第１０課：吸収線の形成

1. 第１０課：吸収線の形成 平成１７年１月１７日 講義のファイルは http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html に置いてあります。 質問は nakada@kiso.ioa.s.u-tokyo.ac.jp へ。 最終授業は平成１７年１月２４日です。レポート提出が遅れる人は１月末日までに天文学教室事務室桜井敬子さんに届けて下さい。単位が欲しい人は５つ以上のレポートを提出して下さい。Ｍ２、Ｂ４で単位認定を急ぐ人は申し出て下さい。

2. １０．１．古典的双極子による吸収 p p p 固有振動数νoを持つ双極子モーメントp=-qzが密度Nで散らばる媒質を考える。 この媒質の誘電率をεとすると、 εE=E + 4πNp=(1 + 4πNα)E　である。 この媒質を振動数νの電磁波Eが伝わる時、電磁波に起こる変化を求めよう。 　　入射電磁は真空中（屈折率ｍ＝１）で　　 E=Eo exp( i2πνt – ikx)、 媒質（屈折率ｍ＝ｎ－iκ）中で　　 E=Eo exp( i2πνt – iｍkx) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝ Eo exp( i2πνt – iｎkx－κkx) 媒質の屈折率ｍを求めることが重要である。 E=Eo exp( i2πνt – ikx) E=Eo exp( i2πνt – iｍkx) 電荷ｑの運動は、　　　　　　　　　mz”= -gz’ – Kz －qEo exp( iωt) γ=g/m, ωo 2=K/m, と置くと、 　　 z” +γz’ +ωo 2z=－(qEo/m) exp( iωt)

3. 　　固有振動数ωo 、抵抗係数γの振動子に強制振動ωを加えている。 z=A exp(iωt)とおいて、　　　　　(－ω2＋iγω＋ωo 2 ) A= －(qEo/m) －q 双極子モーメントp=－qz z q z=－(qEo/4π2m) exp( i2πνt)/(νo 2–ν2 +iγν/2π) 　Ωω＝2πν、ωo＝ 2πνoである。 ν＝νoで共振がおき、振幅が大きくなる。 双極子モーメントp=－qzは 　　ｐ＝qz=(q2Eo/4π2m) exp( i2πνt)/(νo 2 –ν2 + iγν/2π) 従って、ｐ＝αE, (α=感受率 susceptibility) とおくと、 α=(q2/4π2m) /(νo 2 –ν2 + iγν/2π)

4. 次に、双極子モーメントｐが密度Nで存在する媒質の誘電率εを求める。次に、双極子モーメントｐが密度Nで存在する媒質の誘電率εを求める。 εE=E + 4πNp=(1 + 4πNα)E ε＝誘電率（dielectric constant） = 1+4πNα=1+4πN(q2/4π2m) /(νo 2 –ν2 + ν/2π) =1+(Nq2/πm) /(νo 2 –ν2 + iγν/2π) =1+(Nq2/πm) (νo 2 –ν2 －iγν/2π) /[(νo 2 –ν2 )2 +(γν/2π)2] 複素屈折率（complex refractivity）m=n－iκは、ε＝(n－iκ)2なので n= 1+(Nq2/2πm)(νo 2 –ν2) /[(νo 2 –ν2 )2+(γ/2π)2ν2] (νo 2 –ν2)=2ν(νo –ν)の近似を入れて = 1+ (Nq2/4πmν)(νo –ν) /[(νo –ν)2+(γ/4π)2] =1+(Nq2/mνγ) [(νo –ν)/(γ/4π)] / {1+[(νo –ν)/(γ/4π)] 2} κ= (Nq2/2πm)ν(γ/2π) /[(νo2 –ν2 )2+(γ/2π)2ν2] ＝ (Nq2/4πmν) (γ/4π) /[(νo –ν)2+(γ/4π)2] （同じ近似） = (Nq2/mνoγ) / {1+[(νo –ν)/(γ/4π)] 2}

5. X －2(γ/4π) ０ 2(γ/4π) (νo –ν) (Nq2/mνoγ) 媒体の 複素屈折率 ｍ＝ｎ－ｉκ κ ０ n-1 E=Eo exp[ 2πi(νt – ikx)] E=Eo exp[ 2πi(νt – nkx+iκkx)] ｜E|2=Eo2 ｜E|2=Eo2exp( -4πκkx)

