第八章非线性控制系统

第八章非线性控制系统 Nonlinear Control System

内容提要 §8.1 概述 §8.2 相平面图 §8.3 奇点和极限环 §8.4 非线性系统的相平面图分析 §8.5 非线性特性的描述函数 §8.6 用描述函数分析非线性系统

§8.1 概述 • 典型非线性特性 • 非线性系统的运动特点 • 非线性系统的研究方法

一、典型非线性特性 (一)饱和非线性 (Saturation nonlinear) 输出 M 近似饱和特性实际饱和特性 -t 0 t 输入 -M

一、典型非线性特性 输出 K -h 0 h K 输入 (二)死区非线性 (Dead zone nonlinear)

一、典型非线性特性 输出 K -b 0 b 输入 (三)间隙非线性 (Backlash nonlinear)

(四)继电器型非线性 输出输出 M M -h 0 0 h 输入输入 -M -M (a) (b) 输出输出 M M -h -mh -h 0 h 0 mh h 输入输入 -M -M (c) (d) (On-off nonlinear)

二、非线性系统的运动特点 (一)稳定性与系统的结构和参数及系统的输入信号和初始条件有关。研究时应注意： 1、系统的初始条件； 2、系统的平衡状态。

二、非线性系统的运动特点 e(t) 某些非线性系统的零输入响应形式与系统的初始状态有关。 E 0 t (二)系统的零输入响应形式

二、非线性系统的运动特点 (三)极限环（自激振荡）非线性系统，在初始状态的激励下，可以产生固定振幅和固定频率的周期振荡，这种周期振荡称为非线性系统的自激振荡或极限环。

系统微分方程： K ′ K ′ <0 =0 非线性弹簧 K e(t) K′ >0 M 重物 3 ′ M +B +Kx+ x =0 K 振幅粘性阻尼器 B . . . x x 0 频率 (四)频率响应

′ K 3 M +B +Kx+ x =Pcoswt . . . x x 系统进行强迫振荡实验时的微分方程是：

x x 2 5 >0 <0 K ′ K ′ 6 3 1 5 2 1 3 4 4 6 ω0 ω ω0 ω 0 0 具有硬弹簧的机械系统具有软弹簧的机械系统频率响应

三、非线性系统的研究方法 • 相平面法(Phase-plane technique) • 适用于一阶、二阶系统 • 描述函数法(Describing function technique) • 是一种等效线性化方法 • 计算机仿真(Computer simulation)

§8.2 相平面图 相平面法(Phase-plane technique)是庞卡莱(H. Poincare)提出来的一种用图解法求解一阶、二阶微分方程的方法，它实质上属于状态空间分析法在二维空间中的应用，该方法适合于研究二阶系统。

一、相平面图的基本概念 二阶系统令x1=x, x2= . x

x2= B C A x1=x . x 以相变量x1和x2为坐标构成平面，称为相平面 (phase plane)。在相平面上，由(x1，x2)以时间为参变量构成的曲线，称为相轨迹 (phase trajectory)。

二、相平面图的绘制 对于二阶系统－ f (x, ) f(x, ) =0 + 以x, 为相变量，可得到相轨迹通过点的斜率 (x, ) . . . . . . x x x x x x . . d x = dx

(一)相平面图的特点 f (x, ) f (x, ) a. 关于轴对称 = = f (-x, ) f (-x, ) －－或 . . . . . . . . x x x x x x x x 即f(x, )是关于x的奇函数。 1、对称性

即f(x, )是的偶函数。 . . x x . . f (x, ) f (x, - ) x . x . f (x, - ) f (x, ) x x = 或 = . . x x － b、关于x轴对称

. f (x, ) x = . x －即 f(x, )= -f(-x,- ) . . x x f (-x, - ) － . x . x c、关于原点对称

(一)相平面图的特点 • 普通点相平面上不同时满足 =0和f(x, )=0的点。 • 奇点相平面上，同时满足 =0和f(x, )=0的点。 . . . . x x x x 2. 奇点和普通点

(一)相平面图的特点 在x轴上，所有点都满足 =0。除奇点外相轨迹在x轴上的斜率为－ f (x, ) . . . . x x x x 所以，除了奇点外，相轨迹和x轴垂直相交。 d =∞ = dx 3.相轨迹通过x轴的斜率

(一)相平面图的特点 4.相轨迹移动的方向 • 在相平面的上半平面，系统状态沿相轨迹由左向右运动； • 在下半平面，系统状态沿相轨迹由右向左运动。 • 系统状态沿相轨迹的移动方向由相轨迹上的箭头表示。

(二)绘制相平面图的解析法 . x =g(x) 相轨迹方程

例8.1 . 试绘制二阶系统 x x0 0 积分得相轨迹方程 x 的相平面图解：系统方程改写为

(三)绘制相平面图的图解法——等倾线法(Isocline method) • 图解法是通过逐步作图的方法，不必解出微分方程，而把结果直接描绘在相平面上。 • 常用的图解法有等倾线法和园弧近似法。 • 在等倾线法中，首先用等倾线来确定相平面中相轨迹斜率的分布，然后再绘制相轨迹曲线。

d dx / d = dx －所有相轨斜率 =常量a的点，构成了等斜率线即等倾线。 f(x, ) f(x, ) 等倾线方程为 . . . . . . x x x x x x a =- 相轨迹的斜率方程为给定一组a值，可求得一组等倾线族。利用等倾线族，可以确定相平面中任意一点相轨迹的斜率。

