Ingeniería de la Salud IMAGEN BIOMEDICA Matemáticas de los sistemas de imagen biomédica (II)

1. Ingeniería de la SaludIMAGEN BIOMEDICA Matemáticas de los sistemas de imagen biomédica (II) 2013-14

2. Métodos de adquisión de imágenes médicas • Rayos- X • Tomografía Computerizada (CT o CAT) • Resonancia Magnética o nuclearMRI (or NMR) • PET / SPECT (Positron Emission Tomography, Single Photon Emission Computerized Tomography) • Ultrasound • Computational

3. RayosX

4. Rayos-X, Física • Los rayos-X se asocian con elctrones de la capa interna del átomo. • Como los electrones desaceleran cuando chocan con el objetivo, emiten una radiación electromagnética en forma de rayos-X. • Se posiciona al paciente entre la fuente de rayos-X y un film _> radiografías • Barato y relativamente fácil de usar • Potencialmente peligroso para el tejido biológico

5. RAYOS-X • Rayos-X • Similar a la luz visible, pero con mayor cantidad de energía

6. Rayos-X-Visibilidad • Los huesos contienen átomos pesados -> con muchos electrones, actuando como un absorbedor de rayos-X. • Usado comunmente para visualizar estructuras de hueso y pulmones. • Excelente para detectar cuerpos metálicos extraños • Principal desventaja: pérdida de la estructura anatómica • Todos los demas tejidos tienen un coeficiente de absorción similar de rayos-X

7. Rayos-X - Imágenes Los rayos-X pueden ser usados en tomografía computerizada

8. Tomografía Axial Computerizada

9. Escaner CT(CAT) y su matemática más relevante • Introducción a los escaneres CT • Algoritmos de reconstrucción • Problemas básicos de reconstrucción a partir de proyecciones • Reconstrucciones simples usando álgebra lineal • El teorema de cortes de Fourier • Backproyección (normal y filtrada)

10. Diagnosis médica no-invasiva basada en TC • Computer tomography CT (From Jain’s Fig.10.1) An X-ray CT scannng system Un sistema de escaner CT

11. Diagnosis médica no-invasiva basada en TC La fuente y dectector se mueven alrededor del cuerpo humano (From Bovik’s Handbook Fig.10.2.1)

12. Conjunto de proyecciones (integraciones) a través de diferentes ángulos de una sección transversal. Cada proyección pierde la resolución de su estructura interna. Tipo de mediciones transmisión (rayosX), emisión, resonancia magnética (MRI) Se quiere recuperar la estructura interna a partir de las proyecciones Diagnosis médica no-invasiva basada en TC

13. Diagnosis médica no invasiva basada en Tomografía de emisiones • La tomografía de emisiones (PET)mide los rayos gamma por la atenuación de los isótopos de un nucleo radioactivo de ciertos componentes químicos existentes en ciertas partes del cuerpo. • MRI: basado en el hecho de que los protones poseen un momento mágnetico y un spin • En un campo magnético => alineación paralelos o antiparalelos. • Aplicación de campo magnético=> alineación antiparalela. Eliminación de campo magnético=> energía absorbida es detectada por los sensores f(x,y) ies una imagen 2D

14. Principios de la Transformadade Radon Una transformada lineal f(x,y)  g(s,) Integral de línea o “suma de rayos” A través de una recta con ángulo de inclinación  a partir del eje OX y distancia al origen s Fix  to get a 1-D signal g(s) Tenemos un conjunto de imágenes g(s) que representan g(s,) (From Jain’s Fig.10.2) Esunatransformada entre espacios 2D

15. Reconstrucción y Tomografía Lecture Overview Applications Background/history of tomography Radon Transform Fourier Slice Theorem Filtered Back Projection Algebraic techniques • Measurement of Projection data • Example of flame tomography

16. APLICACIONES Y TIPOS DE TOMOGRAFIA MRI y PET muestranlesiones en el cerebro. PET escanea el cerebro mostrando la enfermedad de Parkison

17. Aplicaciones (no-medicas) de la Tomografía ECT on industrial pipe flows

18. En ingles CT o CAT (Computerized (Axial) Tomography) Introducida en 1972 por Hounsfield y Cormack Evolución natural de los rayos-X Basado en los principios de que un objeto tres-dimensional puede ser reconstruido a partir de sus proyecciones dos dimensionales. Basado en la transformada de Radon (una aplicación de un espacio n-dimensional a un espacio (n-1)-dimensional) Principios de la TC o TAC ¡Nuevamente, Radon! De 2D a 3D !

19. Métodos TAC Mide la atenuación de los rayos a partir de varios ángulos diferentes. Un ordenador reconstruye el órgano bajo estudio en una serie de secciones planas Combina imágenes de rayos-X desde varios ángulos para reconstruir estructuras 3D

20. La historia del TAC • Johan Radon (1917) mostró como era posible matemáticamente una reconstrucción a partir de proyecciones • Cormack (1963,1964) introdujo las transformadas de Fourier en los algoritmos de reconstrucción. • Hounsfield (1972) inventó el escaner de rayos X computerizado para trabajo médico (gracias al cual, Cormack y Hounsfield compartieron un premio Nobel). • EMI Ltd (1971) anunció el desarrollo de un escaner EMI, el cual combinaba medidas de rayosX y sofisticados algoritmos.