6. D σ(ν)＝双極子１個の吸収断面積 とすると、｜E|２＝Eo2 exp( -Nσ x) である。 前ページの｜E|2=Eo2exp( -4πκkx)と比べると、 4πκ(ν)k(ν)＝4πκ(ν)(ν/c)=Nσ(ν) 　４π (ν/c)(Nq2/mνγ) / {1+[(νo –ν)/(γ/4π)] 2}＝Ｎσ(ν) 　σ(ν)=(q2/mc)(4π/γ) / {1+[(νo –ν)/(γ/4π)] 2} 量子力学的双極子による吸収断面積は σ(ν)=(q2/mc) f (4π/Γ) / {1+[(νo –ν)/(Γ/4ｂπ)] 2} 　　　　　　　f＝oscillator strength またはf-値( f-value) と呼ばれる。 [復習]κとσの関係 σ＝吸収断面積( m2 )ｎ＝粒子の数密度 (m-3) N=nSD＝ S×Dの筒内粒子数 透かして見ると、Ｓの内不透明部分の面積Ｘ＝Ｎσ ＝ nSDσ 入射光線Ｆ＝ＩＳが距離Ｄを通過する間にX/Sが失われるから、 dI=－I(X/S)=－I(nSDσ) /S= I nσD=IκρD S

7. １０．２．吸収線強度 σ(ν)=(q2/mc) f (4π/Γ) / {1+[(νo –ν)/(Γ/4π)] 2}　の双極子がｎ個/ｃｍ３分布する媒質を考える。 厚みＬの媒質を通過した光の吸収線は、 　　Ｉ´（λ） ＝Ｉ（λ）ｅｘｐ（－ｎＬσ(ν)） Ｉ（λ） Ｉ（λ）－Ｉ´（λ）＝Ｉ（λ）[１－ｅｘｐ（－ｎＬσ(ν)）] 弱吸収では、　[Ｉ（λ）－Ｉ´（λ）] / Ｉ（λ） = ｎＬσ(ν) Fc 等値巾　（Equivalent Width)　 W=∫ [Ｉ（λ）－Ｉ´（λ）] / Ｉ（λ） ｄλ 弱い吸収では上式より、　 　　W＝ ∫ｎＬσ(ν)ｄλ　 　　　＝ｎＬ∫σ(ν)ｄλ　 Fλ Wλ F=0 λ

8. 　吸収断面積の積分 σ(ν) a π ( )d = ( ) ∫σ ν ν σ ν f[2mc /(h /4 ) ] 3 2 γ π a 2 fc/ c 2 3 π α π λ =( q /mc)f 2 π o-2 /4 o- /4 o o+ /4 o+2 /4 ν γ π ν γ π ν ν γ π ν γ π 2 /4 γ π νo-2γ/4π νo-γ/4π νo νo+γ/4π νo+2γ/4π ∫σ(ν)dν=∫(q2/mc)f(4π/γ) / {1+[(νo –ν)/(γ/4π)] 2} dν =(q2/mc)f∫dx/(1+x2) = (πq2/mc)f 弱い吸収では、 W＝ｎＬ∫σ(ν)ｄλ ＝ｎＬ∫σ(ν)ｄν(λ2/c) ＝ｎＬ(πq2/mc) (λ2/c) f (πq2/mc)=π 4.8032E-20/(9.109E-28 x 2.998E10)=2.654E-2 (cm2 sec) 吸収断面積σ(ν) (q2/mc)f(4π/γ) 積分値= (πq2/mc)f はγに依らない。 γ/2π

9. 　振動子強度の例 n=2 l=1 S=1/2 L=1 ｇ＝４ n=2 l=0 S=1/2 L=0 2P3/2 ｇ＝２ ｇ＝２ 2P1/2 2S1/2 n=1 l=0 S=1/2 L=0 2S1/2 ｇ＝２ 例1：Lα線 g （１ｓ２S1/2) ｆ（１ｓ２S1/22p２P１/2)=0.2774, ｆ（１ｓ２S1/22p２P１/2) =0.1387 g （１ｓ２S1/2) ｆ（１ｓ２S1/22p２P3/2)=0.5547, ｆ（１ｓ２S1/22p２P3/2) =0.2774 g （n=１) ｆ（n=１n=2)=0.2774+0.5547=0.8321, ｆ（n=１n=2) =0.4161 selection rules Δｌ＝±１ ΔS＝０、ΔL=０、±１、　 ΔJ=０、±１　　　（J=0J=0、 L=0L=0を除く）

10. g=6 g=4 g=4 3d2D5/2 g=2 3d2D3/2 3p2P3/2 g=2 3p2P1/2 3s2S1/2 2p2P3/2 2p2P1/2 2s2S1/2 g=4 g=2 g=2 例２：Hα レベル間遷移（ライン）のｆ－値 ターム間遷移（マルチプレット）のｆ－値 transition gLfLU gL fLU 2s２S1/23p２P1/2 0.2898 2 0.1449 2s２S1/23p２P3/2 0.5796 2 0.2898 2p２P1/23s２S1/2 0.02717 2 0.01359 2p２P3/23s２S1/2 0.05434 4 0.01359 2p２P1/23d２D3/2 1.391 2 0.696 2p２P3/23d２D3/2 0.2782 4 0.0696 2p２P3/23d２D5/2 2.504 4 0.626 transition gLfLU gL fLU 2s3p 0.8694 2 0.4347 2p3s 0.08151 6 0.01358 2p3d 4.1732 6 0.6955 Hα線のｆ－値 23 5.12411 8 0.6405