. x d dx / 改写为： a=-1 a=-1.2 A a=-1.4 a=-1.6 B a=-1.8 C a=-2 D 令 = a a=-2.5 E a=-3 a=-4 a=-6 得等倾线方程： a=-11 x a=9 a=4 . a=2 x a=1 a=0.5 a=0 a=-0.2 a=-0.4 a=-1 设系统方程为

例8.2 . x 求的相平面图上半平面的等倾线方程： <0 >0 x 1 + a + x=0 -a + x=0 + a | |+ x=0 x =- . . . . . . a+ a . . . . . . x x x x x x x x x 解：

三、由相轨迹求时间响应曲线 . . dx x x = dt 由 dx dt = • 根据系统的相轨迹可以采用图解计算的方法，从相轨迹逐步求出时间信息，从而获得系统的时间响应曲线x(t)。 • 这里我们介绍一种称为按平均速度求时间信息Dt的方法。

. x AB A B BC x C CD D D ΔxCD C ΔxBC B ΔxAB x A t ΔxBC . . . ΔxCD x x x ΔxAB ΔtCD ΔtAB ΔtBC

§8.3 奇点和极限环 =0 + －相轨迹的斜率可表示为 f (x, ) f(x, ) f (x, ) d = dx 在奇点处，相轨迹的斜率不确定，即同时满足 . . . . . . x x x x x x =0 . . =0 x 一、奇点(Singular point)

二、奇点的类型 只要在奇点邻域内满足线性化条件，则系统方程可表示为： f (x, ) . x

(1) 0＜x ＜1 . x • 系统的奇点为稳定焦点(Stable focus) jω x σ • 两个实部为负的共轭复根

(2) 0＞x ＞-1 . x • 系统的奇点为不稳定焦点(Unstable focus) jω x σ • 两个实部为正的共轭复根

(3) x ＞1 . x • 系统的奇点为稳定节点(Stable node) jω x σ • 两个负实根

(4) x ＜-1 . x • 系统的奇点为不稳定节点(Unstable node) jω x σ • 两个正实根

(5) x ＝0 . x • 系统的奇点为中心点(Center) jω x σ • 两个实部为零的共轭复根

. (6) x • 系统的奇点为鞍点(Saddle point) jω x σ • 两个异号实根

三、极限环 • 极限环(limit cycle)是非线性系统所特有的自激振荡现象，在相平面图中表现为一个孤立的封闭轨迹。

. . x x • 极限环内外的相轨迹曲线都收敛于该极限环。 • 极限环内外的相轨迹曲线都从极限环发散。 x x (1)稳定极限环 (2)不稳定极限环

(3)半稳定极限环 . . x x • 极限环分割的两个区域都是稳定的，或都是不稳定的。 x x

例8-3 . x 4 在奇点(0,0)处，系统的线性化方程为 f (x, ) +0.5 +2x+x2=0 在(xi ,0)奇点附近，系统的线性化方程为求得奇点 2 (0,0)和(-2,0) 2 4 x -4 +0.5 +(2+2xi)x=0 -2 +0.5 +2x=0 +0.5 -2x=0 在奇点(-2,0)处，系统的线性化方程为 . . . . . . x x x x x x =0 . . . . . . . . =0 x x x x 分析如下系统的稳定性解：

§8.4 非线性系统的相平面分析 一、继电型控制系统的分析 • 根据非线性的线性分段情况，把相平面分成几个区域。 • 在各区域内，求出相应的线性微分方程，做出各自的相平面图。 • 根据连续性，将相邻区域的相轨迹彼此连接成连续曲线，即得非线性系统的相平面图。

K . . r e +M m c s(Ts+1) e e 在区域Ⅰ内 -M 在区域Ⅱ内 e>0, m=M，元件特性为：当e＞0时,m = M;当e＜0时,m = -M.因此分界线为直线e = 0。它把相平面分成两个线性区Ⅰ区、Ⅱ区。 e<0, m=-M 系统方程为： Ⅱ Ⅱ Ⅰ Ⅰ 系统方程为： T + =-KM T + =-KM T + =KM A2 -KM/T = 与等倾线方程： e e a+1/T A0 比较, . . . . e e e e A1 其相平面图 . . . . . . 对称于原点 e e e

m . M e 若继电元件有滞环特性 -Δ Δ e 其左半平面，系统在-M信号作用下，系统方程为：其右半平面，系统在+M信号作用下，系统方程为： -M 在＞0时的平面内，分界线为e = +D。在＜0时的平面内，分界线为e = -D。它们把相平面分为两部分。 T + =-KM T + =KM Ⅱ Ⅰ 相轨迹为曲线族Ⅰ。相轨迹为曲线族Ⅱ 。 e . . e e . . . . & & e e e e

. m e M 在区域Ⅱ内在区域Ⅰ内 -Δ Δ e 元件特性为：分界线为 e = +D和 e = -D，它们将相平面分为三个区域 -M Ⅱ Ⅰ T + =KM T + =-KM 当 e＞D , m = + M 当 e＜-D , m = - M 当 -D＜e＜D , m = 0 Ⅲ 相轨迹斜率为： e . . . 在区域Ⅲ内 e e e . . . . . . e e e T + =0 若继电元件有死区

二、非线性增益控制系统分析 x 1 3 2 t 0 系统阶跃响应在线性系统中，增益的选择需要兼顾调节时间，超调量及振荡次数等性能指标。在线性系统中只能选取折中方案。若采用非线性校正，则可能得到较好效果。

r e m c GN 系统方程可写为 ke |e|<e0 T + +Km= e |e|> e0 m T + =Km k 1 - e0 m= K 0 e0 t s(Ts+1) . . . T + c r e . . . . . . r e c e=r -c

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