21. Principios de la Retropropagación

22. Retropropagación Sabemos que ciertos objetos estan en alguna parte en las tiras negras, pero ¿dónde?

24. Ejemplo simple de reconstrucción por retroprogagación Dadas estas sumas, tenemos que reconstruir los valores de los píxeles A, B, C y D

25. Técnica de reconstrucción algebraica o ART ART

26. METODO 1: Técnica de Reconstrucción Algebraica Técnica iterativa Atribuida a Gordon Técnica de reconstrucción algebraica o ART Propuesta inicial Modelo reconstruido Retro-proyección Proyección Cortes del dato actuales

27. METODO 2 : Retropropagación filtrada Método muy común Usa la transformada de Radon yel teorema de cortes de Fourier Reconstrucción TAC: Retropropagación filtrada o FBP ( “Filtered Back Propagation”) y F(u,v) f(x,y) Gf(r) x s u gf(s) f Dominio de la frecuencia Dominio espacial

28. Barato computacionalmente En uso clínico, sobre 500 proyecciones por corte Problemático para proyecciones con mucho ruido Comparación ART versus FBP ART FBP Técnica de Reconstrucción Algebraica • Demasiado lento • Mejor calidad cuanto menos proyecciones • mejor calidad para proyecto no-uniforme . • Reconstrucción “guiada”. (¡propuesta inicial!) Retropropagación filtrada

29. Teorema de cortes de Fourier El cuerpo del paciente se describe como una distribución espacial de los coeficientes de atenuación.

30. Propiedades de los coeficientes de atenuación Nuestratransformada: f(x,y)  p(r,)

31. Unidades Hounsfield El coeficiente de atenuación se usa en el número CT (o TAC) de los diiferentes tejidos Estos números se representan en unidades Hounsfield= HU Los números CT usan los coeficientes de atenuación.

32. La transformada de Radon: Propiedades Recuerda: f(x,y)  p(r,)

33. Sinograma versus Hough

34. An aside The object The sinogram AN ASIDE

35. Integrales de Línea y Proyecciones

36. Integrales de Línea y Proyecciones La función se conoce como la transformada de Radon de la función f(x,y). • La función P = Radon transformada • Función objeto f(x,y).

37. Abanico de haces Haz en paralelo Tenemos un abanico de haces cuando los rayos se cortan en un punto. Los haces paralelos se forman midiendo un projections are taken by measuring a set of parallel rays for a number of different angles Puedenserusadosvariostipos de haces

38. Integrales de línea y proyecciones Una proyección se forma combinando un conjunto de integrales de línea. Se muestra aquí, las proyecciones más simples son las que conforman la colección de integrales de rayos paralelos, i.e. θ constante. Notación para los cálculos en estas proyecciones

39. Integrales de línea y proyecciones Un diagrama simple mostrando una proyección de haz en abanico (fan beam projection)

40. Teorema de las secciones de Fourier

41. Teorema de las secciones de Fourier • El teorema de las secciones de Fourier se deriva de la transformada de Fourier uno-dimensional de una proyección paralela, considerando que es igual a una sección de la transfromada de Fourier dos-dimensional del objeto original. • Se sigue que dado un conjunto de proyecciones, debe ser posible estimar el objeto simplemente realizando la transformada inversa de Fourier 2D. Comenzamos definiendo la Transformada de Fourier 2D de la función objeto: Por simplicidad θ=0, que significa v=0 • Definimos la proyección en el ángulo θ = Pθ(t) • Definimos su transformada como Como el factor fase no depende de y, la integral puede separarse

42. Teorema de las secciones de Fourier Como el factor fase ya no depende de y, la integral puede separarse: La parte entre corchetes es la ecuación para la proyección a lo largo de rectas con x constante Sustituyendo en Nos queda la siguiente relación entre la proyección vertical y la transformada 2D del la función objeto:

43. Teorema de las secciones de Fourier Stanley and Kak • No daremos ahora los detalles completos de la derivación

45. El teorema de las secciones de Fourier v u El teorema de las secciones de Fourier relaciona la transformada de Fourier del objeto a lo largo de una recta radial t Transformada de Fourier θ Dominio del espacio Dominio de la frecuencia

46. El Teorema de las secciones de Fourier v v u u Colección de proyecciones de un objeto en un número de ángulos t Transformada de Fourier θ • Para la reconstrucción se determinan los valores sobre un mallado cuadrado por interpolación lineal a partir de puntos radiales. Pero para las altas frecuencias los puntos están muy separados y crea una degradación de imagen. Dominio espacial Dominio frecuencial

49. Retroproyección de la transformada de Radon