Seminar in Algorithms Spanners

Liam Roditty Seminar in Algorithms Spanners

מידע כללי • 12 הרצאות – נוכחות חובה • ההרצאות נעשות ביחידים • כל הרצאה תסקור מאמר אחד או שניים • המאמרים לפי סידרם מופיעים באתר: http://www.cs.biu.ac.il/~liamr/ • יש לבחור מאמר בהקדם האפשרי

מידע כללי • הסמינר מיועד בעיקר למי שמתעניין באלגוריתמים לגרפים. • הסמינר יסקור מאמרים חדשים בתחום כמו גם מאמרים קלאסיים. • למעוניינים בעבודת תזה סמינר זה מציע בעיות למחקר

מידע כללי • מומלץ להשתתף באופן פעיל בסמינר. • המאמרים קשורים אחד לשני לכן החשיבות הרבה של הנוכחות הפעילה בסמינר. • שאילת שאלות לא תפגע במרצה גם אם אינו יודע את התשובה!

הנחיות להכנת ההרצאה • המאמרים שמופעים ברשימה הם תאורתיים ודורשים זמן הבנה ממושך ביותר • הבנה עמוקה של המאמר היא הכרחית לבניית הרצאה טובה ומובנת. לכן יש להקדיש זמן רב להבנת המאמר. • מומלץ להשתמש בכלי מצגות על מנת לבנות את ההרצאה • מומלץ להיעזר בציורים אשר יכולים להקל על ההבנה • במאמרים ארוכים יתכן ויהיה צורך להתמקד בחלק מסוים של המאמר יש לעשות זאת בתיאום איתי. • חובה להתכונן על ההרצאה מראש ולקבל אומדן של משך הזמן שתמשך ההרצאה.

Based on a Lecture of Uri Zwick Tel Aviv University Approximate All-Pairs shortest pathsApproximate distance oraclesand Spanners Summer School on Shortest Paths (PATH05)DIKU, University of Copenhagen

Spanners Given an arbitrary dense graph, can we always find a relatively sparse subgraph that approximatesall distances fairly well?

Spanners [PU’89,PS’89] Let G=(V,E) be a weighted undirected graph. A subgraph G’=(V,E’) of G is said to be a t-spannerof G iff δG’ (u,v) ≤ t δG (u,v) for every u,v in V. Theorem: Every weighted undirected graph has a (2k-1)-spanner of size O(n1+1/k).[ADDJS ’93] Furthermore, such spanners can be constructed deterministically in linear time. [BS ’04] [TZ ’04] The size-stretch trade-off is essentially optimal.(Assuming there are graphs with (n1+1/k) edges of girth 2k+2, as conjectured by Erdös and others.)

Additive spanner An estimated distance ’(u,v)is of surplust iff (u,v)  ’(u,v)  (u,v) + t

Existence Proof / Construction Algorithm[Althöfer, Das, Dobkin, Joseph, Soares ‘93] • Consider the edges of the graph in non-decreasing order of weight. • Add each edge to the spanner if it does not close a cycle of size at most 2k. • The resulting graph is a (2k-1)-spanner. • The resulting graph does not contain a cycle of size at most 2k. • Hence the number of edges in it is at most n1+1/k.

w1 w2  … w2k-1 w2k w2k w2k-1 … w1 w4 w3 w2 If |cycle|2k, then red edge can be removed.

The Greedy-Spanner algorithm Naïve implementation takes mn^(1+1/k) How?

The Greedy-Spanner algorithm Improved implementation takes n^(2+1/k) Using Incremental APSP.

Approximate Distance Oracles (TZ’01) n by ndistancematrix APSPalgorithm mn timen2 space Compact datastructure Weightedundirected graph mn1/ktimen1+1/k space Stretch-Space tradeoff is essentially optimal! u,v δ’(u,v( O(1) querytime stretch 2k-1

Approximate Distance Oracles [TZ’01]A hierarchy of centers A0V ; Ak  ;Ai sample(Ai-1,n-1/k) ;

A0=A1=A2= Bunches p2(v) v p1(v)

Lemma: E[|B(v)|] ≤ kn1/k Proof:|B(v)Ai| is stochastically dominated by a geometric random variable with parameter p=n-1/k.

The data structure • Keep for every vertex vV: • The centers p1(v), p2(v),…, pk-1(v) • A hash table holding B(v) For every wV, we can check, inconstant time, whether wB(v), and if so, what is (v,w).

Query answering algorithm Algorithm distk(u,v) wu , i0 while wB(v) { i i+1 (u,v) (v,u) w pi(u) } return (u,w)+ (w,v)

Query answering algorithm w3=p3(v)A3 w2=p2(u)A2 w1=p1(v)A1 v u

Analysis wi=pi(u)Ai Claim 1: δ(u,wi) ≤ iΔ , i evenδ(v,wi) ≤ iΔ , i odd wi-1=pi-1(v)Ai-1 (i+1) i i Claim 2: δ(u,wi)+δ(wi,v) ≤ (2i+1)Δ (i-1) ≤ (2k-1)Δ v u 

Where are the spanners? Define clusters, the “dual” of bunches. For every uV, put in the spanner a tree of shortest paths from u to all the vertices in the cluster of u.

A0=A1=A2= Clusters w

Bunchesandclusters

Seminar in Algorithms Spanners