Avec le rapporteur, on trace la direction Terre Mars, angle lMars De même pour la deuxième observation. O Le point de l’orbite de Mars est à l’intersection des deux directions. On recommence pour les autres couples d’observations. L'orbite de Mars par Kepler

    23. Orbite de Mars A l’aide de la feuille transparente • on recherche le meilleur ajustement d’un des cercles. • noter le rayon et la position du centre. • le rayon trouvé donne le demi grand axe a de l’orbite de Mars exprimé en rayons de l’orbite terrestre. • la distance Soleil-centre du cercle donne la valeur de c de l’ellipse de l’orbite de Mars • de c et a on en déduit l’excentricité e. L'orbite de Mars par Kepler

    24. Méthode analytique Positions de Mars à partir des deux observations. Coordonnées des points T1 et T2 : On exprime les équations des droites Terre-Mars aux deux positions : Intersection des deux droites : L'orbite de Mars par Kepler

    25. Résultats Rayon orbite Terre : 60 mm Programmation dans excel : fichier kepler_calculs.xls Programmation dans excel : fichier kepler_calcul_res.xls L'orbite de Mars par Kepler

    26. Mesure du rayon de l’orbite de Mars et de son excentricité Points reportés sur un graphique : même méthode que par rapporteur et cercles concentriques. Construction d’une image avec les points positionnés. Cette image peut être traitée par IRIS (imaorbite.jpg). Utilisation de la fonction Photométrie d’ouverture. (Analyse / Photométrie d’ouverture) Cette fonction permet d’ajuster, à la souris, un cercle de rayon donné. On mesure pour les points de la Terre et de Mars, les rayons et les positions des centres des cercles qui s’ajustent au mieux aux points des orbites. L'orbite de Mars par Kepler

    27. Mesure du rayon de l’orbite de Mars et de son excentricité avec IRIS Traitement par IRIS d’imaorbite.jpg • On mesure pour les points de la Terre et de Mars, • les rayons • les positions des centres des cercles qui s’ajustent au mieux aux points des orbites. Données à rentrer dans le fichier excel : kepler_iris.xls Construire les formules pour arriver aux résultats Résultats -> L'orbite de Mars par Kepler

    28. Terre Mars Mesure du rayon de l’orbite de Mars et de son excentricité avec IRIS • On mesure pour les points de la Terre et de Mars • les rayons • les positions des centres des cercles qui s’ajustent au mieux aux points des orbites. L'orbite de Mars par Kepler

    29. Tracé de l’orbite de Mars Peut-on justifier l’utilisation de cercles à la place des ellipses ? Avec un rayon de l’orbite de la Terre de 60 mm et de 92 mm pour Mars et des excentricités de 0,01671 et 0,090 de Mars Quelles est la différence grand axe – petit axe de chaque ellipse ? Programmation dans excel : fichier kepler_iris.xls feuille 2 Résultats dans le fichier kepler_iris_res.xls feuille 2 Terre Mars a 60 90 e 0,01671 0,09340 b 59,992 91,598 (a-b) 0,01 mm 0,40 mm La différence correspond au tracé de l’épaisseur - d’un trait fin pour la Terre - d’un trait un peu épais pour Mars. L'orbite de Mars par Kepler

    30. L’orbite de Kepler avec Géogébra Fichier : keplomars_depart.ggb Les données de départ sont les mêmes mises dans la partie tableur. A l’aide du tableur trouver les couples qui correspondent à la période synodique. 1 - Repérer les configurations Terre Soleil Mars semblables Comment ? Colonne I faire les différences de longitudes Soleil-Mars. Recherche des couples de même élongation au Soleil - 17 février 1585 et 28 mars 1787 769 jours - 5 janvier 1587 et 12 février 1789 769 jours - 19 septembre 1591 et 7 décembre 1793 810 jours 2 – noter les espaces de temps les séparant Moyenne : 782.7 jours 3 - Calculer la période sidérale de Mars P = 684,6 jours 686.98 jours L'orbite de Mars par Kepler

    31. Recherche des couples d’observation séparés par une période sidérale Les dates doivent différer d’environ une période sidérale de Mars. Dans les colonnes J, K et L faire les différences des dates jours juliens entre les observations de deux en deux (col. J), de trois en trois (col. K) et de quatre en quatre (col. K) Se servir du tableur pour trouver les couples 1 - 17/02/1585 et 05/01/1587 2 - 10/03/1585 et 26/01/1587 3 - 28/03/1588 et 12/02/1589 4 - 19/09/1591 et 06/08/1593 5 - 07/12/1593 et 25/10/1595 L'orbite de Mars par Kepler

    32. Orbite de la Terre Placer le Soleil au centre : point S S = (0,0) Dessiner l’orbite de la Terre On assimilera l’orbite de la Terre à une orbite circulaire. C_T = Cercle[S,1] Le cas d’une orbite légèrement elliptique sera abordée à la fin. L’origine des longitudes héliocentriques est l’axe des x. L'orbite de Mars par Kepler

    33. Construction des points de l’orbite de Mars Pour chaque couple, on choisira : • une couleur • un bouton logique de visibilité des droites et intersection la construction L'orbite de Mars par Kepler