11. １０．３ 線形大気での吸収線形成 吸収線形成を簡単なモデルで考えるために、次のような沢山の仮定をする。 （１）　局所平衡（ＬＴＥ） 　　　　Ｓλ（τＲ）＝Ｂλ[Ｔ（τＲ）]　　　　　　　　　　（τＲ＝ロスランド光学深さ） （２）　エディントンモデル Ｔ（τＲ）４＝（３/４）Ｔｅ４ （ τＲ＋２/３）　　　 （３）　線形大気 　　　　Ｓλ（τＲ）＝Aλ＋ Ｂλ・τλ 生憎、（１）と（３）は厳密には両立しない。そこで、（１）をτＲ＝０のまわりで一次式で展開して近似的に（３）と考える。

12. したがって、（３）において、 と見なせば、（３）を（１）と両立させうる。 第６課６－１節の例２で見たように、線形大気Ｓ（τ）＝Ａ＋Ｂτの大気表面からのフラックスはＦ＝π［Ａ＋Ｂ・（２/３）]＝πＳ（τ＝２/３）である。 したがって、 または、 この式から分かるように、Ｆλ＝α＋β/τλの形をしていて、 τλが大きい所ではＦλが小さくなる。これが、吸収係数が大きい波長で吸収線が現れる原因である。

13. もう少し物理的に考えると。 吸収係数が次の図のように、λ＝λＬで盛り上がっているとする。　 λＬでは吸収が強いので、浅いところでτＬ＝２/３に達する。浅いためにそこの温度は低い。 κλ 浅いので温度が低く、フラックスが小さい。 深いので温度が高く、フラックスが大きい。 λＬ τＲ= 0.0 　0.2 0.4 0.6 0.8 大気表面 τλ=2/3 λ

14. 吸収係数と吸収スペクトルの関係をもう少し調べてみよう。吸収係数と吸収スペクトルの関係をもう少し調べてみよう。 λ＝ λＬの付近で、κ＝ κＣ＋κＬとする。 κ（λ） κＣ λ λＬ に注意して、前々頁のＦの式を書き直すと、

15. 前頁の式を検討すると、まず、下から２行目に出てくる前頁の式を検討すると、まず、下から２行目に出てくる はλＬ付近での連続スペクトルとなっていることがわかる。 連続スペクトルの強さは、 κＣとκＲの強さの比で決まる。 　　　κＲ＜ κＣ　Ｆｏ＜Ｆｅ＝πＢ（Ｔｅ） 　　　κＲ＞ κＣ　Ｆｏ＞Ｆｅ＝πＢ（Ｔｅ） 次に下から２行目の最後の項 は、吸収線を表す。吸収が弱い（κＬ＜κＣ）場合、吸収の深さがκＬに比例することがわかる。 最後の行の

16. は吸収が強い場合には、大気の表面（Ｔ＝Ｔｏ）しか見通せないことを示している。は吸収が強い場合には、大気の表面（Ｔ＝Ｔｏ）しか見通せないことを示している。 図示すると以下のようである。 弱いライン 大気表面Ｔ＝Ｔｏ ライン波長で見通せる深さ 連続光波長で見通せる深さ 有効温度Ｔ＝Ｔｅの深さ

17. 強いライン 大気表面（Ｔ＝Ｔｏ） ≒　ライン波長で見通せる深さ 連続光波長で見通せる深さ 有効温度Ｔ＝Ｔｅの深さ ピュアな吸収の場合、強い吸収の極限はＴ＝Ｔｏの大気表面からの輻射がスペクトルの底になる。

18. 吸収線の強度につれての形の変化 Ｆｃ（λ） κＬと共に深くなる Ｆ（λ） κＬが非常に強いと吸収線の底が飽和する Ｆｏ（λ） λ

19. 問題 １０ーＡ　　　　　　　　　　　平成１６年１２月２０日　　　　　　　　　　　　　　　提出　平成１６年１月１７日　　　 問題９－ＡでやったＡ９型星の大気を考える。 （１）　波長λ＝０．２，０．４，０．６，０．８，１．２，１．４，１．６，１．８，２．０，２．２， 　　２．４μｍでの吸収係数ｋ（λ）を使ってロスランド平均吸収係数ｋＲを求めよ。 　　積分は階段積分でよい。 （２）　１０－３節と同じモデルで、連続スペクトルを扱うと、　 で、星表面のスペクトルが表現されることが分かる。ここでは、 であることに注意して、問題９－Ａで求めたｋλを使って横軸λ、縦軸Ｆλで、Ａ９型星のスペクトルを描いてみよ。特にバルマー不連続の大きさに注意すること。

20. 問題１０－Ｂ 　　問題９－Ｂでやった内からスペクトル型を一つ選び、１０－Ａと同じ 　　問いにこたえよ。