    34. Construction point 1 de la Terre Coul : (0,102,204) flg_1 Longitude Terre/Soleil = long. Soleil/Terre+180° Dates 17/02/1585 et 05/01/1587 • 17/02/1585 T_1=(1;159.38°) ou T_1=Intersection[C_T,DemiDroite[S,Vecteur [S,(-cos(G4*pi/180),-sin(G4*pi/180))]]] • 05/01/1587 T'_1=(1;115.21°) ou T'_1=Intersection[C_T,DemiDroite[S,Vecteur [S,(-cos(G6*pi/180),-sin(G6*pi/180))]]] L'orbite de Mars par Kepler

    35. Construction premier point de Mars Construction des directions vers Mars : T1 : H4 (135.12°) et T’1 : H6 (182.08°) Direction de Mars de T1 d1=DemiDroite[T_1,vecteur[S,cos(H4*pi/180),sin(H4*pi/180))]] Direction de Mars de T’1 d’1=DemiDroite[T_1,vecteur[S,(cos(H6*pi/180),sin(H6*pi/180))]] Mettre la condition de visibilité flg_1 Position de Mars : M_1=Intersection[d1,d'1] Construire les quatre autres points. L'orbite de Mars par Kepler

    36. Tracé des points de l’orbite de Mars L'orbite de Mars par Kepler

    37. Recherche de l’orbite Supposition : l’orbite elliptique est très proche d’un cercle On recherchera l’ajustement • du meilleur cercle • qui passe au mieux des cinq points Ce cercle est déterminé par : son centre C de coordonnées : xC et yC Son rayon r L'orbite de Mars par Kepler

    38. Méthode sous Geogebra A partir d’un cercle donné, proche des points • calcul la distance des points au cercle • somme des carrés de ces distances appelée excès E. Si le cercle passe par tous les points, E est nul. En faisant varier la position du centre et le rayon du cercle, on va chercher à minimiser cet excès E. Pour la variation des trois paramètres, on crée trois curseurs : x_C y_C r On tracera le cercle et apparaître son centre C Calcul de l’excès E  L'orbite de Mars par Kepler

    39. Calcul de l’excès I1 est à l’intersection de CM1 et du cercle. I1 I_1=Intersection[DemiDroite[M_1,C],c_M] Mesure de MI1 L_1=Longueur[Vecteur[I_1,M_1]] Idem pour M2, M3… E=L_1^2+L_2^2+L_3^2+L_4^2+L_5^2 Affichage avec un texte : "E=" + E Propriété texte : mettre 10 décimales, taille 14 et Gras L'orbite de Mars par Kepler

    40. Ajustement du cercle On agit sur les trois curseurs En itérant jusqu’à ce que E soit minimal. On agira successivement sur xC, yC, r et l’on recommencera par xC… Les curseurs varient doucement lorsqu’on les sélectionne à la souris et que l’on agit sur les touches flèches . Pour faire varier un curseur de façon très progressive lui donner dans les Propriétés un incrément de 0 (minimum). L'orbite de Mars par Kepler

    41. Calcul des éléments de l’orbite Tracer le grand axe de l’orbite de Mars gaxe=Droite[C,S] Demi-grand axe a : Créer les points d’intersection J1 et J2 du cercle cM et gaxe J=Intersection[gaxe,c_M] Le demi-grand axe = CJ1 a=Longueur[Vecteur[C,J_1]] Excentricité : e_M=Longueur[Vecteur[C,S]]/a Longitude du périhélie : Lper = Angle[Vecteur[(0, 0), (1, 0)], Vecteur[C, S]] Afficher a, e et Lper. L'orbite de Mars par Kepler

    42. Résultats Géogébra : Littérature : a = 1,524 e = 0,09340 lg per = 336,1° Et si l’on tient d’une orbite elliptique de la Terre ? L'orbite de Mars par Kepler

    43. Orbite elliptique de la Terre L’orbite de la terre sera toujours considérée comme un cercle L’orbite ne sera plus centrée sur le Soleil Position du centre avec ? eT = 0.01671 lT : 102,94° a = 1  c = 0.01671 Position de CT : xT = c cos(lT + 180°) x_T=e*cos(l_T+180°) yT = c sin(lT + 180°) y_T=e*sin(l_T+180°) Cercle orbite Terre : c_T= (x_T,y_T) L'orbite de Mars par Kepler

    44. Orbite elliptique de la Terre Positions des points T1, T’1, T2, … Comme dans le cas précédent : Intersection demi-droite ST et cercle T_1=Intersection[c_T,DemiDroite[S,vecteur[(0,0), (-cos(G4*pi/180),-sin(G4*pi/180))]]] Le reste est inchangé. Il suffit de refaire l’ajustement qui minimise l’excès E. L'orbite de Mars par Kepler

    45. Nouveaux résultats Version 2 Version 1 Littérature a = 1,524 e = 0,09340 lg per = 336,1° Les mesures de Tycho Brahé étaient bonnes ! L'orbite de Mars par Kepler

    46. . . . . . FIN L'orbite de Mars par Kepler